Элективный курс по математике в 9 классе.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс) по теме

  Элективный курс по алгебре в 9 классе

 «Сложное простыми словами».  17 ч.

             Учитель математики МОУ «Сланцевская средняя общеобразовательная школа №2» Боцарёва Елена Владимировна.

         Пояснительная   записка.

В  связи с тем, что в основной школе ведущей является уровневая дифференциация, то данный  курс  учитывает индивидуальные особенности учащихся , их склонности и способности осваивать предмет на повышенном  уровне. Тематика данного курса  предпрофильной  подготовки содержит  не только информацию, расширяющую  сведения по предмету, но и знакомит учеников со способами  деятельности , необходимыми для  успешного  усвоения программы. Содержание курса включает также оригинальный материал, выходящий за рамки школьной программы.

  Программа курса напоминает   факультативную (1 час), но дополнена элементами подготовки к экзаменам, содержит материал, вызывающий познавательный интерес.

 Эта программа появилась в результате использования собственного опыта, как расширение базового курса.

 Так как название курса должно привлекать учащихся, то появилось название «Сложное простыми словами».

 При составлении использовала следующую литературу:

  М.И. Сканави «Сборник задач и упражнений для поступающих во ВТУЗы», Л.В. Кузнецова, 2 часть «Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе, Л.И. Звавич «Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе».                                                                                                                          

  Цели и задачи:    ●оказать учащимся психолого-педагогическую поддержку в выборе профиля обучения;

                                       ●помочь обучающимся реально оценить свои возможности.

                          Содержание курса

1. Решение арифметических примеров на все действия с десятичными и обыкновенными дробями. -3часа
2. Практическая работа. -1час
3. Применение формул сокращённого умножения в упрощении выражений. -1час
4. Упрощение выражений, содержащих модуль. -2часа
5.  Упрощение выражений с использованием указанной подстановки. -2часа
6. Способы освобождения от иррациональности в знаменателе дроби.-2часа
7.  Различные способы разложения на множители. Сокращение алгебраической дроби. -3часа              

8.  Некоторые задачи с параметрами. -3часа

           Занятия 1,2.

Тема: решение арифметических примеров на все действия с десятичными и обыкновенными дробями.

Цели и задачи: совершенствовать вычислительную технику обучающихся.    

                                  Ход занятий.

    Что знаем?      1. =;

                            2. а²-в²=(а-в)·(а+в);

                                                3. а³+в³=(а+в)·(а²-ав+в²).

Что умеем?      1. делить десятичную дробь на смешанное число;

                          2.сокращать числовую дробь;

3. умножать и делить обыкновенные дроби;

4. складывать рациональные числа.

ТОГДА вычислите, используя, где возможно, формулы сокращённого умножения.

                                        Решение.

-12,5²-1,2²=12,5²-12,5·1,2+1,2²-12,5²-1,2²=-12,5·1,2=-15.

ПОВТОРИМ: ;  ; (1 ;  0,02³·( и ВЫЧИСЛИМ:

0,12:((-(3)-0,028³·(-.

 ПОДСКАЗКИ: 

1. Выбери способ решения…(по действиям или цепочкой).
2. Избавься от отрицательных показателей, вспомни, что (1=(.
3. Получи ответ: -107.

РЕШИ САМ:  1. ++·+·6;  ответ: 22.

                                 2. ·(0,87³+2,13³)+3·0,87·2,13.               ответ: 9.

Литература: Л.И. Звавич, М.И. Сканави.

Вычислить:  

1. +12,5·0,64.    ( Сканави М.И.)

                Решение:

+8==+8=11.      ответ: 11.

2. Найти Х из пропорции:  

=; .      ответ: 5

+4,75.                    ответ: 5

                                Занятие 3.

Тема: практическая работа.

Цели и задачи:  развитие и воспитание самостоятельной деятельности обучающихся; совершенствование вычислительных умений и навыков.

                                  Ход занятия.

     1.   (+(-0,825)):(-1)-(-0,48)·;                          ответ: .

      2.   2,88·+(1,0625-)·16;                                    ответ: 11.

      3.  (()·9+0,16):(_0,3)                                ответ: 15.

     4. (+-)·(0,17·52-3,883:0,55+0,62)+:0,8.       ответ: 1.

                                     Решение.

1. (0,375-0,825):(-1,25)-(-)·=-0,45:(-1,25)-·=0,36-=0.36-=-==.

2. 2·+(1-)·16=+(1-)·16=1+·16=1+=1+10=11.

3. (()·9+):(-)=(+)·=·30=15.

4. ()·(8,84-    7,06+0,62)+·=·2,4+=·(·2,4+1)=·(1,4+1)=·2,4=1.

                                      Занятие 4.

Тема: применение формул сокращённого умножения в упрощении выражений.

Цели и задачи:  закрепить умение сокращать алгебраическую дробь, рассмотрев различные случаи разложения на множители числителя и знаменателя.

                                            Ход занятия.

    Что знаем?      1. а²±2ав+в²=(а+в)²;

                                      2.  ах²+вх+с=а(х-)(х-);

                                              3.  (а-в)=(в-а)²;    (-а-в)²=(а+в)².

Что умеем?     1. Выносить общий множитель за скобки;

                                              2. Приводить дроби к общему знаменателю;

                                3.  Выполнять все действия с алгебраическими дробями;

                                               4. Сокращать дроби.

   ТОГДА сократите дробь:  ;   б) ;   в)  . а)     ПОВТОРИМ разложение на множители: m²-7m;  81x-x³;  25y²-10y+1  объясните, как разложить на множители квадратный трёхчлен  5x²+x-4?

   РЕШИ САМ: 1. +)·;                           ответ:-2.

2.(+):()-;                                   ответ:.

3. ·(-)+;                      ответ:0 

                                      Занятия 5,6.

Тема: Преобразование алгебраических выражений.

Цели и задачи: помочь обучающимся более широко овладеть понятием модуля, увидеть его в разных ракурсах, и всё это в совокупности задач от простых до сложных.

                                            Ход занятия.

    Что знаем?      1. =|а|=

                                                2. а²±2ав+в²=(а±в)².

                                           3. а²-в²=(а-в)(а+в).

Что умеем?     1. Находить ≈1,7;  ≈2,4.

                                            2.приводить дроби к общему знаменателю,

                                            3. выполнять все действия с алгебраическими дробями;                        

                                             4. раскладывать квадратный трёхчлен на множители;

                                             5. сокращать дробь.

   ТОГДА объясните решение примера  ²+3=|3-2|+3=2-3+3=2 и   РЕШИТЕ САМОСТОЯТЕЛЬНО:

                    )²+)².                 ответ:1. 

Упростите выражение:

1. -+, при условии 0<а<2в

.

-+=-+====.

                                                                  ответ:.

2. (·х²-2х·+2х-4):|х-2|.

                               Решение.

Рассмотрим промежутки: (-∞; -1)U (-1;1)U(1;2)U(2;∞).

1. х<-1; тогда |х-1|=1-х,  |х+1|=-х-1,   |х-2|=2-х.

(·х²-2х·+2х-4):(2-х)=х-2.

2. -1<х<1, тогда |х-1|=1-х, ,  |х+1|=х+1,   |х-2|=2-х.

(·х²-2х·+2х-4):(2-х)=.

3. 1<х<2, тогда |х-1|=х-1, |х+1|=х+1,   |х-2|=2-х.

(·х²-2х·+2х-4):(2-х)=-х-2.

 IV.                   х>2, тогда |х-1|=х-1, |х+1|=х+1,   |х-2|=х-2.

         (·х²-2х·+2х-4):(х-2)= х+2.

Ответ:………..

3. ,  х>1.     Ответ: .

Литература: Л.В. Кузнецова, М.И.Сканави.

                                      Занятия 7,8.

Тема: упрощение выражений с использованием указанной подстановки.

Цели и задачи: совершенствовать умение упрощать алгебраические дроби и вычислительную технику обучающихся.

                                                   Ход занятий.

    Что знаем?         1. ()²=а, а≥0.

                                                         2.  а²-в²=(а-в)(а+в).

                                                         3.   (а±в)²= а²±2ав+в²                   

   Что умеем?     1. Возводить дробь в степень;

                                                 2. делить дробь на дробь;

                                                 3. сокращать дробь;

                                                 4. приводить дроби к общему знаменателю.

    ТОГДА раскрой скобки: (-3)²,  (+1)(-1) и разложи на множители: х-у, 7-.

      Задание 1. Сделайте указанную подстановку и результат упростите:

           ·х²-2х+,       х=.                        Ответ:0.

       Задание 2:  ,      у=.                      Ответ:6.  

      Задание 3:  пусть f(х)=2х³-7х²+2х-3. Покажите, что   целое число.                                                                               Ответ:36.

      Задание 4:   докажите, что число 2- является корнем уравнения х³-5х²+5х-1=0.

                                           Решение.

Преобразуем:   х(х²-5х+5)=1 и выполним указанную подстановку х=2-.

   (2-)((2-)²-5(2-)+5)=(2-)(+2)=4-3=1. Истина, значит число 2- -- корень уравнения.

                               Занятия 9,10.

Тема: способы освобождения от иррациональности в знаменателе дроби.

Цели и задачи: закрепить умение находить выражение, сопряжённое данному, содержащему более двух слагаемых; совершенствовать технику упрощения выражений, содержащих квадратные корни.

                                                 Ход занятий.

А.  Задание 1. Найдите выражение, сопряжённое данному: а-в, +1,  а-(в+с), (а-в)+с, (1+)-

      Задание 2:  разложите на множители: а²-(в+с)²,   2-(-)²,  (1+)²-3.

 Б. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1.   2. ;    3..

                                Решим пример .

=====.  Ответ:

В. Задание для самостоятельного решения: .

                                          Решение: =.

Г. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби  и сравните значение с числом .

                                    Решение.

===========;  Сравним  и .

=             - = >0, ≈2,6.  Вывод: данная дробь  >.

 Выполняется проверка с комментариями на доске. Особо отличившиеся ребята оцениваются.

                                      Занятия 11, 12, 13.

Тема: различные способы разложения на множители.

Цели и задачи: закрепить знания и умения обучающихся раскладывать многочлен на множители известными способами в более сложных примерах;   совершенствовать вычислительную технику обучающихся;  развивать умение «видеть формулу» в выражении.

                                                          Ход занятий.

1. Представьте в виде квадрата выражение: а) х-1;  б) х.
2. Используя свойство =·, разложите на множители .
3. Заключите слагаемые в скобки, чтобы перед скобками стоял знак: а)»+», б)»-» в выражении –а-в.

Разложите на множители многочлены:

1. (а+в)с-а-в;                    Ответ: (а+в)(с-1).
2. (х-1)-;                Ответ: (-)·
3. 3в²-4в+1;                      Ответ: (в-1)(3в-1).
4. а³-ав-а²в+а²;
5. ав²-в²у-ах+ху+в²-х;
6. 4-5х²+1;
7. х²у²-5ху²+6у²-х²+5х-6;
8. Докажите, что значение выражения а(а-в)(а+в)-(а+в)(а²-ав+в²)+в³+ав² не зависит от значений входящих в него букв двумя способами.

               9.    Разложите многочлены на множители и найдите все значения х,      при которых оба многочлена принимают значение нуль: 3х³-27х  и  24х-5х²-х³.                        

                                                    Ответ: 0; 3.

10.  2-х+;                                Ответ: (2-)(2+).
11.  Сократите дробь: ;          Ответ: --1.
12.  Вычислите значение выражения p³+64m³ при p=5,5, m=-.

                                 Ответ: 0.

13.  9а²-в², если 3а+в=2  и  3а-в=2,25.
14. Сократите дробь:   и вычислите её значение при х=-6,2.              

                                                  Ответ: -5.

15.  а);          б) .  Ответ: а) --1;   б) .
16. Докажите, что при любых значениях переменной выражение принимает положительные значения: +3х²-х+3.

                                 Решение.

+3х²-х+3=(+2х²+1)+(х²-х+2)=(+(х²-х+0,25)+1,75=(х²+1)²+(х-0,5)²+1,75.

 +3х²-х+3>0 при любом значении х.

17.  Найдите наибольшее значение выражения и определите, при каких х и у оно достигается: .

                                       Решение.

Дробь  достигает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя а. Рассмотрим знаменатель и найдём такие х и у, при которых он принимает наименьшее значение.

  Х²+у²+4х-6у+14=(х+2)²+(у-3)²+1. Очевидно, что при х=-2, у=3 наименьшее значение 1.

                                                                         Ответ: 1.       

                           Занятия 14,15,16.

Тема: Задачи с параметрами.

Цели и задачи: развитие логического мышления, закрепление вычислительной техники обучающихся.

                                                     Ход занятий.

1. Не решая уравнения 2х²-3х-11=0, найдите +, где  и - его корни.

                                                                                       Ответ: -4.

      2. Пусть  и - корни квадратного уравнения х²+3х-2=0. Составьте квадратное уравнение, единственным корнем которого явилось бы число .            Ответ: -6,5; 4х²+52х+169=0 .

       3. Найдите а, если   и корни уравнения 2х²+(2а-1)х+а-1=0 удовлетворяют соотношению 3 -4 =11.

                                                         Решение.

  Найдём корни уравнения: =;                                                      ==;

Рассмотрим промежутки : а<1,5 и а>1,5.

         1.    а<1,5, тогда  =1-а.

                    ==;

         2.    а>1,5, тогда =;

                            ==1-а.          3-4 =11.                  По условию имеем: 3(1-а)-4·(-)=11;  или 3·(-)-4·(1-а)=11.                                           В результате подсчётов получаем а=-2, а=4.                                                                                        Ответ: а=-2, а=4.

4. При каком m уравнение х³+6х²+mх=0 имеет два корня? Найдите эти корни.                                  Ответ: 0 и 3 при m=9.

      5. При каких значениях а один корень квадратного уравнения х²-(а+1)х+2а²=0 больше , а другой меньше ?

                                             Решение.

 При х=  значение f(х)<0, следовательно,                                                                                            решим неравенство относительно а при х = :  2а²-ах-х+х²<0.

                   2а²- а- <0.    8а²-2а-1<0.

    Ответ: -<а<.

6.При каком значении m сумма квадратов корней уравнения х²+(2-m)х-m-3=0 минимальна?

                                               Решение.

 и - корни квадратного уравнения, тогда рассмотрим =(+)²-2·=(2-m)²-2(-m-3)=m²-2m+10=(m-1)²+9 минимальное значение при m=1.                    Ответ: 1.

7. При каких  значениях а корни уравнения х²-2ах+(а+1)(а-1)=0 принадлежат промежутку ?

                                             Решение.

= ==а±1.      =а+1

                                                    =а-1.        

По условию ;  ;  ;  ;

                                                                          Ответ: при .

                                      Занятия 7,8.

Тема: упрощение выражений с использованием указанной подстановки.

Цели и задачи: совершенствовать умение упрощать алгебраические дроби и вычислительную технику обучающихся.

                                                   Ход занятий.

    Что знаем?         1. ()²=а, а≥0.

                                                         2.  а²-в²=(а-в)(а+в).

                                                         3.   (а±в)²= а²±2ав+в²                   

   Что умеем?     1. Возводить дробь в степень;

                                                 2. делить дробь на дробь;

                                                 3. сокращать дробь;

                                                 4. приводить дроби к общему знаменателю.

    ТОГДА раскрой скобки: (-3)²,  (+1)(-1) и разложи на множители: х-у, 7-.

      Задание 1. Сделайте указанную подстановку и результат упростите:

           ·х²-2х+,       х=.                        Ответ:0.

       Задание 2:  ,      у=.                      Ответ:6.  

      Задание 3:  пусть f(х)=2х³-7х²+2х-3. Покажите, что   целое число.                                                                               Ответ:36.

      Задание 4:   докажите, что число 2- является корнем уравнения х³-5х²+5х-1=0.

                                           Решение.

Преобразуем:   х(х²-5х+5)=1 и выполним указанную подстановку х=2-.

   (2-)((2-)²-5(2-)+5)=(2-)(+2)=4-3=1. Истина, значит число 2- -- корень уравнения.