Учебно-методическая разработка по теме "Формулы сокращенного умножения"
методическая разработка по алгебре (7 класс)

Удальцова Ниля Набиевна

Учебное пособие содержит задания для заучивания формул и применения при упрощении выражений, решении уравнений и другие задания на внимание, обдумывание и применение.  Для каждой формулы подобраны контрольные задания трёх уровней: простые, среднего уровня и повышенного для подготовленных детей, а также ответы к ним.

 Пособие предназначено для семиклассников, учителей-предметников  для работы на уроке и родителей, желающих подтянуть или укрепить знания ребят по теме «Формулы сокращённого умножения».

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл formuly_sokrashchennogo_umnozheniya.docx323.84 КБ

Предварительный просмотр:

                     

    УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

                                         по алгебре  7 класса

                 (Дополнение к учебнику для основной школы авторов

                 Ю.М.Колягин, М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова, М.И.Шабунин)

f_6746.jpg

«Формулы сокращённого умножения»

                                                                  автор: Удальцова Ниля Набиевна

                                                                  учитель математики ГБОУ СОШ №548

                                                                  г.Санкт-Петербурга

     

                                                 2019

Предисловие

Очень часто приведение многочлена к стандартному виду можно осуществить путём применения формул сокращённого умножения. Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения нужно знать наизусть, что вызывает у школьников немалые проблемы при заучивании и применении их в алгебраических преобразованиях. Учебное пособие содержит задания для заучивания формул и применения при упрощении выражений, решении уравнений и другие задания на внимание, обдумывание и применение.  Для каждой формулы подобраны контрольные задания трёх уровней: простые, среднего уровня и повышенного для подготовленных детей, а также ответы к ним.

 Пособие предназначено для семиклассников, учителей-предметников  для работы на уроке и родителей, желающих подтянуть или укрепить знания ребят по теме «Формулы сокращённого умножения».

Содержание

Глава 1. Разность квадратов.

1.1.Упражнения для памяти                                                                               4

1.2.Задания для закрепления                                                                              5

1.3.Контрольные задания                                                                                    7

Глава 2. Квадрат суммы (разности).

2.1.Упражнения для памяти                                                                               8

2.2.Задания для закрепления                                                                              9        

2.3.Контрольные задания                                                                                   12

Глава 3. Сумма (разность) кубов.

3.1.Упражнения для памяти                                                                               13

3.2.Задания для закрепления                                                                              14

3.3.Контрольные задания                                                                                   16

Глава 4. Куб суммы (разности).

4.1.Упражнения для памяти                                                                               17

4.2.Задания для закрепления                                                                              17

4.3.Контрольные задания                                                                                   18

Глава 5. Совместное применение формул сокращённого умножения

5.1. Упражнения обязательного уровня усвоения                                           19

5.2. Упражнения повышенного уровня                                                             22

Глава 6. Планы конспектов уроков

6.1.Урок 1. «Формула разности квадратов»                                                     25

6.2. Урок 2. «Формулы квадрата суммы-разности»

6.3.Урок 3. «Обобщение материала»

Глава 1. Разность квадратов     а2 – b2 = (a – b)(a + b)

1.1.Упражнения для памяти

1.1.1.Заполнить пропуски:                                 отметка о выполнении

                                                                                               верно      неверно      не приступил    

a2   - b2 = (a…b)(a + b)

a2 – b2 = (a – b)(a…b)

a2…b2 = (a – b)(a + b)

m2 - n2 = (m + n)(m…n)

k2 – 4 = (…-2)(…+2)

x2 – 9 =(x -…)(x +…)

25 – 4a2 = (…-…)(…+…)

49/100 – b2= (…   - b)(…  + b)

1/16x2 – 4y2 = (…  -…  )(…  + … )

(f – 3)(f + 3) = ….- 9

(2a – b )(2a + b) = …. – b2

(x – 3y)(x + 3y) = x2 - …

(7 - 2t)(7 + 2t) = 49 - …

(1/2 + h)(1/2 – h) = …  - …

(3/5 – ab)(3/5 + ab) = …  -  a b

(10 x – 3y)( 10x + 3y) = …   - 9y

(x2 – a2)(x2 + a2) = x - a

(0,3c3 – 2 b3)(0,3c3 + 2b3) = …  - 4…

(4f2b + c)(4f2b – c) = …    - c2   

2 – 1/16 y6 =(…x - .. .y)(…x + .. .y)

1.1.2. Найди ошибку                                   Отметка о выполнении    

                                                                                            верно        неверно    не приступил

(5х –b)(5x +b) = 25x  - b

9a2 – b2 = (9a - b)(9a + b)

(1/4 +c)(1/4 – c) = 1/8 – c2 

(0,8x2  - y)(0,8x2 + y) = 0,64 x2 – y2

100a2 – b4 = (10 a2 + b2)(10a2 – b2)

1.2. Задания для закрепления

1.2.1.Упростите выражение:                                                  

а) (a - 2b)(a + 2b) – (a – b)(a +b)

Решение:

Ответ:

 б) x2 + (0,2 – x)(0,2 + x)

Решение:

Ответ:

 1.2.2. Решите уравнение, применив формулу разности квадратов

а) (x – 5)(x + 5) = x2 – 5x

Решение:

Ответ:

б) (x-7)2 – 9 = x – 4

Решение:

Ответ:

1.2.3. Представить в виде многочлена                                           Ответ

1).(c4-d2)(d2 +c4)
2).(0,2a-b3)(b3 +0,2a)
3).(2x5-3y2)(2x5 +3y2)
4).(0,6x +0,7y3)(0,7y3-0,6x)
5).(m4-n7)(n7 +m4)

6).(1,2c2 +3d)(1,2c2-3d)
7).(5x2-0,4y2)(0,4y2+5x2)
8).(8z6-5y3)(8z6 +5y3)
9).(0,2m2 +0,3y5)(0,3y5-0,2m2)
10).(1,3x2-d)(d +1,3x2)

1.2.4. Применение формул  для упрощения  расчётов

672 - 572 =

662 - 342 =

73х67 =

105х95=

1.3. Контрольные задания

      Вариант 1                             Вариант 2                          Вариант 3

Разложить на множители:

1) х2 – 4                                    1) х2 – 100y2                      1) 0,25a2 – 0.09b2

2)1/16 a2 – 9                             2) 4/9 a2  - b4                    2) x6 – y2

Применив  формулу разности квадратов, вычислить:

3) 43х57                                   3) 94х106                        3) 86х94

Найти значение выражения, применив формулу разности квадратов:

4) 252 – 242                              4) 42 + 32                          4) 275 – 176

     52 + 24                                   132 - 122                             625 – 256

Решить уравнение:

5) 16х2 – х3 = 0                   5) 1/25x – 0,04x3 = 0      5) (х – 1)(х + 1) – х(х – 3 ) =

                                                                                        2(x-1)

Ответы к контрольным заданиям:

Безымянный.png        83558906_69490733_03.png     

Глава 2. Квадрат суммы(разности) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

                                                                                                      (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

2.1. Упражнения для памяти

2.1.1. Заполнить пропуски:                           Отметка о выполнении

                                                                                            верно        неверно    не приступил

(a + b)2 = a2 …2ab…b2

(a – b)2 = a2 -…. + b2

(2 + x)2 = … + 4x + x2

(3 – x )2 = 9 - ….  + x2

(2а – 3в2)2 = 4а2 – 12ав2 + …

 9а2 – 12а + 4 = (….- 2)2

2 + 12х2у + 9х4 = (2y ….   )2

0,04x2 – 0,4x +1 = (….. – 1)2

16/100c2 +…  cb + b2 = (…. c + b)2

….a2 - …. ab +1/4b2 = (1/3a -…. b)2

 (15a + …)2 = 225a2 + 12ac3 + 0, 16c6

(3a + 2, 5b)2 = 9a2 + 6, 25b2 + …

(… - 2a)2 = … - 12ab + …

(3x + …)2 = … +...   + 49z2

(… + 2b)2 = a2 + 4ab + 4b2

(3x - …)2 = 9x2 - 6ax + a2

(… + 2a)2 = 100 + 40a + 4a2

(… + 9c)2 = 36a+ 108a2c + 81c2

1/9a6 -… a3b2+1/4b4 = (1/3… - 1/2b)2

2.1.2. Найди ошибку:                                       Отметка о выполнении

                                                                                            верно        неверно    не приступил

(2а – 3в2)2 = 4а2 – 6ав2 + 9в4

(2а – 3)2 = 4a2 + 12a – 9

(х + 3у)2 = х2 + 9у2 - 6ху

a2 – 9aca + 6c2 = (a – 3c)2

m4+6m2+36 = ( m2 + 6)2

2.2. Задания для закрепления

2.2.1.Упростите выражение, используя формулы квадрата суммы (разности) чисел:

а) (4х + 1)2 – (4х – 1)2 

Решение:

Ответ:

б)Упростите выражение, используя формулу квадрата разности:

Решение: (4х + 1)2 – (4х – 1)2 = ( (           )-(          ))((           )+(            ))=

(                    )(                 )=

Ответ:

в)Докажите, что значение выражения не зависит от  m

(m + 5)2 – (m + 3)(m + 7) 

Решение:

2.2.2. Решите уравнение:

a) 25x2 + 20x + 4 = 0

Решение:

Ответ:

б) 4a2 - 2a+1 =0

Решение:

Ответ:

в) (x – 1)(x + 1) – (x - 2)2 =0

Решение:

Ответ:

2.2.3.  Представить в виде многочлена:                               Ответ

а) (2a – b)2 

б) (0,1x + 2y)2

в) (1/3c + k)2

г) (a2 – 0,5b)2

д) (0,3x3 + 0,5y2)2

е) (7a4 – 0,2b3)2

ж)(0,1x-0,9)(0,1x+0,9) – (0,1x – 0,9)2

2.2.4.Вычислите, используя формулы сокращенного умножения :

Пример : 312=(30 + 1)2 = 302 + 2x30x1 + 12 = 900 + 60 + 1 = 961

522 =

992 =

3202 =

73х67 – 512=

(672 – 572) – 262 =

2.3. Контрольные  задания

      Вариант 1                             Вариант 2                          Вариант 3

Разложить на множители

1)   a2 +2a+1                               y2 +10y+25                         4x2-12xy+9y2

2)  4y2 +20y+25                       9/16 – 12a2 +64a4                   1/9a6 +1/3a3b2 +1/4b4

Применив формулы сокращённого умножения, вычислить

3)  512                                         71х69 – 612                        (492 – 392) - 242

Решите уравнение:

4) ¼ +x2 – x = 0                       4x2 -12x +9=0                 (4а – 1)2 – 4(2а – 1) = 16a2 

Упростить выражение:

5) (x+5)2 _  x2 +10x                  (x-1)2 _ (x-2)2                         9p2 + 4 + 6p                 

        5              5                          2           2                                 4 – 9p2

Ответы к контрольным заданиям:

Безымянный.png               69490782_08.png

                                                                                                                                                                  

Глава 3. Сумма (разность) кубов   a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

                                                               a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

3.1. Упражнения для памяти:                        Отметка о выполнении

                                                                                               верно        неверно    не приступил

3.1.1.Заполни пропуски:              

x3 + y3 = (x + y)(….  xy …..)

x3 – y3 = (………)(x2 + xy + y2)

…-…..= (x – 4)(x2 + 4x + 16)

1 + 8a3 =(1 + 2a)(1…2a….4a2)

…- 27x3= (….- …..)(1 + 3x + 9x2)

(1/2 + ab)(1/4 1/2 ab + a2b2) =….  + ….

(a2 – b2)(a…. + a2b2 + b….) = …..-……

(4у – 1)(16у+ ….  + 1) = ………1

(5х + 4) (25х2 – 20х + …. )= 125x3 +….

b² +20b+… = (…. + ... )²  
216m² - ….= (…..- 8m)( …..+ 8m)
(….. + 3x)² =49y² +….  + …..
(3a +…  )(3a - ….) = …… - 81
(5x - ….)² =  …. - ….   + 16

64x3 - ….= (…. – y2)(…  +4xy2 + …  )

(3/4 + ab)(…  - 3/4ab +…  ) =…  + ….

3.1.2.Найди ошибку:                                            Отметка о выполнении

                                                                                                верно        неверно    не приступил

(4у -3х)(4у+3х)=8у² - 9у²  
100х² - 4у²=(50х-2у)(50х+2у)

(3х+у)²=9х² - 6ху + у²          

(6a-9c)²=36a² -54ac +81c²   

х³+8=(х+2)(х² - 4х+4)  

   3.2. Задания для закрепления        

3.2.1. Найти значение выражения

а) (2a + 3b)( 4a2 – 6ab + 9b2),  при a = 2; b = 1.

Решение:

Ответ:

б) (x + 3)(x2 – 3x + 9),  при  x= ½

Решение :

Ответ:

3.2.2. Решите уравнение:

а) x4 – x = x2 +x + 1

Решение:

Ответ:

б) x3 + 2x2 – 9x – 18 = 0

Решение:

Ответ:

3.2.3. Преобразуйте в многочлен                            Ответ

а) (x + 6)( x2 – 6x + 36) – 2(x – 3)(x + 3)

б) (a – 4)( a + 1) + (a2 – a + 1)(a + 1)

в) -2(x-1)x – (x + 7)(x2 -7x + 49)

г) -2(x+ 2)2 – (x +5)(x2 – 5x + 25)

д) (с – 7)(с2 +7с + 49) – (с - 3)с

е) 2v(v +5) – (v – 1)(v2 +v + 1)

ж) y(y + 1) – (y + 2)(y2 – 2y + 4)

3.2.4.Вычислите, используя формулы сокращенного умножения :Безымянный.png=

Безымянный.png=

Безымянный.png =

9992 =

3.3 Контрольные задания

     Вариант 1                             Вариант 2                          Вариант 3

1)Преобразуйте  в многочлен

 (x + 2)(x2 – 2x + 4)       (a – 1)(a +1) - (a -1)(a2 +a+1)    (b +4)(b2 -4b+16) - (b2-3)b

2) Вычислите:

  Безымянный.png                  Безымянный.png               Безымянный.png

3) Решите уравнение:

      x3 – 1= x(x2 +1)                 - x4 - x =x3 - x2 +x                 x3 + 6x2 – x – 6 =0

Ответы к контрольным заданиям:          

Безымянный.png                                             69490747_04.png 

Глава 4. Куб суммы (разности)      (a + b)3 =a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

                                                              (a – b)3 = a3- 3a2b + 3ab2 - b3

4.1.Упражнения для памяти                       Отметка о выполнении

                                                                                               верно        неверно    не приступил

4.1.1. Заполнить пропуски:

(a +b)3=a3 + …  + …..+b3

(a – b)3= a3 …3a2b+3ab2… b3

(2 + x)3 =  …+12x+6x2 + ….

(c – 3)3 = c3 – 9c2 + ….. – 27

(1/2 + y)3 = 1/8 + ….  + 1,5y2 + y3

125 + ……+ 15a2 +…….= (5 +a)3

(2a - …. )3 = 8 a3 - 12 a2b + 6a b2 - b3

(3b + 2a)3 = 27 b3 +  ….  +….   + 8 a3

4.1.2. Найди ошибку:

(3х+1)3= 27х3 + 9х + 9х +1

(5a – 2)3 = 125a2 – 150a2 + 60a - 8

(y – 1/3)3= y3 + y2 – 1/3y + 1/27

4.2.Задания для закрепления

4.2.1. Показать, что выражение (а – 2)– (а (3 + (а – 3)2) – 10) при всех значения а, равно 2.

Решение:

Ответ:

4.2.2.Реши уравнение: ((х + 6)– х(х + 9)2) : 27 = 1

Решение:

Ответ:

4.2.3.Вычислить:

0,4+ 3*0,4*0,1 + 0,03*0,4 +0,001=?

Решение:

Ответ:

4.3.Контрольные задания

     Вариант 1                             Вариант 2                          Вариант 3

1)Преобразуйте  в многочлен

      (2 +c)3                                     (x – y2)3                           (1/2x2y – xy2)3

2) Возвести в куб выражение:

     (a +b+c)3                                (a+b+c+d)3                             (a + b)5   

Ответы к контрольным заданиям:

Вариант 1.1) 8 + 12с +6с2 + с3; 2) a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3ac2+3bc2+3a2c+3b2c+6abc;

Вариант 2.1)x3- 3x2y2+3xy4-y6; 2)a3+b3+c3+d3+3a2(b+c+d)+3b2(a+c+d)+3c2(d+a+b)+3d2(a+b+c)+6(abc+abd+acd+bcd);

Вариант 3.1) 1/8x6y3 – 0,75x5y4+1,5x4y5- x3y6;  2)10a2b3+5ab4+b5.

Глава 5. Совместное применение формул сокращённого умножения

5.1. Упражнения среднего уровня

5.1.1.Упростите выражение и выберите верный ответ:

(x +6y)2 – (6y + 5x)(6y – 5x) + x(12y – 6x)

Решение:

http://festival.1september.ru/articles/626618/Image2972.gif

http://festival.1september.ru/articles/626618/Image2973.gif

http://festival.1september.ru/articles/626618/Image2974.gif

5.1.2. Проведите соответствия, соединив стрелками

А) (a - b)2
Б) (3x - 4)
2
В) (-c
2+3x4)2
Г) (m
2 - 3n)2
Д) (a +2b)
2
Е) (2c +5)
2
Ж) (10x-3)(10x+3)
З) (6n-p)(p+6n)

1)m4-6m2n+9n2
2)100x
2-9
3) 9x
2-24x+16
4) 36n
2-p2
5) 9x
8-6x4c2+c4
6) a
2+4ab+4b2
7) 4c
2+20c+25
8) a
2-2ab+b2

5.1.3.Вычислите значение выражения:

(y+5)(y2 – 5y + 25) – y(y2 + 4), при   y = - 25

Решение:

Ответ:

5.1.4. Сравнить:  37и  36 · 38

36 · 38 =(37-1) · (37+1)= 372 – 12

Значит, 37> 36 · 38.

Задание.

Сравнить: 742   и  73х75

Решение:

Ответ:

5.1.5. Представьте в виде многочлена:

а) ( x + 7)2;

б) (-4n3 + n)(n + 4n3)

5.1.6. Разложите на множители:

а) y5 – 25y3

б) 16x + 8x2 + x3

5.1.7.Упростите выражение:

а) (x +7)2 – 10x

б) (3a +p)(3a- p) + p2

5.1.8.Решите уравнение:

а) (x2 -1)(x2 +3) = (x2 +1)2 +x

Решение:

Ответ:

б)12-(4-х)2 = х(3-х)

Решение:

Ответ:
в) 36-х2 = 0

Решение:

Ответ:

г) (2х+3)2-4(х-1)(х+1)=49

Решение:

Ответ:
д) (x-4)(x+4)+(3x-4)(x+2)=(2x+3)2

Решение:

Ответ:

5.2. Упражнения повышенного уровня

5.2.1. Поставить в соответствие, соединив стрелками

А)(a + b)2
Б)(a - b)
2
В) a
2 - b2
Г) (a + b)
3
Д) (a - b)
3
Е) a
3+ b3
Ж) a
3- b3

1) (-в-а)(в-а)
2) a
3+3a2b+3ab2+b3
3) a
3-3a2b+3ab2-b3
4) (a+b)·(a
2-ab+b2)
5) (a-b)·(a+b)
6) a
2-2ab+b2
7) (b-a)
2
8) (a-b)·(a
2+ab+b2)
9) (-b+a)
2
10) a
2+2ab+b2
11) (b+a)
2
12) (-a-b)
2

5.2.2.Представьте в виде многочлена:

а)(-7x-1)2;

б) (-6a2 – 2b4)(6a2 – 2b4).

5.2.3.Разложите на множители:

а)a3 – 2a2 +18 – 9a;

б)x5y2 + 27x2y5.

5.2.4. Упростите выражение:

а)2x(1 +x) – (x – 2)(x + 2);

б) 4c (c - 2) – ( c – 4)2.

5.2.5.Решите уравнение:

x3 + 3x2 – x – 3 = 0

Решение:

Ответ:

5.2.6. Представьте выражение 24xy в виде разности квадратов двух многочленов.

Решение: 24xy = 12xy + 12 xy = 2x·6y + 2x·6y = (x +6y)2 – (x – 6y)2

или 24xy = 2•6x•y + 2•6x•y = (6x + y)2 – (6x – y)2

или 24xy = 2•xy•6 + 2•xy•6 = (xy + 6)2 – (xy – 6)2

Задание: Представить выражение 28аb в виде разности квадратов двух многочленов.

Решение:

5.2.7.Представьте выражение 2а(а2 + 3b2) в виде суммы кубов двух многочленов.

Решение: 2а(а2 + 3b2) = 2a3 + 6ab2 = a3 + 3ab2 + a3 + 3ab2 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a + b)3 + (a - b)3;

Задание: Представьте выражение 2b(3a2 + b2) в виде разности кубов двух многочленов.

Решение:

5.2.8. Докажите, что выражение (5m-2)(5m+2)-(5m-4)2 - 40m  не зависит от значения переменной.

Решение :(5m-2)(5m+2)-(5m-4)2-40m=25m-24-(25m2+16-40m)-40m=25m2-4-25m2-16+40m-40m=-20

Задание: Докажите, что выражение (2x – 3)(2x +3) – (2x – 9)2 – 36x не зависит от значения переменной x.

Решение:


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Учебно-методическое пособие.Разработка и презентация в PPt урока по теме «Импрессионисты. Клод Моне»

Учебно-методическое пособие. План и презентация в РРt  урока по теме  «Импрессионисты. Клод Моне  -  « L’  aventure  des  impressionnistes»  для уч...

Разработка урока "Формулы сокращенного умножения"

Уважаемые коллеги, начинающие учителя!Предлагаю разработку обобщающего урока по теме "Формулы сокращенного умножения".Основные цели изадачи урока:...

Методическая разработка урока "Формула сокращенного умножения" для 7 класса

Статья по теме "Методическая разработка урока "Формула сокращенного умножения" для 7 класса"...

разработка урока "Формулы сокращенного умножения."

Урок алгебры в 7 классе. Тип урока: открытие новых знаний.Цель урока: Вывести формулы квадрата разности, квадрата суммы; сформировать умение применять эти формулы для упрощения выражений....

Учебно-методическое пособие "Разработка модели информационные потребности школьников"По мере развития представлений об автоматизации информационного обеспечения процессов принятия решений становится очевидным, что для функционирования и управления любой

По мере развития представлений об автоматизации информационного обеспечения процессов принятия решений становится очевидным, что для функционирования и управления любой организацией нужен широкий спек...

Методическая разработка урока «Формулы сокращенного умножения: разность квадратов».

Структура урока представлена в виде технологической карты, использованы специальные программные средства. Урок направлен на организацию активной познавательной деятельности обучающихся и достижение пл...

Алгебра Разработка урока "Формулы сокращенного умножения"

Отработка  и углубление ЗУН по данной теме....