Открытый урок в 11 классе "Правила вычисления производных"
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Урок  по алгебре в 11 классе      

Тема:  «Правила вычисления производных».

Цели урока:

    Образовательные: закрепить с  учащимися правила вычисления производных; уметь применять знания при решении примеров.

    Развивающая: развитие внимания, навыков самоконтроля.

    Воспитательные:  воспитание на уроке воли и упорства для достижения конечных результатов, активности, уважительного отношения друг к другу.

    Требования к знаниям, умениям и способам деятельности: овладеть  умениям вычисления производной, степенной функции; знать правила дифференцирования; правильно употреблять термины.

    Тип урока: урок усвоения новых знаний.

    Формы работы: фронтальная, индивидуальная.

    Методы:  беседа.

 Оборудование и дидактический материал:  презентация,  карточки для самостоятельной работы.

    Структура урока:

     1. Организационный момент, проверка д/з.                                 1мин

     2. Актуализация знаний.(презентация «Производная»)              6мин

     3. Закрепление  темы.                                                              15мин

     5. Самостоятельная работа.                                                         15мин

     6. Д/з.                                                                                              1мин    

     7. Итог, оценивание.                                                                      2мин                

ХОД УРОКА

1.Организационный момент(1мин).

Слабоуспевающим тетради и карточки на 10 мин.

        Учитель: Здравствуйте ребята! На прошлых уроках мы познакомились с понятием производной. Сегодня познакомимся с правилами вычисления производных. Научимся вычислять производную от степенной функции.

Но сначала давайте отметим отсутствующих, проверим домашнее задание. (Учитель фиксирует отсутствующих, дежурный докладывает о выполнении домашнего задания.)

2. Актуализация знаний(6мин).

    1.Проверка домашнего задания.(устно)

    2. Учитель: Давайте вспомним определение производной. Внимание на экран!

(учащиеся устно отвечают на вопросы, правильность ответов проверяется с помощью презентации)

Что такое приращение аргумента, приращение функции? (Слайд№2)

Как определяется разностное отношение?(Слайд№2)

Дайте определение секущей и углового коэффициента.(Слайд№3)

Опишите алгоритм нахождения производной.(Слайд№4)

Дайте определение производной.(Слайд№5)

3. повторение   изученной темы по учебнику стр.240-241(4 мин)

(учащиеся записывают тему урока)

 1) Основные правила дифференцирования.

   Учитель: Давайте посмотрим основные правила вычисления производных.

Здесь значения функций u и v и их производных в точке xₒ обозначаются для краткости так: u(xₒ)=u, v(xₒ)=v, u'(xₒ)=u', v'(xₒ)=v'.

   Правило1. Если функции u и v дифференцируемы в точке xₒ, то их сумма дифференцируема в этой точке и

(u+ v)'= u'+ v'.

   Производная суммы равна сумме производных.

   Доказательство: (воспользуемся алгоритмом нахождения производной)

1. Вычислим приращение суммы функций в точке хₒ:

∆(u+v)=u(xₒ+∆x)+v(xₒ+∆x)-(u(xₒ)+v(xₒ))=(u(xₒ+∆x)-u(xₒ))+(v(xₒ+∆x)-v(xₒ))=∆u+∆v.

2. Находим разностное отношение:

∆(u+v)/∆x=∆u/∆x+∆v/∆x.

3. Функции u,v дифференцируемы в точке xₒ, т.е. при ∆х→0

 ∆u/∆x→u' ∆v/∆x→v'.

Тогда ∆(u+v)/∆x→u'+v' т.е. (u+ v)'= u'+ v'.

   Правило 2. Если функции u и v дифференцируемы в точке xₒ, то их произведение  дифференцируемо в этой точке и

(u v)'= u' v + u v'.

(доказательство аналогично)

   Следствие. Если функция u  дифференцируема в точке xₒ, а С – постоянная,  то   функция Сu дифференцируема в этой точке и  

(Сu)'=Сu'.

  Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Правило 3. Если функции u и v дифференцируемы в точке xₒ, и функция  v  не равна нулю в этой точке, то частное  u / v также дифференцируемо в этой точке и (u/ v)'= (u' v - u v')/ v².

Следствие. (1/v)'=-v'/v²

2) Производная степенной функции.

   Формула для вычисления производной степенной функции хⁿ, где n – произвольное натуральное число, больше 1, такова:  

(хⁿ)'=nxⁿ-ˡ .

4. Закрепление изученного материала(15мин).

 Найти производные функций(слайд№13)

1. f(x)=3x+5                  

   2. f(x)=4x2-5x3+9x

                3      x

   3  f(x)= — + —

                 x      3

4. f(x)= Öx + 4
5.  f(x)=(3x+5)(x-3)
6.  f(x)=(x2-5x)(x3-x2)
7.               3 + x

      f(x)= ——

                 x3 

  Ответы: (слайд№14)

   1. f´(x)=3                         5. f´(x)=6x-9

   2. f´(x)=8x-15x2+x          6. f´(x)=5x4-24x3+15x2 

                    3      1                            4x+9

   3.  f´(x)= - — + —           7.  f´(x)=  ——  

                     x2     3                               x4

   4. f´(x)= 1/(2Öx)

  Решение задач из учебника.  Найти производные функций.

1) №208(из сборника).

а) f(x)=x²+x³                            f(x)'=2x+3x²

в) f(x)=x²+3x-1                        f(x)'=2x+3

2) №209.

 а) f(x)=x³(4+2х-х²)                  f(x)'=2х²(4+2х-х²)+ x³(2-2х)=-4хᶣ+6х³+8х²

г) f(x)=(2х-3)(1-х³)                   f(x)'=2(1- х³)+(2х-3)(-3х²)=-8х³+9х²+2

3) №210.

а) f(x)=(1+2х)/(3-5х)                 f(x)'=(8х+11)/(3-5х)²

б) f(x)=(х²)/(2х-1)                      f(x)'=(2х²-2х)/(2х-1)²

4) №809(А,Б,В).

Решите уравнение f(x)'=0, если:

а)f(x)=2x²-х.                                 б)f(x)=-2/3х³+х²+12

   f(x)'=4х-1                                      f(x)'=-2х²+2х

   4х-1=0                                          -2х²+2х=0

   4х=1                                             -2х(х-1)=0

   х=0,25.                                          х=0   х=1

5) №214(из сборника).

Решите неравенство f(x)'<0, если:

а)f(x)=4х-3х²                                 б)f(x)=х²-5х

   f(x)'=4-6х                                       f(x)'=2х-5

   4-6х<0                                            2х-5<0

   -6х<-4                                             2х<5

   x>2/3                                                х<2,5

5. Самостоятельная работа(12 мин).

Вариант 1

 1.Найдите производную функции

  ,

2.Найдите , если .

а) ; б) ; в) ; г) .

3.f(x)=4x+x². Решите уравнение .

а) -2;  б) ; в) -; г) 2.

Вариант 2

1.Найдите производную функции

  ,

2.Найдите , если .

а) ; б) ; в) ; г) .

3.g(x)=6x+3x². Решите уравнение .

а) 1;  б) 3; в) 0; г) -1.

Ответы:

Вариант1.

1. х²/2-х-3   2. г    3. а

Вариант2.

1. -х²/2+3х+5   2.  в     3.   г

6. Д/з: п.46, стр.243-244, №811; №814,820  (1мин)

7. Итог, оценивание.(2мин)