Разработка урока "Решение комбинированных уравнений", 11 класс.
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Тема урока.                                   Решение комбинированных уравнений.

Цель урока.                                   Рассмотрение различных способов решения комбинированных уравнений комбинированных уравнений.

План урока:                                  1.Повторение схемы решения любого апаыпыпывывпыпвыпывпывпуравнения.

                                                        2. Решение уравнений.

                                                        3. Итог.

Форма работы:                           Групповая.

Ход урока:                                   1. В начале урока необходимо вместе с учащимися вспомнить определение равносильных уравнений (два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x) = h(x) называются равносильными, если множества их корней совпадают).

Пример 1. – Уравнение x2 – 4 = 0 имеет корни 2 и -2;

- Уравнение  (х+2)(2х-4)=0 имеет корни 2 и -2;

- Вывод: уравнения  x2 – 4 = 0 и  (х+2)(2х-4)=0  равносильны.

Пример 2. – Уравнения x2+1=0 и =-1 равносильны, поскольку оба эти уравнения не имеют решений.

Затем необходимо напомнить учащимся схему решения любого уравнения.

I этап – технический.

Исходное уравнение шаг за шагом  преобразуют в более простое и находят его корни.

II этап – аналитический.

На этом этапе, анализируя проведенные преобразования, отвечают на следующие вопросы:

а) все ли преобразования при переходе от одного уравнения к другому были равносильными?

б) не появились ли при этих преобразованиях посторонние корни?

в) не произошла ли потеря корней в результате проведенных преобразований.

Основные причины потери корней при решении уравнений:

1. деление обеих частей уравнения на одно и тоже выражение, содержащее неизвестную величину (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие неравенства нулю данного выражения);
2. сужение ОДЗ в процессе решения уравнений;
3. присутствие в одной или обеих частях уравнения выражений, содержащих неизвестную величину, которые являются немонотонными функциями.

Основные причины появления посторонних корней при решении уравнений:

1. умножение обеих частей уравнения на выражение, которое при определенных значениях переменной величины может принимать нулевое значение;
2. расширение ОДЗ в процессе  решения уравнений;
3. возведение обеих частей уравнения в четную степень.

III этап – проверка.

Если анализ, проведенный на втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли привести к появлению посторонних корней (т.е. был осуществлен переход к уравнению – следствию), то необходима проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение. Если проверка корней с помощью их подстановки в исходное уравнение сопряжена со значительными вычислительными трудностями, то её, как правило, можно заменить проверкой по области допустимых значений (ОДЗ) заданного уравнения.

                                                       2.  Решение уравнений.

Сформированные группы в составе  3-4  человек решают заданное уравнение на местах. Кроме этого, один представитель группы решает данное уравнение на обратной стороне доски. После решения уравнения происходит проверка данного решения всем составом класса с одновременным обсуждением возникающих вопросов и поиском ответов на них.  

Решить уравнения:

Решение уравнений.

1.

 => 0 t 1;

     ;

    ,

     – не удовлетворяет условию  t,

Следовательно,  ,

                                +2πn, n – целое число.

Ответ: +2πn, n – целое число.

2.

                  или  0 < tgx < 1

Следовательно, ;

Ответ: .

3.

, t

Следовательно:    ;                x=2,

                                            x=1.

.

f(x) = , D(f) = ( – монотонно возрастающая функция.

g(x) =3 – x, D(g) = ( - монотонно убывающая функция.

Области определения f(x) и g(x) совпадают.

Следовательно, данное уравнение не может иметь более одного корня. Корень находится подбором .

Ответ : .

4.

 – функция, возрастающая, а  – функция, убывающая на общей D(f), следовательно, уравнение  может иметь не более одного корня, который находится подбором; t = 9

                                                         3. Итог урока.

При подведении итога урока следует акцентировать внимание учащихся на следующем:

1. Подходы к решению комбинированных уравнений могут быть различны;
2. При решении уравнений в некоторых случаях лучше найти ОДЗ, а в некоторых – перейти  равносильной системе;
3. При решении уравнений необходимо обращать внимание на отбор корней на промежуточном этапе.
4. Выводы о достижении цели урока. Выставление оценок. Домашнее задание.

В качестве домашнего задания можно предложить для решения следующие уравнения: