Учебно-методическая статья, посвященная изучению темы "Формулы сокращенного умножения"
статья по алгебре (7 класс) по теме

Учебно -методическая статья, посвященная изучению темы

"Формулы сокращенного умножения"

"Плохой учитель преподносит истину,

хороший - учит находить ее"

Адольф Дистервег

Целью преподавания математики в средней школе является сообщение учащимся фактических знаний в области математики и воспитание у них необходимых навыков и умений для применения полученных знаний в различных практических вопросах. Одновременно преподавание математики служит образовательным и воспитательным целям.

Успешное понимание того, что объясняется на уроках, во многом зависит от того, как подготовлены учащиеся к восприятию нового материала.

Умелая подготовка учащихся к восприятию нового учебного материала во многом обеспечивает успех учебного процесса, поэтому каждый урок должен строиться так, чтобы на нем не только закреплялся и углублялся пройденный материал и на его базе изучался новый, но и создавалась база для успешного изучения материала будущих уроков.

Тема "Формулы сокращенного умножения" является основополагающей в разделе "Тождественные преобразования алгебраических выражений". Поэтому важно, чтобы учащиеся автоматически применять формулы не только при решении примеров, но и при выполнении других заданий: таких, как решение уравнений, преобразование выражений, доказательство тождеств.

Часто учащиеся 7 класса плохо решают примеры на вычисление с помощью формул сокращенного умножения. Некоторые семиклассники с трудом возводят в квадрат такой двучлен: 5а2 в + 4с4 , хотя словесную формулировку квадрата суммы двух чисел они дают четко и правильно. В чем причина такого расхождения теоретических знаний с практическими навыками? Мне кажется, что причиной такого разрыва является недостаточная работа учителя при изложении этой темы над подготовкой к восприятию учащимися нового материала.

Перед изучением этой темы я предлагаю учащимся ряд предварительных упражнений, способствующих более успешному усвоению ими формул сокращенного умножения. Продумывая данную тему, я решила, что для её глубокого понимания от учащихся требуется:

       1)четкое знание алгебраического выражения, понимание его математического смысла;

        2) умение представлять в алгебраической форме выражение, заданное в словесной форме (записать фразу математическими символами);

        3)умение дать словесную формулировку алгебраическому выражению, записанному с помощью математической символики;

       4)четкое знание порядка действий;

       5)знание определения подобных членов многочлена;

       6)умение свободно выполнять приведение подобных членов;

       7)знание правила умножения многочлена на многочлен.На одном из уроков была проведена беседа по этим вопросам. Эта беседа показала, что если три последних вопроса учащиеся понимают хорошо, так как встречались с ними недавно, то первые четыре вопроса вызвали затруднения у многих. Стало ясно, что излагать новый материал без предварительной подготовки нельзя.

С этой целью на предшествующих уроках необходимо учащимся предложить такие упражнения:

       1.Написать сумму чисела и в.

       2.Написать разность чисел m иn.

       3.Написать произведение чиселaи  в.

       4.Написать частное от деления числа m на число  n.

       5.Написать удвоенное произведение чисела и в.

        6.Написать квадрат суммы чисел x и y.

        7.Написать сумму квадратов чисел x и y.

        8.Написать квадрат разности чисел x и y.

       9.Написать разность квадратов двух чисел.

Когда повторять этот материал? Наверное, это лучше сделать в конце урока. Я сделала это так. Решая на уроке уравнения первой степени с одним неизвестным на основании определений и свойств арифметических действий, я заметила в конце урока усталость учащихся. Тогда я обратилась к ним с вопросом: "Устали?"

Зная, что за этим вопросом последует что-то особенное (часто в таких случаях я предлагала учащимся что-нибудь занимательное), они не без удовольствия утвердительно ответили на мой вопрос.

"Хотели бы вы знать, как быстро возводить в квадрат числа, близкие к 50?"-спросила я, а затем написала на доске 542  и спросила, чему равна эта степень.

Учащиеся ответили не сразу. Некоторые потянулись за карандашами.

" А ведь этот пример решается почти мгновенно,"- заметила я. "Для этого следует к 25 прибавить цифру единиц 4, приписать к полученному числу 42=16  и результат готов:2916".

Это удивило всех. Учащиеся попросили решить другой пример. Мы возвели в квадрат 58. Затем я предложила учащимся возвести в квадрат числа 51, 56, 59. Они нашли соответствующие степени и были удивлены необычайной быстротой, с которой выполнили эти действия.

Последовал вопрос: "Почему так?"

- Этому вопросу соответствует формулы сокращенного умножения: квадрат суммы двух чисел, квадрат разности двух чисел, которые мы скоро будем изучать. Формулы сокращенного умножения помогут вам воспроизводить и другие ускоренные вычисления.

В качестве мотиваций к выводу новой формулы можно предложить учащимся вычислить      33 3332 - 33 3322 за 30 секунд. после того, как они не справятся с этим заданием за указанное время, пояснить, что с помощью формулы сокращенного умножения, им это легко удастся.

Такой намек  заинтересовал учащихся, и они с нетерпением стали ждать "волшебную" тему, которая так быстро производит вычисления. Учащиеся были предупреждены, что для успешного усвоения формул сокращенного умножения надо к этой теме подготовиться. Вот тут -то и были предложены им вопросы, рассчитанные на умение представлять в алгебраической форме выражение, заданное в форме словесной.

На очередном занятии мы по-прежнему в конце урока занимались записью и чтением алгебраических выражений. На этот раз учащиеся должны были прочесть следующие выражения: a+b; x-y; (m+n)2; (c-d)2; 2xy; a2; a2+2ab+b2.

Последнее выражение учащиеся читали так: квадрат числа а плюс удвоенное произведение числа а на число в и плюс квадрат числа в. Затем я назвала число а первым числом, а число в - вторым и попросила учащихся прочитать выражение а2+2ав+в2 по-другому.

На этом же уроке было повторено правило порядка действий. Это было сделано с той целью, чтобы учащиеся помнили о порядке действий при чтении алгебраических выражений.

Не секрет, что некоторые учащиеся путают выражения (а-в)2 и а2-в2. Часто на просьбу написать разность квадратов двух чисел m и n ученик пишет (m - n)2. На это необходимо обратить внимание при подготовке к изучению формул сокращенного умножения. С этой целью, написав выражение (а - в)2, целесообразно попросить учащихся указать порядок действий в данном алгебраическом выражении. Когда учащиеся заметят, что первым является действие вычитания, а вторым - возведение в квадрат, необходимо сказать учащимся: "Всякий раз, когда вы читаете алгебраическое выражение, начинайте чтение с последнего действия, а затем называйте предшествующее. Вот почему (а - в)2 читаем: квадрат (последнее действие) разности двух чисел".

Учащимся предлагается прочесть выражения:

c2 - d2; (а - в)2; m3 - n3; (a - b)2; (m+n)3 (a+b)2.

Казалось бы, на этом подготовительную работу можно бы и закончить. В практике своей работы мы обычно так и поступаем, тем более, что учащиеся после всего этого почти самостоятельно выводили формулу. Учителю оставалось только вызывать учащихся к доске и задавать им вопросы:

"Написать квадрат суммы чисел а и в".

Ученик пишет: (а + в)2.

"Можно ли это выражение представить в виде произведения двух множителей?"

Следует ответ: (а + в)2 =(а + в)(а +в).

Учитель предлагает произвести умножение двух одинаковых двучленов:

(а + в)(а + в)

Один ученик на доске, а другие в тетрадях без затруднения выполняют требование учителя: (а+в)(а+в)=а2+ав+ав+в2=а2+2ав+в2.

Напомнить, что (а+в)2=(а+в)(а+в).

После этого на доске появляется запись:(а +в)2 = а2 +2ав + в2.

Учитель просит выразить выведенное равенство словесно, называя а первым числом, в - вторым. Ученик читает: "Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа".

Формула получена, причем при её выводе класс не был пассивен.и все же не следует так быстро переходить к заключительной формулировке. Дело в том, что вначале все подготовительные этапы подчиняются единственной цели - выводу формулы. Однако перед нами стоит более сложная задача: раскрыть смысл этой формулы, её прикладное значение, которые сами по себе требуют её вывода.

Выведя формулу, мы обычно ставим перед собой вопрос: "Что делать дальше?" Обычно все считают, что далее необходимо натренировать учащихся в применении формулы при решении задач; обратить их внимание на отдельные трудности.которые могут встретиться в процессе вычислений, выполнить упражнения, т. е. как у нас принято говорить, закреплять изложенный материал. С этой целью обычно вызываем к доске учащихся, которые должны, применяя только что выведенную формулу, вычислять: (m+n)2; (2 + а)2;  (3 + 2а)2 и т. д.

Если учащийся не сразу сообразит, как решить тот или иной пример, учитель отсылает его к формуле (она, как правило, некоторое время сохраняется на доске). Ученик, глядя на формулу, "применяет" её к решению своего примера.

Это применение часто сводится к копированию. Происходит это по той причине, что до учащихся не всегда доходит верное представление о содержании нового учебного материала.

Вот почему к выводу формулы квадрата суммы двух чисел следует подходить несколько по-другому.

В том, что подготовительная работа, проведенная на предыдущих уроках, сыграла положительную роль в усвоении формулы, нет сомнений. Семиклассникам такая работа необходима. Однако, эта работа не является достаточной, так как не приводитучащихся к ощущению необходимости формулы.

И вот здесь встает вопрос: как построить всю дальнейшую подготовительную работу, чтобы у учащихся назрела необходимость принять формулу возведения двучлена в квадрат?

С этой целью параллельно изучению темы "Умножение многочленов" следует задавать учащимся примеры такого содержания:

1. Возвести в квадрат выражения: 2а, 3а, 4а, 5а, 6в.

2.Найти удвоенное произведение двух чисел: 2а и 3в, 3а2в и 4в2, а3в и 2ав3,x и y, x4и y4.

3.Записать в виде степени произведения одинаковых двучленов: (а+в)(а+в); (2а+3в)(2а+3в); (3ав+с2)(3ав+с2); (xy+zt)(xy+zt).

4.Раскрыть в предыдущем примере скобки и упростить произведения.

5.Сформулировать словесно, чему равны найденные произведения одинаковых двучленов, если первое слагаемое двучлена будем именовать первым числом, а второе - вторым.

На дом следует предложить упражнения, аналогичные 4 и 5, причем обратить внимание учащихся на словесные формулировки всех примеров. Нельзя ли подметить в них общность?

Урок признания целесообразности введения формулы начинается с проверки домашнего задания. Учащиеся читают примеры на умножение одинаковых двучленов и дают словесную формулировку результатов.

Затем перед учащимися ставится вопрос:"Стоит ли для нахождения произведения одинаковых двучленов всегда производить умножение двучлена на двучлен обычным путем?" Это приведет семиклассников к мысли, что лучше принять определенную формулировку, например,

(m+n)(m+n)=m2+2mn+n2.

Но так как (m+n)(m+n)=(m+n),учитель приводит их к мысли о принятии формулыквадрата суммы двух чисел.

Её вид:  (а + в) =а +2ав + в.

Её имя - формула полного квадрата.

Оно дано по виду левой части равенства.

 Её прочтение:

"Квадрат суммы двух алгебраических выражений равен квадрату первого слагаемого плюс удвоенное произведение первого слагаемого на второе плюс квадрат второго слагаемого".

Формулу квадрата суммы можно представить схематически:

Вся эта работа приводит учащихся к сознательному выводу. Мало того, они в процессе работы испытают необходимость введения формулы квадрата разности двух чисел, так как она во многом экономит время. И учащиеся отнесутся к этой формуле разумно, и вместо того, чтобы зубрить, постараются её осмыслить, а в голове учащихся укрепится сознание полезности этой формулы.