Как решить......
презентация к уроку (алгебра, 11 класс) по теме
Создала презентацию в помощь моим ученикам, чтобы вспомнить как решаются уравнения различного вида.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Презентация | 143.98 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание Как решить уравнение по математике. Как быстро решить уравнение. Как решить простое уравнение. Как решить логарифмическое уравнение . Как решить неравенство логарифмов. Как решить квадратное уравнение. Как решить квадратное неравенство.
Как решить уравнение по математике
Слово "уравнение" говорит о том, что записывается некое равенство. В нем есть известные и неизвестные величины. Существуют уравнения разного типа - логарифмические, показательные, тригонометрические и другие. Рассмотрим, как научиться решать уравнения, на примере линейных уравнений.
1 Научитесь решать простейшее линейное уравнение вида ax+b =0. x - это неизвестное, которое надо найти. Линейными называются уравнения, в которых x может быть только в первой степени, никаких квадратов и кубов. a и b - любые числа, причем a не может равняться 0. Если a или b представлены в виде дробей, то в знаменателе дроби никогда не бывает x. Иначе может получиться не линейное уравнение. Решается линейное уравнение просто. Переносим b на другую сторону знака равенства. При этом знак, который стоял перед b, меняется на противоположный. Был плюс - станет минус. Получаем ax =- b.Теперь находим x, для чего делим обе части равенства на a. Получаем x=-b/a
2 Чтобы решать более сложные уравнения, запомните 1-е тождественное преобразование. Смысл его в следующем. К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число или выражение. И по аналогии - от обеих частей уравнения можно отнять одно и то же число или выражение.Пусть имеется уравнение 5x+4=8. Отнимем от левой и правой части одно и то же выражение (5x+4). Получаем 5x+4-(5x+4)=8-(5x+4). После раскрытия скобок имеет 5x+4-5x-4=8-5x-4. В итоге получается 0=4-5x. При этом выглядит уравнение по-другому, но суть его осталась прежней. Исходное и конечное уравнения называются тождественно равными.
3 Запомните 2-е тождественное преобразование. Обе части уравнения можно умножить на одно и то же число или выражение. По аналогии - обе части уравнения можно разделить на одно и то же число или выражение. Естественно, не следует умножать или делить на 0.Пусть имеется уравнение 1=8/(5x+4). Умножим обе части на одно и то же выражение (5x+4). Получаем 1*(5x+4)=(8*(5x+4))/(5x+4). После сокращения получаем 5x+4=8.
4 Научитесь с помощью упрощений и преобразований приводить линейные уравнения к знакомому виду. Пусть имеется уравнение (2x+4)/3-(5x-2)/2=11+(x-4)/6. Это уравнение точно является линейным, потому что x находится в первой степени и в знаменателях дробей x отсутствует. Но уравнение не похоже на простейшее, разобранное на 1-м шаге.Применим 2-е тождественное преобразование. Умножим обе части уравнения на число 6 - общий знаменатель всех дробей. Получаем 6*(2x+4)/3-6*(5x-2)/2=6*11+6*(x-4)/6. После сокращения числителя и знаменателя имеем 2*(2x+4)-3*(5x-2)=66+1*(x-4). Раскроем скобки 4x+8-15x+6=66+x-4. В итоге 14-11x=62+x.Применим 1-е тождественное преобразование. Отнимем от левой и правой части выражение (62+x). Получаем 14-11x-(62+x)=62+x-(62+x). В итоге 14-11x-62-x=0. Получаем -12x-48=0. А это - простейшее линейное уравнение , решение которого разобрано на 1-м шаге. Сложное начальное выражение с дробями мы представили в обычном виде, используя тождественные преобразования.
Обрати внимание Часто ошибки допускаются при раскрытии скобок. Помните о том, что если перед скобкой стоит знак минус, при избавлении от скобки знаки меняются на противоположные. Например, на 4-м шаге открывали скобку -(62+x)=-62-x. Подробнее: http://www.kakprosto.ru/kak-16117-kak-reshit-uravnenie-po-matematike#ixzz2nRpaIUXx
Полезный совет Решайте больше уравнений по учебнику, в конце которого есть ответы. Контролируйте правильность выполнения заданий. Подробнее: http://www.kakprosto.ru/kak-16117-kak-reshit-uravnenie-po-matematike#ixzz2nRpj2XuZ
Как решать квадратное уравнение Квадратное уравнение – уравнение вида аХ 2 + bх + с = 0. Найти его корни не представляет сложности, если воспользоваться нижеприведенным алгоритмом.
В первую очередь необходимо найти дискриминант квадратного уравнения. Он определяется по формуле: D = b2 – 4ac. Дальнейшие действия зависят от полученной величины дискриминанта и делятся на три варианта 1
Вариант1. Дискриминант меньше нуля. Это означает, что квадратное уравнение не имеет решений в действительных числах. Вариант 2. Дискриминант равен нулю. Это означает, что квадратное уравнение имеет один корень. Определить этот корень можно по формуле: х = -b/(2a). Вариант 3. Дискриминант больше нуля. Это означает, что квадратное уравнение имеет два различных корня. Для дальнейшего определения корней надо найти квадратный корень из дискриминанта. Формулы для определения этих корней:х1 = (-b + Д)/(2а) и х2 = (-b - Д)/(2а), где Д – квадратный корень из дискриминанта. 2
Пример: Дано квадратное уравнение: х2 – 4х – 5 = 0, т.е. а = 1; b = -4; с = -5. Находим дискриминант: D = (-4)2 – 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36. D > 0, квадратное уравнение имеет два различных корня. Находим квадратный корень из дискриминанта: Д = 6. По формулам находим корни квадратного уравнения: х1 = (-(-4) + 6)/(2*1) = 10/2 = 5; х2 = (-(-4) - 6)/(2*1) = -2/2 = -1. Итак, решением квадратного уравнения х2 – 4х – 5 = 0 являются числа 5 и -1. 3
Как быстро решить уравнение
Чтобы быстро решить уравнение, нужно максимально оптимизировать количество шагов по нахождению его корней. Для этого применяют различные методы приведения к стандартному виду, который предусматривает применение известных формул. Одним из примеров такого решения может служить использование дискриминанта . Подробнее: http://www.kakprosto.ru/kak-130664-kak-bystro-reshit-uravnenie#ixzz2nRrjWmTL
1 Решение любой математической задачи может быть разделено на конечное число действий . Чтобы быстро решить уравнение, нужно правильно определить его вид, а затем подобрать соответствующее рациональное решение из оптимального количества шагов.
2 Практические применения математических формул и правил подразумевают теоретические знания. Уравнения – это довольно широкая в рамках школьной дисциплины тема. По этой причине в самом начале ее изучения нужно выучить некоторый набор основ. К ним относятся виды уравнений, их степени и подходящие методы решения.
3 Ученики средней школы, как правило, решают примеры на использование одной переменной. Самым простым видом уравнения с одной неизвестной является линейное уравнение. Например, х - 1 = 0, 3•х = 54. В этом случае нужно просто перенести аргумент х в одну сторону равенства, а числа – в другую, используя различные математические действия: х – 1 = 0 |+1; х = 1; 3•х = 54 |:3; х = 18.
4 Не всегда линейное уравнение можно выявить сразу. Пример (х + 5)² – х² = 7 + 4•х тоже относится к этому виду, однако выяснить это можно лишь после раскрытия скобок: (х + 5)² – х² = 7 + 4•х х² + 10•х + 25 – х² = 7 + 4•х → 6•х = 18 → х = 3.
5 В связи с описанной трудностью при определении степени уравнения не следует опираться на наибольший показатель степени выражения. Сначала упростите его. Старшая вторая степень является признаком квадратного уравнения, которое, в свою очередь, бывает неполным и приведенным. Каждый подвид подразумевает свой оптимальный метод решения.
6 Неполное уравнение – это равенство вида х² = C, где C – число. В этом случае нужно просто извлечь квадратный корень из этого числа. Только не забудьте про второй отрицательный корень х = -√C. Рассмотрите несколько примеров уравнения, приводимого к неполному квадратному: • Замена переменной: (х + 3)² - 4 = 0 [z = х + 3] → z² - 4 = 0; z = ±2 → х1 = 5; х2 = 1. • Упрощение выражения: 6•х + (х - 3)² – 13 = 0 6•х + х² – 6•х + 9 – 13 = 0 х² = 4 х = ± 2.
7 В общем виде квадратное уравнение выглядит так: A•х² + B•х + C = 0, а метод его решения основывается на расчете дискриминанта. При B = 0 получается неполное уравнение, а при A = 1 – приведенное. Очевидно, что в первом случае дискриминант искать не имеет смысла, к тому же это не способствует увеличению скорости решения. Во втором случае также существует альтернативный способ, который называется теоремой Виета. Согласно ей сумма и произведение корней приведенного уравнения связаны со значениями коэффициента при первой степени и свободного члена: х² + 4•х + 3 = 0 х1 + х2 = -4; х1•х2 = 3 – соотношения Виета. х1 = -1; х2 = 3 – по методу подбора.
8 Помните, что при условии целочисленного деления коэффициентов уравнения В и С на А, приведенное уравнение можно получить из исходного. Иначе решайте через дискриминант: 16•х² – 6•х - 1 = 0 D = B² – 4•A•C = 36 + 64 = 100 х1 = (6 + 10)/32 = 1/2; х2 = (6 - 10)/32 = -1/8.
9 Уравнения высших степеней, начиная от кубического A•х³ + B•х² + C•х + D = 0, решаются различными способами. Один из них – подбор целых делителей свободного члена D. Затем исходный многочлен делится на двучлен вида (х + х0), где х0 – подобранный корень, и степень уравнения снижается на единицу. Точно так же можно решать уравнение четвертой степени и выше.
10 Рассмотрите пример с предварительным приведением к общему виду: х³ + (х - 1)² + 3•х – 4 = 0 х³ + х² + х – 3 = 0 Возможные корни: ±1 и ±3. Подставьте их поочередно и посмотрите, получится ли равенство: 1 – да; -1 – нет; 3 – нет; -3 – нет.
11 Итак, вы нашли первое решение. После деления на двучлен (х - 1) получается квадратное уравнение х² + 2•х + 3 = 0. Теорема Виета не дает результатов, следовательно, вычислите дискриминант: D = 4 – 12 = -8 < 0. Школьники средних классов могут заключить, что корень у кубического уравнения всего один. Однако старшие ученики, изучающие комплексные числа, легко определят оставшиеся два решения: х = -1 ± √2•i, где i² = -1
Как решить простое уравнение
Впервые с уравнениями сталкиваются учащиеся начальной школы, сами того не подозревая. Они логическим путем ищут неизвестный член примера, подставляя вместо него возможные варианты чисел. Само же уравнение в том виде, которое привычно для всех учащихся, немного отождествлено, обобщено: неизвестное число ищется сложнее и обозначается, как правило, буквой латинского алфавита.
1 Пусть дано уравнение: 4х - 6 + 3х = 43. Это простое уравнение, не имеющее в своем составе степеней. Алгоритм решения линейного уравнения:- Перенести известные члены (просто числа) уравнения в правую часть от знака равенства, а неизвестные (все члены содержащие букву) – в левую. У вас должно получиться вот что: 4х+3х = 43+6. Кстати, при переносе члена в противоположную сторону его знак меняется на противоположный;- Сложить однородные члены (с одинаковым основанием). У вас выйдет 7х=49. Получиться пример, где среди трех составляющих только одно неизвестно, прячущееся под знаком « икс».Решить пример, чтобы найти «икс» - второй множитель, нужно произведение разделить на первый множитель: х=49:7, х=7. Ответ: x=7.
Иногда уравнения упрощены: 5х= - 25. Тогда для решения такого примера, просто нужно решить произведение, найдя один из множителей, учитывая математический знак числа. Подробнее: http://www.kakprosto.ru/kak-26359-kak-reshit-prostoe-uravnenie#ixzz2nRvk9vsO
Как решить уравнение с логарифмом Логарифмические уравнения - это уравнения, содержащие неизвестную под знаком логарифма и/или в его основании. Простейшими логарифмическими уравнениями являются уравнения вида logaX =b, или уравнения, которые можно свести к этому виду. Рассмотрим как различные виды уравнения можно свести к данному типу и решить.
1 Из определения логарифма следует, что для того чтобы решить уравнение logaX =b необходимо совершить равносильный переход a^b =x, если a>0 и a не равно 1, то есть 7= logX по основанию 2, то x=2^5, x=32.
2 При решении логарифмических уравнений часто переходят к неравносильному переходу, поэтому необходима проверка полученных корней, путем подстановки в данное уравнение. Например, дано уравнение log (5+2x) по основанию 0,8=1, путем неравносильного перехода, получается log (5+2x) по основанию 0,8=log0,8 по основанию 0,8, можно опустить знак логарифма, тогда получается уравнение 5+2х=0,8, решая данное уравнение получаем х=-2,1. При проверки х=-2,1 5+2х>0, что соответствует свойствам логарифмической функции (область определения логарифмической области положительна), следовательно, х=-2,1 - корень уравнения.
3 Если неизвестное находится в основании логарифма, то подобное уравнение решается теми же способами. Например, дано уравнение, log9 по основанию (x-2)=2. Действуя также как и в предыдущих примерах, получаем (х-2)^2=9, x^2-4x+4=9, x^2-4x-5=0, решая данное уравнение X1=-1, X2=5. Так как основание функции должно быть больше 0 и не равно 1, то остается только корень X2=5 .
4 Зачастую при решении логарифмических уравнений необходимо применять свойства логарифмов: 1) logaXY = loda [X]+ loda [Y] logbX /Y= loda [X]- loda [Y] 2) logfX^2n=2nloga[X] (2n - четное число) logfX ^(2n+1)=(2n+1) logaX (2n+1 - нечетное число) 3) logX с основание a^2n=(1/2n)log[a]X logX с основание a^(2n+1)=(1/2n+1) logaX 4) logaB =1/ logbA , b не равен 1 5) logaB = logcB / logcA , c не равен 1 6) a^logaX =X, X>0 7) a^logbC = clogbA Используя данные свойства, вы можете свести логарифмическое уравнение к более простому типу, а далее решать уже вышеуказанными способами.
Как решить неравенство логарифмов Логарифмическое неравенство - это неравенство, содержащее в себе логарифмы. Если вы готовитесь сдавать ЕГЭ по математике, важно уметь решать логарифмические уравнения и неравенства.
1 Переходя к изучению неравенств с логарифмами, вы должны уже уметь решать логарифмические уравнения, знать свойства логарифмов, основное логарифмическое тождество.
2 Решение всех задач на логарифмы начинайте с нахождения ОДЗ - области допустимых значений. Выражение под логарифмом должно быть положительным, основание логарифма должно быть больше нуля и не равняться единице. Следите за равносильностью преобразований. ОДЗ на каждом шаге должно оставаться одним и тем же.
3 При решении логарифмических неравенств важно, чтобы с двух сторон от знака сравнения были логарифмы, причем с одним и тем же основанием. Если с какой-либо стороны представлено число, запишите его в виде логарифма, применяя основное логарифмическое тождество. Число b равняется числу a в степени log , где log - логарифм b по основанию a. Основное логарифмическое торжество является, по сути, определением логарифма.
4 Решая логарифмическое неравенство, обратите внимание на основание логарифма. Если оно больше единицы, то при избавлении от логарифмов, т.е. при переходе к простому числовому неравенству, знак неравенства остается тем же. Если основание логарифма от нуля до единицы, знак неравенства меняется на противоположный.
5 Полезно помнить ключевые свойства логарифмов. Логарифм единицы равен нулю, логарифм числа a по основанию a равен единице. Логарифм произведения равен сумме логарифмов, логарифм частного равен разности логарифмов. Если подлогарифменное выражение возводится в степень B, то ее можно вынести за знак логарифма. Если основание логарифма возводится в степень A, за знак логарифма можно вынести число 1/A.
6 Если основание логарифма представлено некоторым выражением Q, содержащим переменную x, необходимо рассмотреть два случая: Q(x) ϵ (1;+∞) и Q(x) ϵ (0;1). Соответственно этому ставится и знак неравенства при переходе от логарифмического сравнения к простому алгебраическому.
Как решить квадратное неравенство
Решение квадратных неравенств и уравнений – основная часть школьного курса алгебры. На умение решать квадратные неравенства рассчитано множество задач. Не стоит забывать и о том, что решение квадратных неравенств пригодится учащимся как при сдаче Единого Государственного Экзамена по математике и поступлении в ВУЗ. Разобраться же в их решении довольно просто. Существуют различные алгоритмы. Один из наиболее простых: решение неравенств методов интервалов. Он состоит из простых шагов, последовательное выполнение которых гарантировано приводит учащегося к решению неравенства. Метод интервалов на графике
Вам понадобится Умение решать квадратные уравнения
1 Для того, чтобы решить квадратное неравенство методом интервалов, сперва нужно решить соответствующее квадратное уравнение. Переносим все члены уравнения с переменной и свободный член в левую часть, в правой части остается ноль. Корни квадратного уравнения, соответствующего неравенству (в нем знак "больше" или "меньше" заменен на "равно") можно найти по известным формулам через дискриминант.
2 На втором этапе мы записываем неравенство в виде произведения двух скобок (x-x1)(x-x2)<>0. 3Отмечаем найденные корни на числовой оси. Отмечаем найденные корни на числовой оси. Далее мы смотрим на знак неравенства. Если неравенство строгое ("больше" и "меньше"), то точки, которыми отмечаем корни на координатной оси пустые, в противном случае ("больше или равно").
3 Берем число, левее первого (правого на числовой оси корня). Если при подстановке этого числа в неравенство, оно оказывается правильным, то интервал от "минус бесконечности" до самого малого корня является одним из решений уравнения, наравне с интервалом от второго корня до "плюс бесконечности". Иначе решением будет интервал между корнями.
Обратите внимание Не ошибитесь при решении соответствующего квадратного уравнения - в данном случае вы неправильно решите неравенство.
Полезный совет Не забывайте о том, строгое или нестрогое неравенство решаете. Если неравенство строгое, то ставим круглые скобки (то есть не берем в интервал корень уравнения), иначе берем его в промежуток (ставим квадратные скобки).
Полезен ли совет?
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методические рекомендации по формированию у обучающихся умения решать основные виды логарифмических неравенств
В работе рассмотрены основные виды логарифмических неравенств, даны методические рекомендации по обучению учащихся решению логарифмических неравенств разными способами....
Дистанционный курс:"Решаем тесты ЕГЭ (часть А)"(теория и практика)
Дорогие друзья! Приглашаю вас принять участие в изучении нового дистанционного курса. Он содержит учебный материал для фундаментальной подготовки к экзаменам. Курс поможет вам самостоятельно по...
КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧУ?
Многие ученики любят решать задачи, но очень немногие умеют их решать. «С чего начать ?», думает каждый, приступая к решению задачи. Это очень важный вопрос в решении. Недаром говорит мудр...
КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧУ?
Многие ученики любят решать задачи, но очень немногие умеют их решать. «С чего начать ?», думает каждый, приступая к решению задачи. Это очень важный вопрос в решении. Недаром говорит мудр...
Из личного опыта: Использование здоровьесберегающих технологий на уроках истории и обществознания, позволяющих решить проблемы сохранения и укрепления здоровья учащихся при организации учебно- воспитательного процесса.
В своей педагогической практике всё больше убеждаюсь, что здоровье человека — тема достаточно актуальная для всех времен и народов, а в XXI веке она становится первостепенной....
Решай! Смекай! Отгадывай!
Презентация для недели математки в 6 классе....
Готовимся к ЕГЭ,решая задачи
В данном материале рассматриваю решение задач повышенного уровня с подробным описанием....