Решение неравенств методом рационализации
презентация к уроку (алгебра, 11 класс) по теме
Решение неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства, поэтому я решила рассмотреть один из способов решения неравенств – метод рационализации. В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение задания С3 ЕГЭ, в частности логарифмических и показательных неравенств.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 metod_ratsionalizatsii.pptx | 1.42 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Решение неравенств - важный раздел в математике. Успешное изучение математики невозможно без умения решать разнообразные неравенства, поэтому мы решили рассмотреть один из способов решения неравенств – метод рационализации. В школьной программе он не изучается, но его применение значительно облегчает решение задани я С3 ЕГЭ, в частности логарифмических и показательных неравенств. Введение
Часто , при решении логарифмических неравенств, встречаются задачи с переменным основанием логарифма. Так, неравенство вида является стандартным школьным неравенством. Как правило, для его решения применяется переход к равносильной совокупности систем: Теоретическое о боснование метода
Недостатком данного метода является необходимость решения семи неравенств, не считая двух систем и одной совокупности. Уже при данных квадратичных функциях решение совокупности может потребовать много времени. Можно предложить альтернативный, менее трудоемкий метод решения этого стандартного неравенства. Это метод рационализации неравенств, известный в математической литературе под названием декомпозиции. Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F ( x ) на более простое выражение G ( x ), при котором неравенство G ( x ) 0 равносильно неравенству F ( x ) 0 в области определения выражения F ( x ).
Рассмотрим логарифмическое неравенство вида , (1 ) где - некоторые функции Теорема 1. Логарифмическое неравенство равносильно следующей системе неравенств : ( 2) Сведение логарифмического неравенства к системе р ациональных неравенств
Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство . Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство Если , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана. Доказательство
Теперь рассмотрим показательное неравенство вида 3) Так же, как в предыдущем пункте, - некоторые функции. И снова вспомним, что традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям . В первом основание степени положительно, но меньше единицы (знак неравенства обращается), во втором случае основание степени больше единицы (знак неравенства сохраняется). Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме. Сведение показательных н еравенств к системе р ациональных неравенств
Теорема 2. Показательное неравенство равносильно следующей системе неравенств : (4)
Если , то первый множитель третьего неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство . Если , то первый множитель третьего неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство . Доказательство
Выделим некоторые выражения F и соответствующие им р ационализирующие выражения G , где f , g , h , p , q – выражения с переменной x ( h > 0, h 1, f > 0, g > 0), 1). а – фиксированное число ( a > 0 , a
Выражение F Выражение G 1 1а 1б 2 2а 2б 3 4 4а 5 6
Доказательство Пусть log a f- log a g> 0 , то есть log a f> log a g , причём a > 0, a ≠ 1, f > 0 , g > 0. Если 0 < a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем f < g . Значит, выполняется система неравенств a -1<0 f – g < 0 Откуда следует неравенство ( a – 1 )( f – g ) > 0 верное на области определения выражения F = log a f - log a g . Если a > 1, то f > g . Следовательно, имеет место неравенство ( a – 1 )( f – g )> 0. Обратно, если выполняется неравенство ( a – 1 )( f – g )> 0 на области допустимых значений ( a > 0, a ≠ 1, f > 0, g > 0), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем. a – 1<0 a – 1 > 0 f – g < 0 f – g > 0 Из каждой системы следует неравенство log a f > log a g , т о есть log a f - log a g > 0. Аналогично, рассматриваются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0.
Пусть некоторое число а > 0 и а ≠ 1, тогда имеем = Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения или ( h -1)( f - g ) .
Так как = то , используя замены 2а и 2б, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения ( f - 1 )( g - 1 )( h - 1 )( g – f ).
Из неравенства > 0 следует . Пусть число а > 1, тогда log a > log a или ( h – g ) log a h > 0. Отсюда с учётом замены 1б и условия a > 1 получаем ( f – g )( a – 1 )( h – 1) > 0, ( f – g )( h – 1) > 0. Аналогично , доказываются неравенства F < 0, F ≤ 0, F ≥ 0 . Доказательство проводится аналогично доказательству 4 . Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств | p | > | q | и p 2 > q 2 ( | p | < | q | и p 2 < q 2 ).
Решить неравенство: Решение: Пример 1.
- - + + -2 2 1 ОТВЕТ:
Решить неравенство: Решение: Пример 2.
- + -2 1 0 ОТВЕТ: -1 -1 0 1 + - - +
Решить неравенство: Решение: Пример 3.
Пример 4. Решить неравенство: Решение:
Пример 5. Пример 6. Пример 7. Пример 8. ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ Решите примеры
Пример 9. Пример 10. Пример 11. ОТВЕТ ОТВЕТ ОТВЕТ
- + 1/2 3 2 ОТВЕТ: + - 0 -1 Пример 5 НАЗАД
- + 6 2 ОТВЕТ: 1 3 9 + - + Пример 6 НАЗАД
+ - -1 3 1 ОТВЕТ: 0 -1 0 2 + - + (2;3) Пример 7 НАЗАД
- + -2 1 ОТВЕТ: -1 -1 0 + - Пример 8 НАЗАД
- + -3 1 0 ОТВЕТ: -1 -1/2 4 + + - Пример 9 НАЗАД
- + 3 ОТВЕТ: 1 1 2 + + - Пример 10 НАЗАД
3/2 ОТВЕТ: 0 5/4 Пример 11
Корянов А. Г., Прокофьев А. А. – Методы решения неравенств с одной переменной. – 2011. Моденов В. П. – Пособие по математике. – 1972. Ткачук В.В. - Математика абитуриенту. Москва: МЦНМО, 2008. С П И С О К и спользованной литературы
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Презентация урока по теме "Решение неравенств методом интервалов"
Презентация урока...
Решение неравенств методом интервалов
Материал содержит конспект урока и презентацию, преподавание ведется по учебнику Ю.Н.Макарычев и др."Алгебра - 9"...
Решение неравенств методом интервалов 9 класс алгебра
Конспект урока в 9 классе по алгебре "Решение неравенств методом интервалов"...
Презентация «Решение неравенств методом рационализации»
Решение неравенств повышенной сложности, содержащих модули, иррациональные, логарифмические, показательные функции или их комбинацию, стандартными школьными методами часто оказывается весьма сложным и...
Решение нестандартных неравенств методом рационализации
Примеры применения метода рационализации при решении нестандартных неравенств...
Открытый урок по алгебре в 9 классе по теме «Решение неравенств. Решение неравенств методом интервалов. Подготовка к ГИА»
Обобщить и систематизировать теоретические знания учащихся и практические навыки по теме «Неравенства. Решение неравенств методом интервалов.»; Совершенствование навыков решения лине...