Обобщающий урок по теме:"Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств" в 10 - 11 классе
материал по алгебре (10 класс) по теме

                                                           Урок - зачет

                По теме: «Решение  показательных и логарифмических  уравнений и неравенств

Потехина Любовь Павловна,

муниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия «Логос»,

 учитель математики

г. Кимры Тверской области

Предмет (направленность): математика.

Возраст детей: 10(11) класс.

Место проведения: класс.

    Цели урока.

образовательные: закрепить знания учащихся о показательных и логарифмических функциях и их свойствах, о решении показательных и логарифмических  уравнений и неравенств; формировать умения учащихся решать уравнения, решать неравенства; повторить ключевые понятия: корень уравнения, решение неравенства, различные приемы решения как уравнений, так и неравенств; продолжить формировать умение учащихся по работе с нестандартными приемами решения уравнений и неравенств; учить решать уравнения и неравенства, содержащие параметры; закрепить умения  использовать стандартные приемы в решении сложных нестандартных уравнений и неравенств.

развивающие: продолжить формирование умений делать выводы и обобщения, применять как стандартные приемы решения уравнений и неравенств, так и нестандартные, содержащие параметр, а также развитие интеллектуальных способностей и любознательности учащихся; продолжить формирование мыслительных операций: сравнение, классификация, конкретизация, установление причинно-следственных связей, вариативность;  развитие речи, внимания, памяти; побудить учеников к применению полученных знаний в нестандартных, новых для них ситуациях.

воспитательные: продолжить воспитание отношения к математике как к жизненной науке;  формирование познавательных, эмоциональных и социальных мотивов обучения; воспитание дружеских отношений в коллективе, взаимопомощи, трудолюбия, аккуратности.  

Тип урока: урок применения знаний.

Оборудование: проектор, ноутбук, экран, документ-камера, плакаты, карточки для проведения самостоятельной работы.

 Ход урока.

1. Организационный момент. Проверка готовности учащихся к уроку.

Учитель: Добрый день! Садитесь. На предыдущих уроках мы с вами решали показательные и логарифмические уравнения и неравенства, изучили свойства и графики данных функций. Но вас всегда интересует вопрос: «А зачем все это знать? Где мы это встречали? Практически это нигде не встретишь!» Так ли это? Сегодня мы услышим от ваших товарищей, что им известно о данных функциях. Они хотят вас познакомить со своими сведениями о функциях. Ваша задача рассудить их спор: «Какая функция самая важная и нужная в нашей жизни». Послушаем их

2. Актуализация знаний. Подготовка к привитию интереса к изучаемому материалу.

Слово предоставляется ребятам. Ребята выходят с плакатом:

                        «О, функция, как ты важна!»

 Плакаты:  на ватмане рисунки графиков функций показательной и логарифмической.

Наша цель: показать полезность изучаемых  в школьном курсе функций, научить видеть знакомое в незнакомом, развить интерес к истории математики и её приложениям.

В представлении участвуют ученики 10 класс. Ребята  «представляют» функции: логарифмическую и показательную, на ватмане рисунки графиков данных функций.

Задача ребят: в течение 10-15 минут показать, что выбранная ими функция самая важная и интересная.

При  представлении учащимися данных функций в  смотре– конкурсе учитываются следующие    факторы:

  -научность;

  -историзм;

  -убедительность;

  -доказательство полезности функции;

  -наглядность;

  -разнообразие жанров;

  -полнота представленного материала.

Вводное слово учителя:

Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Математика рассматривает абстрактные переменные величины, изучает различные законы их взаимосвязи, не углубляясь в природу задачи.

Например, в соотношении у = х2  геодезист или геометр видит зависимость площади квадрата от его стороны, а  физик, авиаконструктор или кораблестроитель может усмотреть в нем зависимость силы у сопротивления воздуха или воды от скорости х  движения. Математика же изучает эту зависимость в отвлеченном виде, и она устанавливает, например, что увеличение х  в 2 раза приведет к увеличению у в 4 раза, и это заключение может применяться в любой конкретной ситуации.

В школьном курсе изучается немало функций: линейная, квадратичная, показательная, логарифмическая, дробно-линейная, тригонометрические функции и др.

   3. Практическое видение данных функций.

Постарайтесь доказать, что выбранная вами функция самая важная и интересная.

                           Парад функций.                                 

               Логарифмическая функция.

Ведущий.     Встать, суд идет.                                                  

         Прошу всех сесть.                                                  

 Судья.          Этот человек утверждает,         

                      Что логарифмы не нужны                                      

                      И их не применяют.

                     Слово предоставляю прокурору:        

                      Объясните суть спора.

   Прокурор.         Наш подсудимый глупо рассуждает,

                 Историю к тому же он не знает!

                Веками люди над их открытием трудились.

                Облегчить вычисления стремились                

                С тем логарифм и был изобретен,                        

                И функция придумана потом.        

                Одни таблицы, что Непера стоят,         

                Компьютеры на чьей основе строят.        

                Линейка им прабабушкой была,        

                И скольким людям в жизни помогла!

   Судья.           Свидетелям теперь я слово предоставлю,            

                Их показания без внимания не оставлю.              

 Свидетель.                Друзья, поверьте                                                  

         Самая интересная, полезная и лирическая              

         Это функция логарифмическая.  

                 Спросите Вы: «А чем интересна?»

                 А тем, что обратна она показательной.

                 И относительно прямой у = х, как известно,

                 Симметричны их графики обязательно.

                     Проходит график через точку (1;0)

                     И в том еще у графика соль,

                     Что в правой полуплоскости он «стелется»,

                     А в левую попасть и не надеется

                                     Но если аргументы поменяем  

                                      Тогда, по правилам, кривую мы сдвигаем,        

                                              Растягиваем, если надо, иль сжимаем                                  

                                              И относительно осей отображаем                                          

                                              Сама же функция порою убывает,        

                                              Порою по команде возрастает.                                        

                                              А командиром служит ей значенье х

                                              И подчиняется она ему всегда.

                                                                                                                                                                                                                                                         Теперь  полезность мы вам четко обоснуем                                                                      

 И  яркую картину нарисуем.                                                                

 Вот вы когда-нибудь слыхали                                                                            

 О логарифмической спирали?        

   Закручены по ней рога козлов                

   И не найдете вы на них нигде узлов        

   Моллюсков многих и улиток

   Ракушки тоже завиты.

   И как сказал поэт великий Гете:

                 «Вы совершеннее строения не найдете!»

                   И эту спираль мы повсюду встречаем:        

                        К примеру, ножи в механизме вращая,

                   В изгибе трубы мы ее обнаружим,        

                   Турбины тогда максимально послужат!        

   В подсолнухе семечки тоже закручены,

     И наукою все плетенья изучены.

   Наверняка, и о том вы не знали,

   Галактики тоже кружат по спирали!

Подсудимый (вскакивая с места)

                Как не прав я был, друзья,

                   Утверждая, смело:

                  «Логарифмы – ерунда,

                   Не нужны  для  дела».

                   Логарифмы – это все!

                   Музыка и звуки!

                   И без них никак нельзя

                   Обойтись наук!

                                  Показательная функция.

           Слушайте, слушайте, слушайте внимательно!

           И тогда признаете обязательно: самая важная -  

        функция показательная!

1.  По закону показательной функции размножалось все живое на Земле, если бы для этого   имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там раньше не было. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.

      2. Если бы все маковые зерна давали всходы, то через 5 лет число «потомков» одного растения равнялось бы

                      243∙10 или приблизительно 2 000 растений на      1 мсуши.

      3. Потомство комнатных мух за лето только от одной самки может составить 8∙10. Эти мухи весили бы несколько миллионов тонн, а выстроенные в одну цепочку, они составили бы расстояние от Земли до Солнца. Потомство пары мух за 2 года имело бы массу, превышающую массу земного шара. И только благодаря сообществу животных и растений, когда увеличение одного вида влечет за собой рост количества его врагов, устанавливается динамическое  равновесие в природе.

       4. В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняются в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания. Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста;

радиоактивный распад вещества – процессу органического затухания. Законам органического роста подчиняется рост вклада в сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови донора или раненого, потерявшего много крови.

       5. В природе и технике часто можно наблюдать процессы, которые подчиняются  законам выравнивания, описанным показательной функцией. Например,   температура чайника  изменяется со временем t согласно  формуле

                            T = T + (100 – T) e.

 Процессы выравнивания также можно наблюдать при включении и выключении  электрического тока в цепи, при падении тел в воздухе с парашютом.  В биологии процесс выравнивания встречается при  разрушении адреналина в крови; о работе почек судят по способности выводить радиоактивные вещества, количество которых уменьшается по показательному закону.

       6. Вы все слышали о цепных реакциях, теорию которых в 20-х годах описал химик Н.Н.Семенов,  а потом развили ученые атомщики. Как управлять этим процессом в мирных целях? На этот вопрос можно ответить только при помощи  показательной функции.

 4. Основная часть урока – проверка знаний учащихся

1). Презентация по решению заданий.

   У ребят на каждой парте основные виды решения уравнений и неравенств на листах. (Такие же задания в приложении). Все, что рассмотрено ранее. Дается время, чтобы вспомнить  ранее рассмотренные примеры, просмотр презентации. 

2). Проверим, как изучена теория о функциях. Двое из ребят по желанию  выбирают вопросы, подготовленные дома,   (вопросы перевернуты, составлены из теоретической части к уроку) и на доске готовят ответы.

Класс сдает практическую домашнюю работу на оценку, подготовленную к зачету.

 Все  получают  карточки  на решение уравнений и неравенств (это простейшие задания, сразу проверяются  через документ-камеру, время 5-7мин). Класс настроен на работу, выслушиваются ответы по теории.

Оцениваются ответы за теоретические вопросы.

3). Переходим к решению проверочной работы.  Каждый решенный вариант оценивается. Работы проверяются позже, учителем. Можно решить несколько вариантов, они не очень сложные.

    5) Подводятся итоги. Рефлексия. Что понравилось? Что вызвало затруднения? Что необходимо сделать, чтобы затруднений не было? Подводятся итоги, выставляются оценки в лист самооценки. Они тоже будут учтены при выставлении оценки в журнал.

   6). Дома: Из учебника (автор Колягин Ю.М.) выполнить задания « Проверь себя» стр.57,стр.125.

                       Упражнения из ЕГЭ С3 2013г. (центр)

    Учитель: Мы вспомнили все способы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств,

написали самостоятельную работу, выполнили домашнюю практическую работу.

Очень надеюсь, что теперь вы можете решить как контрольную работу на следующем уроке,

 так и любое задание на ЕГЭ. Желаю всем хороших результатов.

                                                                                                                                                        Приложение.                                                                                                                                                                       

   В классе за две недели до проведения семинара на стенде вывешивается  вопросы к семинару и

            практическая часть, за которую каждый получит оценку.

     Теоретические вопросы к семинару по теме:

                   «Показательная функция»

1.Определение степени с действительным показателем.

2. Основные свойства степени с действительным показателем(a>0, b>0, х1, х2,

      х3 - любые действительные числа).

3. Показательная функция, её свойства и график.

4. Взаимно обратные функции.

     Показательная и логарифмическая функции взаимно обратны.

             « Логарифмическая функция».

1.Определение логарифма числа  х  по основанию а  (х>0, а>0, а≠1).

    Основное логарифмическое тождество.

2. Свойства логарифмов.

3. Десятичные и натуральные логарифмы.

    Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму          

    по другому основанию.

4. Логарифмическая функция, её свойства и график.

                        Должны знать:

- свойства данных функций и их графики;

- алгоритмы решения показательных и логарифмических уравнений и    

   неравенств;

- применять знание свойств функций при решении заданий с параметрами.

                    Должны уметь:

-решать уравнения и неравенства различными методами:

-анализировать результаты, выбирать верный ответ;

-выбирать рациональный способ решения;

-при необходимости графически представлять результаты;

-решать задания с параметрами.

          Используемая литература:

          Учебник «Алгебра и начала анализа» 10 класс  (Ю.М.Колягин, Ю. В. Сидоров, М.В. Ткачева)

            Журнал «Математика в школе».

                                                   Практическая часть к зачету.

                                              (домашняя работа)

                                                I. Уравнения.

10). 3х+1=1;          8х= ;                                               10). log (x-2)+log(x+6)=2  

  3·27x=81;           5x=12x         ;                                              

  2). 9х-  4·3х+3 = 0;                                                      2). log(x-2)·log5x = 2log3 (x-2)

                                                                 lg x + lg x2 =lg 9x;
 3).а0)7x-2  =  32-x ;                                                      
       4  = 4x;                                                           3). а0)

  4).23x +8·2x - 6·22x = 0;                                                    4). lg x4 + lg 4x = 2 + lg x 3;
    2x-7 x+10 = 1;                                                                

    53x+1+34·52x-7·5x  = 0;                                                    

                                                II. Неравенства.

10).;          24x≥;        10). log 8 (4-2x) ≥ 2;

     2-x+3x  < 4;             log(2-5x) < -2;                                                                   2).      5 > 5x;                                 2). log0.5<0;   loglog2  x>0;

       9x - 3x – 6 > 0;        log(4x+7) > 0.

                 III. Графически  решить  уравнение,  неравенство.

10). ;         3-x = ;                           10). log 3 x =5-x;       2x  = log0.5 x;

2).  ≥ x+1;          < x3 – 1;                      2).log0.5 x > 1;    log2 x ≤ x2-5x + 6.

                                   IV.  Дополнительные  задания.

1)2log5 x – log x 5= 1;              2) 0,1·xlgx – 2 = 100;             3) x=105+lgx;

              4) x log- 2 = 23(logx – 1);                 5) log 2 log2 (x – 3) +1 = log2 (x2 – 3x).

    Знания, необходимые для получения положительной оценки отмечены «0»

Задания к контролирующей  самостоятельной работе в классе                                            (каждая карточка – набранные  к зачету баллы)

                                 Карточки.

                                                  Вариант I.

1).  8x+5 = ()x;                                                        2). log0.5(x + 1) > log2 (2 – x);

3). log3 x + log9 x + log27 x  =  ;                         4).  25x  - 26·5x-1 + 1 ≥ 0.

                                                Вариант II.

1). 2x· 4x = 0, 5;                                                     2). log x 3 – log x 2 = 0,5;

3).                                                          4). log 8 (x2 – 4x + 3) < 1.

                                               Вариант III.

1). 3x+2 + 3x = 810;                                                   2).log 0,3 (2x – 4) > log 0,3 (x + 1);

3). log 0,5( - ) = 4;                                                 4). 1,5 5x-0,5 ≥ ;  

                                               Вариант IV.

1).52x – 3· 5x – 10 = 0;                                             2).  lg (3x – 7) ≤  lg (x + 1);

3). 33x+ 2  = 3x+5x;                                                4).  0,1x + 1 < 0,8 + 2·10x.

                                              Вариант V.

1). 73x + 9·52x  = 52x + 9·73x;                                     2). 0,1x-x≤ 1;

3). log 11log 3 log 2 (-x) = 0;                                       4).  log 3x + log 3 ( x- 8) ≥ 2.

                                                 Вариант VI.

1). 5x + 3·5x-1 + 2·5x-2 = 42;                                      2). log 3 ( x + 1) + log 3 (x+3) = 1;

3). 5·52x + 6·6x  - 30 – 52x·· 6x > 0;                            4). lg (3x – 7) ≤ lg (x + 1);

                                               Вариант VII.

1). log 25 x + log 5 x = log 0,2 ;                              2). 52x-3 – 2·5x-2 = 3;

3). 32x +5 ≤ 3x +2 + 2;                                                   4). log 2(1 + logx – log9 x) < 1.

             Собраны все случаи рассмотренных и решенных ранее заданий по показательным и логарифмическим уравнениям и      неравенствам. На столах лежат листы такого вида:

                  Решение показательных уравнений.

1. Приведение обеих частей уравнения к одному основанию.

Пример 1. Решить уравнение:  .

Решение. Заметим, что основания степеней, стоящих в левой и правой части уравнения есть степени двойки, поэтому, учитывая свойства степеней,  имеем уравнение  , тогда на основании теоремы получаем уравнение: .                                                                                                                                                                Ответ: .

Пример 2.  Решить уравнение:   .

Решение. Учтем, что    ,  , тогда первоначальное уравнение примет вид:        .                                                                     Ответ: .

        2. Логарифмирование обеих частей уравнения (если они строго положительные) по одинаковому основанию.

Пример 3. Решить уравнение:  .

Решение. Первый прием здесь применить нельзя, так как числа 3 и 5 невозможно представить в виде степени с одинаковым основанием. Учитывая, что  и , при любом значении переменной, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3, получим:  , откуда используя свойства логарифма, имеем . Получили квадратное уравнение , решая которое получаем корни: .

Ответ:

Замечание. Логарифмировать можно, вообще говоря, по любому основанию, но обычно логарифмируют по одному из оснований степеней, входящих в уравнение.

        3. Разложение левой части уравнения на множители и сведение уравнения к совокупности нескольких уравнений вида (1).

Пример 4. Решить уравнение: .

Решение. Вынесем в левой части уравнения  выражение за скобки, получим:   =      .                                                                                                         Ответ: .

Пример 5.  Решить уравнение:  .

Решение. Так как , ,  , то первоначальное уравнение примет вид: . Сгруппируем первое, четвертое и второе, третье слагаемые, и вынесем общие множители за скобки:     . Полученное уравнение сводится к совокупности уравнений: , . Решая эти уравнения логарифмированием обеих частей, находим корни первоначального уравнения: .

Ответ: .

        Рассмотрим примеры нескольких видов уравнений, которые могут быть решены вторым методом – методом введения новых переменных.  

 Уравнение вида  при помощи введения новой переменой , сводится к решению алгебраического уравнения      .

Пример 6.  Решить уравнение: .

Решение. Пусть . Тогда первоначальное уравнение примет вид: , откуда находим . Таким образом,  данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений  и . Решая первое уравнение, получаем . Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как при любом значении переменной, а  .                                                                                                                                           Ответ: .

Пример 7. Решить уравнение:   .  Решение. Учитывая, что    и , получим уравнение  . Введем новую переменную , получим:  . Преобразуя это дробно-рациональное уравнение, придем к следующему уравнению: . Последнее уравнение распадается на совокупности

двух уравнений, решая которые получаем:    ,   . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений: ; ; . Из первого уравнения находим  . Логарифмируя обе части второго уравнения по основанию 2,  находим .Третье уравнение решений не имеет, так как , в то время как  при любом значении переменной.                                                        

                                                                                                                      Ответ: ;  .

                                                   Показательные неравенства

        Решение показательных неравенств вида    , где а – положительное число, отличное от 1, основано на следующих теоремах:

Если  а >1, то неравенство  равносильно неравенству .

Если  0 < а < 1, то неравенство равносильно неравенству .

Другие показательные неравенства теми или иными методами, как правило, сводятся к неравенству этого вида.

Пример 15. Решить неравенство  .    (1)

Решение. 1) Воспользовавшись свойствами степени с рациональным показателем, преобразуем неравенство (1) к виду   .

2) По теореме 1 неравенство (1) равносильно неравенству .

3) Преобразуем полученное дробно-рациональное неравенство к виду .

Решив полученное неравенство методом интервалов, получаем .

Ответ: .

Пример 16. Решить неравенство  .

Решение. 1) Слева и справа вынесем за скобки общий множитель слагаемых:

2) Последнее неравенство по теореме 2 равносильно неравенству  х + 2 > 2, откуда находим: х > 0.

Ответ: .

Пример 17.  Решить неравенство .

Решение. 1) Введем новую переменную . Тогда заданное неравенство примет вид: .

2) Решая дробно-рациональное неравенство, получим:  ;  . Таким образом, решение первоначального неравенства свелось к решению совокупности двух неравенств: ;    .

3) Решим каждое из неравенств совокупности. Воспользуемся свойствами степени и определением логарифма: 1 = (0,5)0;  ;   2 = (0,5)-1, тогда каждое из неравенств совокупности примет вид: (0,5)0 < (0,5)x ;  (0,5)x > (0,5)-1. Используя теорему 2, перейдем к рациональным неравенствам, решая их получим:  х<-1  и .

Ответ: .

                                            Логарифмические уравнения.

Логарифмическое уравнение – это трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент логарифма.

При решении логарифмических уравнений используются два основных метода: 1) переход от уравнения  к уравнению вида; 2) введение новых переменных. Для успешного решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств, вспомним определение и свойства логарифма.

       Логарифмом числа b по основанию a, называется показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b.

          Основные свойства логарифмов:

1) ;                                          5) = ;

2) ;                                      6) ;

3) ;                 7) ;

4) = ;                   8) .

        Перечислим основные свойства показательной и логарифмической функций:

Область определения функции , где  - всё множество действительных чисел; функции , где  - множество положительных действительных чисел.

Множество значений функции - множество положительных действительных чисел; функции  - всё множество действительных чисел.

Промежутки монотонности: если обе функции возрастают; если  - обе функции убывают.

    Замечание. 1) В соответствии со вторым свойством, при решении логарифмических уравнений необходимо либо выяснять область  допустимых значений уравнения, либо после решения делать проверку.

2) Третье свойство необходимо помнить при решении неравенств.

Рассмотрим некоторые виды простейших логарифмических уравнений.

Решение простейшего логарифмического уравнения   (1)

основано на следующем важном свойстве логарифмов:

логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному, отличному от единицы, основанию равны  тогда и только тогда, когда равны эти числа.

      Для уравнения (1) из этого свойства получаем: - единственный корень.

      Для уравнения вида            (2) получаем равносильное уравнение  .

Пример 9. Решить уравнение  .

Решение. Поскольку ,  , то исходное уравнение равносильно уравнению     . Отсюда получаем   - единственный корень данного уравнения.

                                                                                                                                                                      Ответ: .

Пример 10. Решить уравнение  .

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению , которое, в свою очередь, равносильно квадратному уравнению . Находим корни этого уравнения :  х1=3,  х2=2.

                                                                                                                                                     Ответ: х1 = 3,  х2 = 2.

К простейшим логарифмическим уравнениям относятся также уравнения вида    (3),  которое

 а) при А1 и В0 имеет единственный корень ;  б) при А=1 и В=0 имеет решением любое положительное, отличное от единицы, число;  в) при А=1 и В0 корней не имеет;  г) при А1 и В=0 корней не имеет.

        Рассмотрим методы сведения логарифмических уравнений к простейшим уравнениям и системам уравнений и неравенств.

1) Уравнение вида   методом замены переменной: сводится к уравнению . Если t1, t2,…,tn – корни этого уравнения, то решение первоначального уравнения сводится к решению совокупности простейших уравнений: , ,…, .

Пример 11.  Решить уравнение  .

Решение. 1) Обозначим , тогда уравнение примет вид

2) Решим полученное дробно-рациональное уравнение

3) Найдем значения старой переменной, решив совокупность уравнений:

          х1=10,  х2 =

Ответ: х1 = 10,  х2 = .

2) Уравнение вида  , можно заменить одной из равносильных ему систем:  или  

Пример 12.  Решить уравнение  .

Решение. 1) Уравнение равносильно системе:

2) Решим первое неравенство системы:  .

3) Решим второе уравнение системы:      

    . Оба корня уравнения удовлетворяют неравенству системы.

Ответ:

Пример 13. Решить уравнение  .

Решение. 1) Найдем область допустимых решений данного уравнения, для чего решим систему неравенств:  . Первое неравенство системы выполняется при любых значениях переменной, второе - при  . Поэтому система имеет решение при  .

2) Для решения уравнения перейдем к одному основанию логарифмов, а именно к основанию 2, воспользовавшись свойствами логарифмов:    

             .

Решая полученное дробно-рациональное уравнение, находим: ,  ,  . Из найденных значений только  входит в область допустимых решений уравнения.

                                                                                                                                                      Ответ: .

Пример 14.   Решить уравнение  .

Решение. 1) Область допустимых решений уравнения

2) Воспользуемся  свойствами логарифмов и преобразуем первоначальное уравнение:

3) Введем новую переменную  . Тогда уравнение примет вид:

    . Найдем корни этого квадратного уравнения ,   .

4) Первоначальное уравнение, таким образом, свелось к системе двух простейших логарифмических уравнений:  ,  . Решив эти уравнения, получим:

х1 = 16,   х2 = . Оба полученных корня входят в область допустимых решений первоначального уравнения.

Ответ: х1 = 16,   х2 = .

                                                  Логарифмические неравенства

        Любое логарифмическое неравенство может быть, в конечном счете, сведено к неравенству вида                  (1)

Решение такого неравенства основывается на следующих теоремах:

1. Если а > 1, то неравенство вида (1) равносильно системе неравенств:

2. Если  0 < а < 1, то неравенство (1) равносильно системе неравенств:

Замечания 1. Первые два неравенства систем задают область допустимых решений неравенства (1).

2. В системе из теоремы 1 можно опустить первое неравенство, так как оно следует из второго и третьего. Аналогично, в системе из теоремы 2 можно опустить второе неравенство.

Пример 18. Решить неравенство .

Решение. 1) Так как    , то первоначальное неравенство можно переписать так:  . По теореме 2 это неравенство равносильно системе неравенств:

2)  Решив систему неравенств, получим [2;  2,75) [4;  +).

                                                                                                                                        Ответ:  [2;  2,75) [4;  +).

Пример 19.  Решить неравенство .

Решение. 1) Найдем область допустимых решений неравенства, для чего решим систему неравенств:           .

2) Используя свойства логарифма, в первоначальном уравнении перейдем к логарифмам с основанием 2 (см. свойства в начале статьи):  или  .

3) Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид: .

4) Решая полученное дробно-рациональное неравенство,  найдем  ,  ,  .

5) Таким образом, решение первоначального логарифмического неравенства свелось к решению совокупности логарифмических неравенств:     . Учитывая область допустимых значений первоначального неравенства,             имеем:  ;   ;   .

                                                                                                                     Ответ: .

                                     Нестандартные уравнения и неравенства.

К нестандартным уравнениям или неравенствам обычно относятся те уравнения и неравенства, которые предполагают способы их решения, отличные от прямо вытекающих из определений или теорем, или свойств данных функций.

1.Решить уравнение:   3х+5х=34.

Решение.  Заметим, что х=2 удовлетворяет уравнению. Докажем, что других решений оно не имеет. Действительно, каждая из функций у=3х и у=5х  строго возрастает, поэтому их сумма – строго возрастающая функция. При х=2 левая часть равна 34, при  х<2 она, следовательно, меньше 34,  а при х>2  -  больше 34. Поэтому уравнение имеет только одно решение.

Ответ: х=2.

2.Решить уравнение:  .

Решение: Это уравнение удается решить, используя то, что левая часть является строго убывающей функцией, которая любое положительное значение принимает только один раз. Подбором убеждаемся, что х=-1.

Ответ: х=-1.

3. Решить уравнение:  500·8х=8·5.

Решение:Так как  500·8х=53·5, то уравнение можно записать в виде

5=8.        

Это уравнение содержит показательные функции с разными основаниями. Для его решения прологарифмируем обе части по любому основанию, например, по  

основанию 5.Тогда получим  
                               

откуда находим
                           
                             

   Обе  части исходного  уравнения положительны, поэтому логарифмирование не могло привести к потере корней, ни к появлению посторонних значений переменной.                                                                                           Ответ:     

         Рассмотрим пример уравнения, которое содержит одновременно и логарифмическую функцию,

                                                   и показательную.

   Решить уравнение: 

Решение: Поскольку  , уравнение можно записать в виде   . Так как , то, потенцируя по основанию 2, получаем равносильное уравнение  . Для его решения положим  , получим уравнение  , равносильное квадратному . Его корнями являются .

Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности показательных уравнений    2х-5=1,  

  2х-5=8. В данном случае проверка не является обязательной.

  Ответ: 5;  8.

   Рассмотрим уравнение, содержащее помимо логарифмической еще и иррациональную функцию.

                             Решить  уравнение:
   

Решение: Перейдем от логарифма по основанию 0,5 к логарифму по основанию 2

Следовательно,

 т. к. 1 = log2 2, откуда

     
Потенцируя по основанию 2, получаем иррациональное уравнение

равносильное исходному, так как

Решаем уравнение:

получаем     5+х= х2 + 6х+9,   х2+5х+4=0,  х=-1, х=-4.

Значение х = -1 является посторонним корнем иррационального уравнения, а значение х=-4 ему удовлетворяет.

Ответ: -4.

Замечание. Обратить внимание на то, что посторонний корень х=-1входит в ОДЗ исходного уравнения. Данный пример показывает, что из того, что найденный корень входит в ОДЗ уравнения, еще не следует, что он не посторонний.

Решить уравнение:

Решение: Рассматриваем только неотрицательные значения переменной.

При  х=0 обе части уравнения равны нулю, и, следовательно, х=0 – корень уравнения.

При  х > 0  получим уравнение, выполнив логарифмирование по основанию 10,
, решая которое, находим
,    
, следовательно,  х=2,  х=3,  х=1.

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: 0, 1, 2, 3.

Замечание. Можно считать, хотя это и не принято, что х = -1 также является корнем уравнения, т. к. при подстановке значения х = -1 в уравнение получается верное числовое равенство (-1)14=(-1)2.

                                        Решить неравенство:
.

 Решение: При  х - 2 = 0 левая часть неравенства не имеет смысла, т.к. не имеет смысла выражение  . Если х-2>0, то прологарифмируем по основанию 10:
. Это неравенство равносильно неравенству
. Рассмотрим сначала строгое неравенство
. Оно равносильно совокупности двух систем
 .                Решая первую систему неравенств, получаемт.е. х > 4. Вторая система при х-2>0 равносильна системе

   т.е. х <3.

Итак, строгое неравенство верно на интервалах (2;3) и (4; +).

К множеству решений строгого неравенства добавляем решения уравнения ,
т.е. добавляем значения х=3 и х=4.                                                                            Ответ: (2;3] U [4;).

                           Решить  неравенство:  
.

Решение. Используя свойства показательной  функции, запишем неравенство в виде    
   Поскольку показательная функция с основанием, большим единицы, строго возрастает, неравенство равносильно квадратичному неравенству     , решая которое, получаем  

                                                                                                                                       Ответ.      .

Пример неравенства, которое одновременно содержит показательную и логарифмическую функции.

9. Решить неравенство:

Решение. Так как показательная функция с основанием  а = 0,25  строго убывает, то данное неравенство равносильно неравенству

 Из свойств логарифмической функции с основанием  а = 0,3 следует, что полученное неравенство равносильно системе неравенств

 Эта система, в свою очередь, равносильна системе рациональных  неравенств
    верных при  х>5.

                                                                                                                                                 Ответ:  

         10. Решить неравенство:.

  Решение. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию, пусть а=10. Получим дробь        Это равенство заменим равносильным

которое, в свою очередь, равносильно совокупности двух систем неравенств

  или  

Первая система равносильна системе неравенств

множеством  решений которой является интервал (0;3).

Вторая система равносильна системе

       Её множество решений — интервал .   Ответ:  ;.

                На стенде в классе расположен  и данный материал.

                     Основные типы задач с параметрами:

Тип 1.  Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2.  Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество  решений в зависимости от значения параметра (параметров). При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путём получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3.  Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений              (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество). Задачи типа 3 обратны  задачам типа 2.

Тип 4.  Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного    промежутка;

множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырёх перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметрами – задачи с одной неизвестной и  одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.

        Основные способы (методы) решения  задач с параметром:

Способ 1  (аналитический). Это способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождение ответа в задачах без параметра. Это трудный способ решения задач с параметрами, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им. Иногда говорят, что это способ силового, «наглого» решения.

Способ 2(графический). В зависимости от задачи (с переменной х и параметром а) рассматриваются графики или в координатной плоскости (х; у), или в координатной плоскости (х; а). Красота графического способа решения задач с параметром увлекает учащихся, что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая, что для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приёмов решения задач с параметром.

          Способ 3 (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признаётся более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.

  Различные решения упражнений с параметрами.

        Аналитический  метод заключается в применении стандартных алгоритмов решения уравнений, неравенств. Но при этом надо учитывать, что одного знания этих алгоритмов недостаточно для решения задач с параметрами, поскольку решение таких задач всегда содержит перебор и исследование возможных ситуаций. Так, например,  деление на выражение содержащее параметр или извлечение квадратного корня из подобных выражений требуют предварительных исследований.

Пример 1.  При каких значениях а уравнение  4х - (а+3)2х+4а-4=0  имеет один корень? (МАИ).

      Решение.  Рассматривая данное уравнение как квадратное относительно 2х, легко   установить, что оно равносильно совокупности

        Получили типичную задачу, когда уравнение совокупности не содержит параметр. Особенность этой задачи состоит в том, что количество решений, требуемых в условии, в точности совпадает с числом корней одного из уравнений совокупности. Поэтому роль параметра в подобных примерах – не допустить появления новых корней.

        Очевидно, что при  а=5 эта совокупность имеет одно решение. Однако, при

а≤1  первое уравнение совокупности не имеет решений, а второе при любом а имеет единственное решение.

Ответ:  а≤1  или  а=5.

 Пример 2. Решить уравнение:   .

Решение.  Пусть 2х=t. Тогда достаточно решить систему

Переходим к равносильной системе

                        Отсюда следует  

Очевидно, при а = 3 уравнение системы не имеет решений. Если  а¹3, имеем

Следовательно, - решение первоначальной системы, если выполняются условия

Отсюда, решив систему, получим аÎ(-1; 3-2È(3; 3+2], а

Ответ.  Если  -1< а £3-2 или 3< а £ 3+2, то ;

 при других а решений  нет.

Пример 3. Решить уравнение:

Решение. Используя  равенство , заданное уравнение перепишем в виде          

Это уравнение равносильно системе

Уравнение  перепишем в виде             (1)                                         Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций   и . Из графика следует, что при    графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений. Если , то  при  графики функций совпадают и, следовательно, все значения   являются решениями уравнения (1).                                             При  графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой . Таким образом,  при  уравнение (1) имеет единственное решение - . Исследуем теперь, при каких  значениях  а  найденные решения уравнения (1) будут удовлетворять условиям

Пусть , тогда . Система примет вид

Её решением будет промежуток  х (1;5). Учитывая, что , можно заключить, что при   исходному уравнению удовлетворяют все значения  х  из промежутка [3; 5). Рассмотрим случай, когда . Система неравенств примет вид

Решив эту систему, найдем а(-1;7)

 Но , поэтому при  а(3;7) исходное уравнение имеет единственное решение .

Ответ: если а  (-∞;3), то решений нет;  если а=3, то х[3;5); если a  (3;7), то ; если a  [7;+∞), то решений нет.

Пример 4. Решить уравнение   (МИФИ)    

Решение. Пусть 2х=у, где у>0. Получаем:    (1)

Запишем уравнение- следствие:  (у+3)(у-4)+(у+7)(у-2)=2а, или

 у2+2у-13-а=0.

Дискриминант этого квадратного уравнения равен 4(14+а). Следовательно,  при а<-14 исходное уравнение корней не имеет. Для а³-14 получаем у1=-1- 

у2=-1+  Так как у>0, то у1 не подходит. Для у2 получаем –1+ >0, отсюда а>-13. Очевидно у2 – корень уравнения (1), если у2¹2 и у2¹4, т. е.

   Отсюда а¹11 и а¹-5. Итак, исходное уравнение при а>-13, а≠11,

а≠-5 равносильно уравнению  2х = Получаем  х = loq2 ( 

Ответ. Если а>-13, а≠-5 11, а≠-5, то х = loq2 (; если а≤-13, или а=11,   или а=-5, то уравнение корней не имеет.

 Пример 5. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение                   ln(12х-х-32) = ln(ax-7) имеет единственное решение.

Решение. От данного уравнения переходим к системе:

         (1)  Найдем значения параметра а, при которых прямые, задающиеся уравнением вида у = ах-7, удовлетворяют условию (1). Для этого сначала найдем значения а, при которых     х = 4 и х = 8. Обозначим эти значения а через а1, и а2. Тогда 8·а1-7=0 а1=7/8; 4а2-7 = 0 и а2 =7/4. Итак, прямые вида у=ах-7, соответствующие условию (1), проходят через точку   (0; 7)   внутри меньших из углов, образованных прямыми        

 у =  х-7 и у = х-7.На рис.7 интересующий нас угол  выделен штриховкой.

Рассмотрим теперь взаимное расположение параболы

 у = -х2-12х-32   и прямых вида  у = ах-7.   Обозначим через  а3  значение параметра, при котором прямая вида у= ах- 7 касается параболы. Найдем а3 из уравнения       х2 + 12х- 32=а3х -7, или х2+(а3-12)х=25           (2)

Уравнение имеет одно решение (в точке касания два совпадающих корня), когда его дискриминант   D  равен

нулю, т.е. (а3 -12) - 100 = 0. Отсюда получаем два значения для а3,: а3 = 22, а3 = 2. Но при а3 = 22 уравнение (2) имеет вид х2 + 10х + 25 = 0, т.е. х =-5, что противоречит условию (1). При а = 2 уравнение (2) приводится к виду х2-10х + 25 = 0, т.е. х = 5, причем 5(4;8),   т.е. удовлетворяет условию (1).

Итак, исходное уравнение имеет одно решение в двух случаях.

I случай: прямые у = ах — 7 пересекают параболу у = -х2 +12х- 32 в одной точке, когда лежат внутри угла, заштрихованного на рис. 7.  Тогда   a  (7/8; 7/4].

II случай: прямая у = ах-7 касается параболы. Тогда  а = 2.

Ответ: (7/8; 7/4] U{2}.

Пример 5.        При каких а и b система  имеет решение?

Решение.  Преобразуем неравенство системы к виду 32(2х-у)-32х-у-6>0.  Отсюда

 (32х-у+2)(32х-у-3)>0. Тогда 32х-у>3, т. е. у-2х+1<0. Следовательно, исходная система равносильна такой:   

        Неравенство системы задаёт полуплоскость с границей у=2х-1.

      Полученная система имеет решение, если прямая ах +by=5                        пересекает

границу полуплоскости или, будучи  параллельной ей, лежит  в полуплоскости

 у-2х+1<0.                                                                                                                                        

                                                                                              -1             

--

                                                                                                                                                                                                                                      при -, т. е. а¹-2b. Если а=-2b, то прямые или совпадают, или параллельны. Добавив  требование    (прямая   пересекает ось ординат ниже точки  (0; -1), получим ещё одно нас устраивающее взаимное положение прямых.

        Ответ.  b=0   и а¹0, или b¹0 и a¹ -2b,  или -5<b<0  и  a= -2b.

        Нестандартные уравнения и неравенства.

К нестандартным уравнениям или неравенствам обычно относятся те уравнения и неравенства, которые предполагают способы их решения, отличные от прямо вытекающих из определений или теорем, или свойств данных функций.

1.Решить уравнение:   3х+5х=34.

Решение.  Заметим, что х=2 удовлетворяет уравнению. Докажем, что других решений оно не имеет. Действительно, каждая из функций у=3х и у=5х  строго возрастает, поэтому их сумма – строго возрастающая функция. При х=2 левая часть равна 34, при  х<2 она, следовательно, меньше 34,  а при х>2  -  больше 34. Поэтомууравнение имеет только одно решение.Ответ: х=2.

 2.Решить уравнение:  .

Решение: Это уравнение удается решить, используя то, что левая часть является строго убывающей функцией, которая любое положительное значение принимает только один раз. Подбором убеждаемся, что х=-1.

Ответ: х=-1.

3.Решить уравнение:  500·8х=8·5.

Решение:Так как  500·8х=53·5, то уравнение можно записать в виде

5=8.        

Это уравнение содержит показательные функции с разными основаниями. Для его решения прологарифмируем обе части по любому основанию, например, по  

основанию 5.Тогда получим  
                               

откуда находим
                           
                             

   Обе  части исходного  уравнения положительны, поэтому логарифмирование не могло привести к потере корней, ни к появлению посторонних значений переменной.                                                                                                                     Ответ:     

Рассмотрим пример уравнения, которое содержит одновременно и логарифмическую функцию, и показательную.

4.Решить уравнение: 

Решение: Поскольку  , уравнение можно записать в виде   .Так как , то, потенцируя по основанию 2, получаем равносильное уравнение  . Для его решения положим  , получим уравнение  , равносильное квадратному . Его корнями являются .

Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности показательных уравнений    2х-5=1,    2х-5=8. В данном случае проверка не является обязательной.

  Ответ: 5;  8.

 Рассмотрим уравнение, содержащее помимо логарифмической  еще и  иррациональную функцию.

5.Решить уравнение:

Решение: Перейдем от логарифма по основанию 0,5 к логарифму по основанию 2

Следовательно,

 т. к. 1 = log2 2, откуда

     
Потенцируя по основанию 2, получаем иррациональное уравнение

равносильное исходному, так как

Решаем уравнение:

получаем     5+х= х2 + 6х+9,   х2+5х+4=0,  х=-1, х=-4.

Значение х = -1 является посторонним корнем иррационального уравнения, а значение х=-4 ему удовлетворяет.

Ответ: -4.

Замечание. Обратить внимание на то, что посторонний корень х=-1входит в ОДЗ исходного уравнения. Данный пример показывает, что из того, что найденный корень входит в ОДЗ уравнения, еще не следует, что он не посторонний.

Иногда при решении уравнений следующего вида возникают недоразумения между абитуриентом и экзаменатором.

6. Решить уравнение:
                                                 

Решение: Рассматриваем только неотрицательные значения переменной.

При  х=0 обе части уравнения равны нулю, и, следовательно, х=0 – корень уравнения.

При  х > 0  получим уравнение, выполнив логарифмирование по основанию 10,
, решая которое, находим
,    
, следовательно,  х=2,  х=3,  х=1.

Уравнение имеет четыре корня.

Ответ: 0, 1, 2, 3.

Замечание. Можно считать, хотя это и не принято, что х = -1 также является корнем уравнения, т. к. при подстановке значения х = -1 в уравнение получается верное числовое равенство (-1)14=(-1)2.

7. Решить неравенство:
                                                     .

Решение: При  х - 2 = 0 левая часть неравенства не имеет смысла, т.к. не имеет смысла выражение  . Если х-2>0, то прологарифмируем по основанию 10:
. Это неравенство равносильно неравенству
. Рассмотрим сначала строгое неравенство
. Оно равносильно совокупности двух систем
 .                                                        

    Решая первую систему неравенств, получаемт.е. х > 4.

 Вторая система при х-2>0 равносильна системе

    т.е. х <3.

Итак, строгое неравенство верно на интервалах (2;3) и (4; +).

К множеству решений строгого неравенства добавляем решения уравнения ,
т.е. добавляем значения х=3 и х=4.

Ответ: (2;3] U [4;).

   8. Решить неравенство:  
                                                  .

Решение. Используя свойства показательной  функции, запишем неравенство в                  виде    
      Поскольку показательная функция с основанием, большим единицы, строго возрастает, неравенство равносильно квадратичному неравенству        , решая которое, получаем  

Ответ.      .

Пример неравенства, которое одновременно содержит показательную и      логарифмическую функции.

9. Решить неравенство:

     Решение. Так как показательная функция с основанием  а = 0,25  строго убывает,

 то данное неравенство равносильно неравенству

 Из свойств логарифмической функции с основанием  а = 0,3 следует, что полученное неравенство равносильно системе неравенств

 Эта система, в свою очередь, равносильна системе рациональных  неравенств
    верных при  х>5.                                       Ответ:  

                    10. Решить неравенство:.

Решение. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию, пусть а=10. Получим дробь           Это равенство заменим равносильным

которое, в свою очередь, равносильно совокупности двух систем неравенств

  или  

Первая система равносильна системе неравенств

множеством  решений которой является интервал (0;3).

Вторая система равносильна системе

       Её множество решений — интервал .

     Ответ:  ;.