Физический и геометрический смысл производной
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Слайд 1

Методическая разработка по дисциплине «Математика» на тему «Физический и геометрический смысл производной» Составила: преподаватель высшей категории Викулина Елена Владимировна ГБПОУ «колледж «Красносельский» Г.Санкт-Петербург 2013 год

Слайд 2

Содержание Определение производной 3 Физический смысл производной 5 Геометрический смысл производной 9 Уравнение касательной 15 Связь свойств функции с её производной 17

Слайд 3

Определение Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии ,что приращение аргумента стремится к нулю

Слайд 5

Физический смысл производной Если материальная точка движется по закону S (t) , то скорость её движения V (t) в момент времени t равна производной S‘ (t) , то есть V (t) = S‘ (t). Производная от скорости – ускорение a (t) = V‘ (t) , то есть ускорение равно второй производной от функции a (t) = V‘ (t) = S“ (t).

Слайд 6

Задачи на физический смысл производной № 1 Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону S = 5t +0,2t² -6 ( м), где t – время движения в секундах. Найдите скорость тела через 5 секунд после начала движения.

Слайд 7

№ 2 Тело движется по прямой так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону S = 2t³ - 12t² + 7 ( м), где t – время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения ускорение тела будет равно 36 м/с ² ? № 3 Две материальные точки движутся по законам S1 = 2,5t² -6t + 1; S2 =0,5t² +2t -3. В какой момент времени их скорости будут равны?

Слайд 8

Решение задач № 1 V(t) = S‘(t) = 5+0,6t²; V(5) = 5+0,6*5² = 20 ( м/с) № 2 V(t) = S‘(t) = 6 t² -24t; a(t) = V‘(t) = S“(t) = 12t – 24; По условию a(t) = 36; то есть 12t – 24 = 36; t = 5 (c) № 3 V1(t) = S‘1(t) = 5t - 6; V2(t) = S‘2(t) = t+ 2; По условию V1(t) =V2(t); то есть 5t – 6 = t +2; t = 2 (c)

Слайд 9

Геометрический смысл производной Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции y = f (x) в точке x равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x .

Слайд 10

Задачи на угловой коэффициент касательной № 1 Дана функция f (x) =3x²+5x-6. Найдите координаты точки её графика, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен «-7». № 2 Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции f (x) = 4Cos x+3 в точке с абсциссой x = - /3.

Слайд 11

Решение задач № 1 Ккас = f ‘(x) = 6x + 5; По условию Ккас = -7, то есть 6х + 5 = -7; х = -2; у = f ‘( -2 ) = 3*(-2) ² + 5*(-2) – 6 = -4; (-2; -4) – точка касания № 2 Ккас = f ‘(x) = 6 *Cosx + Sinx; f ‘( /3 ) = 6 *Cos( /3 ) + Sin( /3 ) = 6*1/2 + √3/2 = (6 + √3)/2 ; Ккас = (6 + √3)/2 ;

Слайд 12

Зависимость знаков производной от угла наклона касательной

Слайд 13

Нахождение значения производной в заданной точке по графику функции

Слайд 14

Решение задач № 1 Из ∆ ABC: tg α = tg ACB = AB/BC = 10/5 =2 № 2 Из ∆ ABC: tg α = - tg AB С = - AC/BC = - 3/12 = -0,25

Слайд 15

Уравнение касательной дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке Xo ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением: y = f ’( Xo ) · ( X − Xo ) + f ( Xo ) Здесь f ’( Xo ) — значение производной в точке Xo , а f ( Xo ) — значение самой функции.

Слайд 16

Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке Xo =  /2. f ( Xo ) = f (  /2) = 2sin (  /2) + 5 = 2 + 5 = 7; f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x; f ’( Xo ) = f ’(  /2) = 2cos (  /2) = 0; Уравнение касательной: y = 0 · (x −  /2) + 7 ⇒ y = 7

Слайд 17

Связь свойств функции с её производной

Слайд 18

Исследовать функцию на монотонность и экстремумы по графику производной

Слайд 19

Решение задачи Функция y = f(x) возрастает на промежутках [ -7 ;-4] и [ -1 ;4] ; Функция y = f(x) убывает на промежутках [ -4 ;- 1 ] и [ 4 ; 6 ] ; Х = -4 и Х = 4 – точки максимума; Х = -1 –точка минимума