Презентации к интегрированному уроку математика в физике
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Слайд 1

Тема урока Приложения определенного интеграла к решению физических задач

Слайд 2

Цель урока Познакомиться с историей развития интегрального и дифференциального исчисления Научиться применять интеграл для решения физических задач

Слайд 3

Вычисление площади криволинейной трапеции На отрезке функция

Слайд 4

Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла .

Слайд 5

Вычисление пути Перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью v = v (t) , за промежуток времени , вычисляется по формуле

Слайд 6

Вычисление массы неоднородного стержня и координаты центра масс а) суммарная масса М стержня равна в) координата центра масс равна

Слайд 7

Интеграл

Слайд 8

БЕРНУЛЛИ Якоб Слово интеграл Внес существенный вклад в разработку основ дифференциального и интегрального исчислений, аналитической геометрии, теории вероятностей и вариационного исчисления. Решил проблему Лейбница об изохронной кривой, исследовал логарифмическую спираль, ввел полярные координаты.

Слайд 9

БЕРНУЛЛИ Иоганн В 1697 опубликовал работу по экспоненциальному исчислению, в которой впервые сформулировал задачу о брахистохроне; Ряд открытий в области интегрального и дифференциального исчислений.

Слайд 10

ЛЕЙБНИЦ Готфрид Фридрих Наряду с Ньютоном и независимо от него, создал дифференциальное и интегральное исчисления. Ввёл применяемое и сегодня обозначение производной df/dx. Ввёл бинарную систему счисления с цифрами 0 и 1, на котором базируется современная компьютерная техника.

Слайд 11

Доказал теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными пределами Нашел формулу представления функции с помощью интеграла, играющую важную роль в современной математике. Доказал, что всякую произвольно начерченную линию, составленную из отрезков дуг разных кривых, можно представить единым аналитическим выражением. Фурье

Слайд 12

КЕПЛЕР Иоганн В своих сочинениях «Новая астрономия» и «Стереометрия винных бочек» правильно вычислил ряд площадей и объемов.

Слайд 13

Барроу Исаак Оставил способы изучения криволинейных фигур и метод касательных, в чём многие видели предвестника дифференциального исчисления.

Слайд 14

НЬЮТОН Исаак Одновременно с Г. Лейбницем, но независимо от него, создал дифференциальное и интегральное исчисления. Вместе с Г. В. Лейбницем считается основоположником дифференциального исчисления.

Слайд 15

БУНЯКОВСКИЙ Виктор Сделал перевод сочинений Коши о дифференциальном и интегральном исчислениях, причём присоединил к этому переводу свои примечания, а также составил, по поручению министерства народного просвещения, несколько учебных руководств по разным отраслям математики .

Слайд 16

ОСТРОГРАДСКИЙ Михаил Метод выделения рациональной части неопределенного интеграла от рациональной дроби

Слайд 17

ЧЕБЫШЕВ Пафнутий Львович По интегральному исчислению особенно замечателен мемуар 1860 г.: «Sur l'intégration de la différentielle», в котором даётся способ узнать при помощи конечного числа действий, в случае рациональных коэффициентов подкоренного полинома, возможно ли определить число А так, чтобы данное выражение интегрировалось в логарифмах и, в случае возможности, найти интеграл.

Слайд 18

РИМАН Бердхард Предложил исследовать внутреннюю геометрию пространств, тем самым заложил основы дифференциальной геометрии и подготовив фундамент для общей теории относительности Рассмотрел формализацию понятия интеграла и ввёл своё определение — интеграл Римана.

Слайд 19

Вычисление площади криволинейной трапеции На отрезке функция

Слайд 20

Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла .

Слайд 21

Вычисление пути Перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью v = v (t) , за промежуток времени , вычисляется по формуле

Слайд 22

Вычисление массы неоднородного стержня и координаты центра масс а) суммарная масса М стержня равна в) координата центра масс равна

Слайд 23

Работа переменной силы Пусть точка движется по оси Ох под действием силы, проекция которой на ось Ох есть функция f от x . При этом мы будем предполагать, что f есть непрерывная функция. Под действием этой силы материальная точка переместилась из точки М( a) в точку М( b) . Покажем, что в этом случае работа А подсчитывается по формуле a b 0 M(a) M(b) x

Слайд 24

Работа переменной силы 0 M(a) M(b) x Разобьём отрезок [a;b] на n отрезков одинаковой длины Т. к. f (x) – непрерывная функция от х, при достаточно малом отрезке [a;b] работа силы на этом отрезке приближенно равна f(a)( -a) . Т. О. работа силы на n- м отрезке приближенно равна f( )(b - ) .

Слайд 25

Работа переменной силы Значит, работа силы на всем отрезке Приближенное равенство переходит в точное, если считать , что n →

Слайд 26

Этапы работы над задачей Исследовать физическую ситуацию Перевести содержание задачи на язык функций Применить математические методы для решения задачи Проанализировать полученный результат

Слайд 27

Задача 1 Нефть, подаваемая в цилиндрический бак через отверстие в дне, заполняет весь бак. Определите затраченную при этом работу. Высота бака – h , а радиус основания R.

Слайд 28

Задача 2 Канал имеет в разрезе форму равнобедренной трапеции высотой h с основаниями a и b . Найдите силу, с которой вода, заполняющая канал, давит на плотину.

Слайд 29

Задача 3 Вычислите работу, которую необходимо совершить, чтобы поднять тело массой m с поверхности Земли на высоту h

Слайд 30

Слово интеграл от латинского integer – целый. Интеграция – восстановление, восполнение, воссоединение. Интегрирование – процесс объединения отдельных частей в целое.

Слайд 31

Задача. Пружина жёсткостью K=1000 Н / м растянута на 6 см. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть эту пружину дополнительно еще на 8 см? Первый способ решения Пусть х 1 – начальное удлинение пружины, тогда х 2 – удлинение ее после дополнительного растяжения, тогда х 2 =х 1 + Δ х и изменение длины пружины Δ х = х 2 - х 1 . Учитывая закон Гука: F упр =k х, и то, что сила упругости при деформации пружины изменяется, вычисляем работу А= F сред · Δ х= F сред ( x 2 - x 1 ) = ( F 1 +F 2 ) · · ( x 2 - x 1 ) /2 =( kx 1 + kx 2 )( x 2 - x 1 ) / 2= kx 2 2 / 2 - kx 1 2 / 2 = k ( x 1 + Δ х) 2 / 2 - kx 1 2 / 2 =8Дж

Слайд 1

Тема урока Приложения определенного интеграла к решению физических задач

Слайд 2

Цель урока Познакомиться с историей развития интегрального и дифференциального исчисления Научиться применять интеграл для решения физических задач

Слайд 3

Вычисление площади криволинейной трапеции На отрезке функция

Слайд 4

Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла .

Слайд 5

Вычисление пути Перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью v = v (t) , за промежуток времени , вычисляется по формуле

Слайд 6

Вычисление массы неоднородного стержня и координаты центра масс а) суммарная масса М стержня равна в) координата центра масс равна

Слайд 1

Вычисление площади криволинейной трапеции На отрезке функция

Слайд 2

Вычисление объемов тел с помощью определенного интеграла .

Слайд 3

Вычисление пути Перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью v = v (t) , за промежуток времени , вычисляется по формуле

Слайд 4

Вычисление массы неоднородного стержня и координаты центра масс а) суммарная масса М стержня равна в) координата центра масс равна

Слайд 1

Работа переменной силы Пусть точка движется по оси Ох под действием силы, проекция которой на ось Ох есть функция f от x . При этом мы будем предполагать, что f есть непрерывная функция. Под действием этой силы материальная точка переместилась из точки М( a) в точку М( b) . Покажем, что в этом случае работа А подсчитывается по формуле a b 0 M(a) M(b) x

Слайд 2

Работа переменной силы 0 M(a) M(b) x Разобьём отрезок [a;b] на n отрезков одинаковой длины Т. к. f (x) – непрерывная функция от х, при достаточно малом отрезке [a;b] работа силы на этом отрезке приближенно равна f(a)( -a) . Т. О. работа силы на n- м отрезке приближенно равна f( )(b - ) .

Слайд 3

Работа переменной силы Значит, работа силы на всем отрезке Приближенное равенство переходит в точное, если считать , что n →

Слайд 1

Этапы работы над задачей Исследовать физическую ситуацию Перевести содержание задачи на язык функций Применить математические методы для решения задачи Проанализировать полученный результат

Слайд 2

Задача 1 Нефть, подаваемая в цилиндрический бак через отверстие в дне, заполняет весь бак. Определите затраченную при этом работу. Высота бака – h , а радиус основания R.

Слайд 3

Задача 2 Канал имеет в разрезе форму равнобедренной трапеции высотой h с основаниями a и b . Найдите силу, с которой вода, заполняющая канал, давит на плотину.

Слайд 4

Задача 3 Вычислите работу, которую необходимо совершить, чтобы поднять тело массой m с поверхности Земли на высоту h

Слайд 5

Слово интеграл от латинского integer – целый. Интеграция – восстановление, восполнение, воссоединение. Интегрирование – процесс объединения отдельных частей в целое.

Слайд 1

Задача. Пружина жёсткостью K=1000 Н / м растянута на 6 см. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть эту пружину дополнительно еще на 8 см? Первый способ решения Пусть х 1 – начальное удлинение пружины, тогда х 2 – удлинение ее после дополнительного растяжения, тогда х 2 =х 1 + Δ х и изменение длины пружины Δ х = х 2 - х 1 . Учитывая закон Гука: F упр =k х, и то, что сила упругости при деформации пружины изменяется, вычисляем работу А= F сред · Δ х= F сред ( x 2 - x 1 ) = ( F 1 +F 2 ) · · ( x 2 - x 1 ) /2 =( kx 1 + kx 2 )( x 2 - x 1 ) / 2= kx 2 2 / 2 - kx 1 2 / 2 = k ( x 1 + Δ х) 2 / 2 - kx 1 2 / 2 =8Дж