Урок алгебры по теме "Теорема Виета"
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Урок по теме «Теорема Виета»

(по учебнику Макарычева Ю.Н)

Цели урока:

 «Открыть» зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами,

 научить применять теорему Виета и обратную ей теорему в различных ситуациях при решении квадратных уравнений.

Способствовать развитию умений анализировать, сравнивать и делать необходимые выводы.

Создать условия для формирования навыков  самоконтроля.

Способствовать воспитанию познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения.

Технические средства обучения: проектор

Ход урока:

1. Организационный момент. Знакомство с листом самооценки.
2. Актуализация опорных знаний: (5 мин)

Коллективно составляется кластер: Что знаем о квадратном уравнении.

Занимаясь квадратными уравнениями, вы, вероятно, уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах.

-От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

- Из чего составляется дискриминант квадратного уравнения? (из коэффициентов а, b и с)

- В зависимости от того, каковы коэффициенты квадратного уравнения, можно определить вид квадратного уравнения и способ его решения. Итак:

3. Формулирование темы и целей урока (2 мин)

Сегодня на уроке я хочу: (цели урока формулируют учащиеся с помощью ключевых слов узнать, понять и таблицы «знаем-хотим узнать»)

Узнать __________________ (как связаны коэффициенты квадратного уравнения и его корни)

Понять__________________(в каких ситуациях можно применить связь коэффициентов и корней уравнения).

Заполнить лист самооценки.

3. Открытие нового знания (15 мин)

Исследовательская работа в группах, учитель в роли консультанта.

Решите уравнения и заполните таблицу

Проанализируем результаты (Обсуждение результатов работы групп)

• Назовите вид квадратных уравнений, записанных в таблице. (Все уравнения приведенные.)
• Ребята, сравните коэффициенты уравнения с суммой и произведением корней. Какие закономерности вы заметили?
• Какое утверждение можно сформулировать?

Гипотеза: Сумма корней приведенных уравнений равна второму коэффициенту, взятому с   противоположным  знаком. Произведение корней приведенных  квадратных уравнений равно свободному члену.

Доказательство: (работа в группах)

x1+х2=  ______________________ =

x1x2 = ________________________ =

 Найдите и прочитайте в учебнике доказанную нами теорему. Выделите в ней условие и заключение.

“Условие”:         х1 + х2 = -р,     х1· х2 =q.

“Заключение”: х1 и х2 – корни квадратного уравнения х2 + рх + q = 0.

 Составьте теорему, обратную доказанной.

Формулируется теорема, обратная данной.

Если числа р, q, х1, х2 таковы, что х1 + х2 = -р, х1· х2 = q, то х1 и х2 - корни приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0.

Данная теорема справедлива, хотя из курса геометрии нам известно, что не всегда из истинности прямой теоремы следует истинность обратной.

 Можно ли применить теорему Виета к полному квадратному уравнению ах2 + вх + с = 0, если да, то запишите чему будут равны сумма и произведение корней.

х1 + х2 = - ,     х1· х2 = .

Доказанная нами теорема, называется теоремой Виета по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.

Франсуа Виет (1540-1603) —замечательный французский математик (юрист по образованию), положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления, ввел понятие математической формулы. 

• Ввел систему алгебраических символов.
• первый начал решать числовые уравнения приближенным путём, т.е. получал приближенные корни;
•  работал в области тригонометрии с Кеплером, Коперником;
•   дал словесное описание теоремы косинусов в XVI в.;
•  дал первое в Европе аналитическое представление числам.

Заполнить лист самооценки.

4. Первичное применение нового знания. (10мин)

А сейчас мы определим, какие задачи можно решать с помощью прямой и обратной теоремы.

Ситуация 1:

устно: Даны приведенные квадратные уравнения.

Сформулируйте задание с применением теоремы Виета.

Найти сумму и произведение корней уравнения:

а) х2 +7х+6=0  б) х2 –х-6=0  в) х2 – 8х+12=0

 Ситуация 2

 С помощью обратной теоремы по заданным корням можно составлять квадратные уравнения.

Составьте приведённое квадратное уравнение корнями которого являются числа 4 и 5

(х1+ х2=9=-р, р=-9, х1∙х2=20=q, следовательно уравнение имеет вид

х2- 9х+20=0) – образец рассуждений показывается на доске.

Ситуация 3: Как проверить, являются ли числа  -8 и 7 корнями уравнения: х2 +х -56 =0

1. способ:

(-8)2 +8 -56 = 0

72 +7 -56 = 0

2. способ: х1+х2=-8+7= -1 = -р

х1х2 =(-8) 7= 56

 Какой способ удобнее?

Ситуация  4

Найти корни подбором.

х2 -9х +20=0

 х1+х2= 9

х120        

20=124

Ответ: х1=4, х2=5

Закрепление изученного материала.(10 мин)

Самостоятельная работа в парах. Проверка решения по образцу.

Задание1.Уравнение имеет два корня: х1  и х2, не находя их, найдите значения выражений х1  + х2  и х1 х2

2х2 + 8х – 19 = 0;   х1+х2= - 4; х1х2= -9,5

      3х2 - 7х – 12 = 0;    х1+х2= 2; х1х2= -4

    2х2 - 5х + 2 = 0;     х1+х2= 2,5; х1х2= 1

 2х2 - 7х + 6 = 0;   ;   х1+х2= 3,5; х1х2= 3

Задание2. Заполните таблицу.

Проверка решения

Задание 3. №581(а) Найти корни уравнения и сделать проверку:

Х2 -2х – 9=0

Проверка решения

Х2 -2х – 9=0

Д = 4 +4

х1= ,    х2 = 1-

Проверка: х1+х2 =  =2= -р

х1

Уравнение решено верно.

Задание 4. №583(б) Найти корни уравнения подбором:

х2 +11х -12 =0

 х1+х2= -11

х1-12        

-12=1

Ответ: х1=1, х2=-12

Заполнить лист самооценки

Рефлексия (3 мин)

Какие цели поставлены в начале урока?

Насколько сумели их достичь?

 Закончите предложение:

Мне сегодня на уроке удалось:  

Самооценка деятельности:

Домашнее задание:

1. Придумать 4 квадратных уравнения по данным корням.
2. №581(а,в) №583(а,в)
3. Необязательное задание №671(а)

Методическая литература:

1. Э.Г.Гельфман «Квадратные уравнения» Издательство Томского университета, Томск, 2001

Интернет –ресурсы:

1. ru.wikipedia.org
2. nsportal.ru›shkola…urok-po-teme-teorema-vieta