конспект урока "Равносильность уравнений (Логарифмические уравнения)"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Урок с использованием ИКТ в рамках подготовки к ЕГЭ по математике.

Тема: Равносильность уравнений. (Логарифмические уравнения) 11 класс.

Цели урока:

1. продолжить изучение способов решения логарифмических уравнений, уделяя внимание этапам решения, характеристики преобразований, приводящих к нахождению корней;
2. развивать логическое мышление через приемы сравнения, умение классифицировать, акцентировать внимание на постановку вопроса в задании;
3. воспитывать ответственное отношение к учебному труду, дать рекомендации школьникам, собирающимся сдавать ЕГЭ.

Оборудование:

компьютер, экран, обучающе - демонстрационная программа «Логарифмические уравнения».

План урока.

I. Организационный момент. (перед началом урока для работы в группах разделить детей по 5-6 человек, а в начале урока учащиеся садятся за компьютеры,).

- Сегодняшний урок я хотела начать с вопроса: Бывает ли верно равенство 2=3? (заслушать высказывания учеников)

- На прошлом уроке я попросила вас написать свой вес на листочках, просмотрев их, я пришла к выводу, что в наше время 2 мальчика имеют тот же вес, что и 3  девочки…

- И в математике, оказывается можно встретить такое. Об этом вам расскажет_______________. (ученик подготовил  «доказательство»).

2=3?

«Доказать» это «равенство» можно следующим образом:

4 – 10 = 9 – 15,

4 – 10 +  = 9 – 15 + ,

,

2 ,

2=3.  Где ошибка?

(Ответ: ошибка заключается в неравносильном преобразовании при извлечении квадратного корня:

   ).

- Тема нашего урока «Равносильность уравнений» и сегодня мы рассмотрим только решение логарифмических уравнений и их преобразования, которые могут привести к неверному решению.

II. Актуализация знаний.

- Но сначала посмотрим, достаточно хорошо вы знаете определение логарифма и его свойства. Для этого предлагаю выполнить тест. (У каждого ученика бланк для ответов типа бланка для сдачи ЕГЭ, на выполнение отводится 3-5 мин. Проверку провести с помощью презентации.)

Вариант 1.

ЧАСТЬ 1

А1. Найдите значение выражения  

1) 5               2) 37                3) 3              4)

А2. Вычислите  

1) 0               2) - 1                3) 1              4) 5

А3. Укажите значение выражения  

1) 1               2) 3                3) 2              4) 24

А4. Найдите область определения функции .

А5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения   

1) (0;5)               2) (5;15)                3) (15;25)              4) (25;100)

Ответы: 2,3,4,1,3  

Вариант 2.

ЧАСТЬ 1

А1. Найдите значение выражения      .

А2. Вычислите  

1) 1               2) 2                3) - 1              4)  - 2

А3. Укажите значение выражения  

1)                2)                 3) 3,5              4) 4

А4. Найдите область определения функции .

А5. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения   

1) (1;30)               2) (30;50)                3) (50;100)              4) (100;200)

Ответы: 2,2,3,1,4.

(после выполнения теста произвести проверку с помощью слайда презентации: вариант I: слайд 2, вариант II: слайд 3)

III. Систематизация теоретического материала.

- Итак, мы повторили определение и свойства логарифма. А теперь дайте определение равносильных уравнений, уравнения - следствия. Чем отличаются эти определения? Опишите схему решения любого уравнения. (технический этап, анализ решения, проверка) Совпадает ли множество корней последнего уравнения  с множеством корней исходного уравнения?

Задание 1. (слайд 4)

- Можно ли сказать, что эти уравнения равносильны?

log                     

2log

log

х=16.

log                     

2log

log

х=16 или х = - 16.

Что произошло с одним из корней первого уравнения?

Что можно сказать об области определения левой и правой частей свойств логарифмов? (слайд 5)

Задание 2.  Решить уравнение  (на сужение ОДЗ)

 (слайд 6)

Задание 3. Решить уравнение  

(слайд 7)

Какие преобразования в рассмотренных уравнениях приводят к потере корней?

- деление на выражение с переменной,

- формальное применение логарифмических формул.

Известны ли вам другие преобразования, приводящие к сужению ОДЗ?

- логарифмирование обеих частей уравнения,

- извлечение корня чётной степени.

Назовите преобразования, приводящие к расширению ОДЗ, появлению посторонних корней?

- освобождение от знаменателя, содержащего переменную величину,

- освобождение от знаков корней чётной степени,

- потенцирование.

Перечислите теоремы равносильности, которые гарантируют равносильность преобразований без дополнительных условий.

- перенос членов уравнения…,

- возведение в нечётную степень,

- показательное уравнение…

IV. Физминутка. (предложить группам сесть за столы)

Математические иллюзии.

Задание 4. (Работа в группах) Представьте, что решая некоторое уравнение, вы на каком-то шаге переходите от уравнения (1) к уравнению (2). Что произошло с корнями уравнения (1) при этом переходе?

Поставьте в колонке I знак «+», если при переходе от (1) к (2) ни один из корней (1) не потерялся, знак « - » - если потерялся;

в колонке II знак «+», если при переходе от (1) к (2) не появилось новых корней, знак « - » - если они появились;

в колонке III знак «+», если уравнения (1) и (2) равносильны, знак « - » - в противном случае.

(слайд 8, 9)

IV. Решение заданий части С.

Задание 5. Решить уравнение

Решение. Можно заметить, что корень уравнения 1. Докажем, что других корней нет. Функция  убывает на своей области определения, т.к. она является композицией убывающей линейной и возрастающей логарифмической функций. Функция  возрастает на . Следовательно, графики этих функций могут иметь не более одной точки пересечения. Абсцисса этой точки уже найдена. Получаем, что единственным корнем уравнения является х=1.

VI. Рефлексия. (Проверь своё внимание!).(слайд 10)

1)

2)

3)  

4)  

5)  

Логарифмическая «комедия 2>3». (слайд 11)

  верно? (бесспорно правильно.)

- запишем в виде степени числа .

верно? (не внушает сомнения)

- прологарифмируем обе части по основанию 10:

lglg,

2lg  3 lg

- сократив на lg  имеем  2<3.

- В чём ошибка этого доказательства? (при сокращении на lg необходимо изменить знак неравенства, т.к. lg < 0. ) На следующих уроках мы выясним, какие преобразования используются при решении неравенств.

VI. Итог урока.
- Наш урок заканчивается. Что на нем было самым главным? Что узнали нового?  

Домашнее задание:

1. Найдите ОДЗ уравнения   

Пустое множество. Т.к. система, определяющая ОДЗ, не имеет решений.

2. (ответ: -1.)

Решение. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Поэтому…

Корни первого уравнения числа -1 и 2. Решения системы содержатся среди этих чисел, поэтому достаточно проверить, являются ли они корнями второго уравнения. Подстановка показывает, что корнем второго уравнения яв. число -1.