Решение тригонометрических уравнений
презентация к уроку по алгебре (10 класс) по теме

Тема:  Решение тригонометрических уравнений.

Тип урока:  Повторительно-обобщающий урок.

Цели урока

Образовательные:

• Систематизировать, расширить и углубить знания и умения учащихся по применению различных методов решения тригонометрических уравнений.

Развивающие:

• Способствовать развитию логического мышления и творческих способностей путем решения нестандартных задач.
• Развитие способностей анализировать задание и выбирать наиболее рациональный способ решения.

Воспитательные:

• Воспитание способности взаимоконтроля и самоанализа.
• Воспитания  познавательного интереса к математике.

Структура урока:

1. Организационный момент. (1-2 мин.)
2. Первичное повторение знаний и умений на уровне воспроизведения. (10-12 мин.)
3. Динамическая пауза. (1-2 мин.)
4. Систематизация и обобщение знаний и умений при выполнении заданий. (25-30 мин.)
5. Подведение итогов урока, определения домашнего задания и инструктажа по его выполнению. (3-5 мин.)

Оборудование:

 Плакат с изображением единичной тригонометрической окружности, ноутбук, проектор, экран, презентация,  лист самооценки.

К уроку подготовлена презентация. С ее помощью проводится устная работа, повторение ранее изученного материала, рассматриваются различные виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

Ход  урока:

1. Организационный момент.

Учитель приветствует учащихся и сообщает тему урока.(слайд №1)

    Основной прием решения любого уравнения  - это приведение его к равносильному, более простому уравнению. Решение произвольных тригонометрических уравнения сводится к решению простейших уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg х= a.  При переходе от одного уравнения к другому пользуются общими методами решения уравнений  и формулами тождественных преобразований тригонометрических выражений. Сегодня на уроке необходимо рассмотреть на примерах применение основных методов к решению тригонометрических уравнений.

2. Первичное повторение знаний и умений на уровне воспроизведения.

В начале урока проводится фронтальная работа с классом. Учитель задает вопросы по теории, ученики отвечают. (слайд №2)  

• Что такое уравнение? (отв.: Уравнение — равенство двух алгебраических выражений.)
• Что называется корнем уравнения?  (отв.: Корень уравнения — такое значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.)
• Какие уравнения называются равносильными?  (отв.: Уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни или не имеют корней вообще.)
• Что значит решить уравнение?  (отв.: Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.)

Затем учитель проверяет знание формул решения простейших тригонометрических уравнений. (слайд №3).

В течении 7 минут, ученики по вариантам решают простейшие тригонометрические уравнения. (слайд №4)

Вариант 1.

1. sin x = 0

2. cos x = -1

3. cos 3x = -/2

4. sin 0,5x = 1

5.tg 4х =

6. tg (x + π/2) =

7. 2tg х = 3

Вариант 2.

1. sin x = 1

2. cos x = 0

3. cos 1/3x = 1

4. sin 2x = 1/2

5.tg 4х = -1

6. tg (2π – х) =

7. tg х = 1,35

Ответ:

1. х =πк, кЄZ

2. х =π + 2πк, кЄZ

3. х = +π/4 + 2πк/3, кЄZ

4. х = π + 4πк, кЄZ

5. х = π/12 + πк/4, кЄZ

6. х = -π/3 + πк, кЄZ

7. х = arctg3/2 + πк, кЄZ

Ответ:

1. х = π/2 + 2πк, кЄZ

2. х =π/2 + πк, кЄZ

3. х = 6πк, кЄZ

4. х =(-1)kπ/12 +πk/2, кЄZ

5. х = π/16 + πк/4, кЄZ

6. х = π/2 + πк, кЄZ

7. х = -arctg1,35 + πк, кЄZ

После истечения времени ученики меняются тетрадями и проверяют работу соседа. (слайд №5) При оценке работы учитывается не только правильность выполнения работы, но и количество выполненных заданий. Оценки заносятся в таблицу индивидуальных  достижений.

3. Динамическая пауза.

Гимнастика для глаз. Учитель говорит задания, ученики выполняют.

       Сядьте равно. Руки положите за спины. Не поворачивая головы, посмотрите на окно, на стенд на противоположной стороне, наверх, на парту, на доску. Закройте глаза, представьте голубое  небо. Откройте глаза. Руки положите на стол. Продолжим…

4. Систематизация и обобщение знаний и умений при выполнении заданий.

     А) Решение уравнений.

Учитель: Решение более сложных тригонометрических уравнений состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Какие методы преобразования вам известны?

    Ученики дают ответы: (слайд №6)

• Алгебраический метод. Приведение данного уравнения к квадратному относительно одной тригонометрической функции с последующей заменой переменной и подстановкой.
• Решение уравнений методом разложения на множители.
• Решение однородных  уравнений первой и второй степени. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла.
• Введение  вспомогательного аргумента.

   Учитель: Рассмотрим каждый из перечисленных методов на примерах.

    К доске приглашаются двое учащихся. Один будет решать уравнение с комментариями, другой работать самостоятельно. Таким образом, у доски будут работать два человека. Остальные ученики работают на местах в тетрадях, решив первое уравнение, могут приступать ко второму. Свое решение учащиеся проверяют с помощью слайдов из презентации и оценивают самостоятельно, занося оценки в таблицу индивидуальных  достижений. Таким образом, каждый выдирает себе подходящий для него темп работы.

1. Алгебраический метод. (слайд №7)

1) Решить уравнение:  2 cos2x + 3 sin x = 0.
Решение:    

т. к. cos2x = 1 - sin2x,

2(1 - sin2x) - 3 sin x = 0,

2 sin2x - 3 sin x - 2 = 0.
sin x = t,  t = -1/2, t = 2

sin x =-1/2 или sin x = 2-решений не имеет

х = (-1)k arcsin(-1/2)+πk

 x = (-1)k+1π/6 +πk, k Є Z.
Ответ: (-1)k+1π/6 +πk, k Є Z.

2) Решить уравнение:  3 sin22x + 10 sin2x + 3= 0.

Решение:    

sin 2x = t,  3 t2 + 10 t + 3= 0.
Ответ: (-1)k+1 1/2 arcsin1/3+πk/2, k Є Z.

2. Решение уравнений методом разложения на множители. (слайд №8)

1) Решить уравнение:  2 sin x · cos 5x – cos  5x = 0.

 Решение:    

сos5 x (2sin  x – 1) = 0 ,

1) sin x = 1/2 ,                             2) cos 5x  = 0 ,

х = (-1)kπ/6 +πk, k Є Z.               х = π/10 + πn/5, nЄZ

2) Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 

Решение:    

cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x , используя формулы сумма косинусов и косинус двойного аргумента, получаем

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1) cos 4x = 0 ,               2) sin 3x = 0 ,          3) sin x = 0 ,

х = π/8 + πк/4, кЄZ        х = πn/3, n Є Z.         х = πm, m Є Z.

3. Решение однородных  уравнений первой и второй степени. (слайд №9)

   Однородными называются уравнения вида  a·sinx+b·cosx = 0 - первой степени,
a·sinx+ b·sinx·cosx+c·cosx = 0 - второй степени и т.д., где a, b, c - числа.
Однородные уравнения любой степени решаются делением на подходящую степень cosx или sinx.

 1). Решить уравнение:  sin x -  cos x = 0. 

Решение:    sin x -  cos x = 0, разделим обе части уравнения на  cos x

tg x -  = 0

tg x =

х = π/3 + πn, nЄZ          

2). Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

 Решение:          

3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0, разделим обе части уравнения на cos 2 x

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,

y1 = -1,  y2 = -3,  значит

tg x = –1,                          tg x = –3,

х = - π/4 + πn, nЄZ          х = - arctg3 + πк, кЄZ

4. Введение  вспомогательного аргумента.

1).Решить уравнение:  2 sin 3x + 2 cos 3x =. (слайд №10)

 Решение:    разделим обе части на

 1 sin 3x + 1/cos 3x = 1/2.

 /2sin 3x + /2cos 3x = 1/2.  Заметим, что  = cos (π/4),  = sin (π/4), получаем cos (π/4)· cos 3x +  sin (π/4)· sin 3x = 1/2. Используя формулу косинуса разности, получим:

cos (3х - π/4) = 1/2.

 3x - π/4= +π/3 + 2πn, nЄZ          

x = 7π/36 + 2πn/3, nЄZ         x = - π/36 + 2πn/3, nЄZ          

2).Решить уравнение:  sin 3x -  cos 3x = 1. (слайд №10)

Решение:    здесь а =  , b = - 1, поэтому разделим обе части на

  sin 3x -  1/2cos 3x = 1/2. Заметим, что   = cos (π/6), 1/2 = sin (π/6), получаем cos (π/6)·sin 3x -  sin (π/6)·cos 3x = 1/2. Используя формулу синуса разности, получим:

sin (3х - π/6) = 1/2.

Х = (-1)k π/18+ π/18 +πk/3, k Є Z.

Б) Самостоятельная работа.

     Учитель показывает слайд  с разноуровневыми  заданиями. Ученики самостоятельно выбирают уровень заданий и метод решения уравнений.         

     1   уровень.

Решить уравнения:  

1.8 cos2x – 6 cos x – 5 = 0.

2. sin2x + sinx = 0.
3. sinx – cosx = 0.

4. sinx + cosx = .

2. уровень.

Решить уравнения:  

1.2 cos2x – 5sin x + 1= 0.

2. 5sinx – 2sinx = 0.

3. 5sinx + 6cosx = 0.

4.sin x -  cos x = 2. 

    3   уровень.

Решить уравнения:  

1.(1 – cos2x)/2 – 3sin x = 4.

2. 3sin2x – cosx = 0.

3.  3sin 2 x – 4sin x · cos x – 5 cos 2 x = 0.

4. sin x +  cosx = 1. 

   5. Подведение итогов урока, определения домашнего задания и инструктажа по его выполнению.

   Подчитывается количество баллов, набранных каждым учащимся в ходе решения заданий, объявляется победитель.  Учащиеся сдают тетради с самостоятельной работой и карточки индивидуальных достижений.

  Учитель подводит итоги урока. Итак, мы повторили основные методы решения тригонометрических уравнений. Дома необходимо решить уравнения, разделяя их по методам решения.

Решите уравнения:

1. 4sinx + 11sinx - 3 = 0
2. 5sin2x + 6cosx - 6 = 0
3. 8sin2x + cosx + 1 = 0
4. 2tg2x + 3tgx - 2 = 0
5. 4sin2x - 1 = 0
6. cos3x· cos6x = cos4x·cos7x
7. cos2x + cosx·sinx = 0
8. 1 - 2cosx·sinx + sinx + cosx = 0
9. tg x + 3 = 3/cos2x
10. sinx - cosx = /2
11. 3sinx - 4cosx =
12. sin2x + sin2x = 4cos2x