О некоторых закономерностях распределения простых чисел
творческая работа учащихся по алгебре на тему

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО И

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

НАУЧНОЕ ОБЩЕСТВО УЧАЩИХСЯ

Математическое исследование на тему

«О некоторых закономерностях распределения простых чисел »

Выполнила: Сабчук Яна,

ученица 10 класса МОУ «Хохольский лицей».

Руководитель: Григорьева Л.А.,

учитель математики

г.п. Хохольский

Содержание

1. Вступление
2. Простые числа и их свойства
3. Формулы и таблицы простых чисел
4. Некоторые закономерности распределения простых чисел в числовом ряду
5. Арифметические прогрессии и простые числа
6. Простые числа Мерсенна. Совершенные числа.
7. Компьютер в поисках простых чисел
8. О закономерностях распределения простых чисел
9. Заключение
10. Литература

Вступление

Возможно, самым интересным разделом теории чисел является раздел, посвященный простым числам.  Он является не только самым интересным, но и одним из самых мало изученных. Из простейшего определения понятия простого числа – это число, которое делится на себя и единицу – вытекает множество загадок, многие из которых удалось решить сравнительно недавно, ну а некоторые еще ждут своего разрешения. Решив некоторые из них, человечество продвинется далеко вперед, а возможно, спровоцирует мировой кризис.

О важности простых чисел в математике говорит основная теорема арифметики: любое число можно представить в виде произведения простых множителей. Вся математика опирается на простые числа, но закономерности появления их в натуральном ряде так никто еще  не объяснил.

Простые числа

Просто́е число́ — это натуральное число, которое имеет ровно два натуральных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, кроме единицы, называются составными. Таким образом, все натуральные числа большие единицы разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. Последовательность простых чисел начинается так:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, …

Разложение натуральных чисел в произведение простых

Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы (1), представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Таким образом, простые числа — элементарные «строительные блоки» натуральных чисел.

Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые числа.

Решето Эратосфена, решето Сундарама и решето Аткина дают простые способы нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения.

Однако на практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются тестами простоты.

Сколько существует простых чисел?

Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так:

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

Некоторые свойства

• Если p — простое, и p делит ab, то p делит a или b. Доказательство этого факта было дано Евклидом и известно как лемма Евклида. Оно используется в доказательстве основной теоремы арифметики.
• Если p — простое, а a — натуральное, то ap − a делится на p (малая теорема Ферма).
• Натуральное p > 1 является простым тогда и только тогда, когда (p − 1)! + 1 делится на p (теорема Вильсона).
• Если n > 1 — натуральное, то существует простое p, такое, что n < p < 2n (постулат Бертрана).

• Любая арифметическая прогрессия вида a,a + q,a + 2q,a + 3q,..., где a,q > 1 — целые взаимно-простые числа, содержит бесконечно много простых чисел (Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).
• Всякое простое число, большее 3, представимо в виде 6k + 1, или в виде 6k − 1, где k — некоторое натуральное число.
• Если p > 3 — простое, то p2 − 1 кратно 24.

Формулы и таблицы простых чисел

Нарисуем несколько таблиц, где расставим простые числа несколько в ином порядке, чем обычно. Простые числа (произведения простых чисел) подчеркнуты. В первой таблице числа расположены по возрастающей, столбиками по десять чисел.

Таблица 1

Как мы видим, цифры расположены попарно.  Однако, пары стоят с интервалом 10. Если используем такое понятие, как произведение простых чисел, то пары можно продолжить. 49 -59, где 49 = 7 х 7  не является простым.

Таблица 2.  Здесь числа стоят по возрастающей, столбиками по 3 числа.

Числа стоят парами, согласно утверждению Римана, 5 - 7, 11 - 13, 17 - 19.

Таблица 3  Здесь числа стоят по возрастающей, столбиками по 6 чисел.

Простые числа, а также их произведения расположены в два ряда. Числа, расположенные в верхнем ряду, находятся по формуле (6а - 1)  Числа, расположенные в нижнем (6а + 1).  В верхнем ряду находятся, в том числе числа, являющиеся произведением  простых чисел 77=7х11. И определяются по формуле (6а + 1) х (6в - 1)  В нижнем ряду также расположены числа, являющиеся произведением простых  чисел: 7 х 7 = 49. Они определяются по формулам  (6а - 1) х (6в -1) = 6n +1 или (6а + 1) х (6в + 1) = 6n + 1.  Более сложные числа, расположенные в ряду простых чисел и не относящиеся к простым числам, например, верхний ряд 7 х 7 х 13 =1001 вначале упрощаются, 7 х 11 = 77, и далее  77 х 13 =1001  Аналогично в нижнем ряду. Для определения простого числа, вначале необходимо определить, в каком ряду оно расположено.  Используем формулы верхнего или нижнего рядов. Для этого, просто, прибавляем или отнимаем от заданного числа единицу и делим на шесть.  Далее проверить, является ли оно простым числом. Даже, если это произведение нескольких простых чисел, оно всегда сведется к двум числам, расположенным в ряду простых чисел.  P.S. число 2 не является простым числом.  Простые числа расположены в четкой последовательности. Ряды простых чисел дополняют друг друга произведением этих чисел.  

Для таблицы 3 формируем несколько правил  

1)Числа, расположенные в рядах простых чисел получаются путем деления или умножения чисел расположенных в рядах простых чисел.  

2)Ряды простых чисел дополняются произведением (делением) простых чисел.

3)Если произведение простых чисел составляет три и более простых чисел, оно всегда сводится к произведению двух чисел, расположенных в рядах простых чисел.  

4)Все простые числа находятся в рядах простых чисел.

Важно отметить, что формула (6а+1) или (6а - 1) существует давно. Но, только тогда, когда удалось найти ряды простых чисел, то стало понятно, что эта формула относится к данным числам.

Некоторые закономерности распределения

простых чисел в числовом ряду

             Ряды, включающие в себя простые числа (ПЧ) и вне которых нет простых чисел, образуются при замыкании числового ряда в спираль с периодом витка спирали 6n при n =1,2,3... . Может быть построено множество рядов (рядов  С  -  circum),  включающих  все ПЧ (рис. 1-6).  Среди  числовых выражений данных периодов есть такие как 12, 24, 30, 60, 360, т.е. числа, используемые для исчисления времени (12 месяцев в году,  24 часа в сутках,  30 дней в месяце, 60 минут в часе, 60- летний цикл в восточном календаре, 360 градусов в окружности).

             Однако данные ряды С включают в себя  не  только  ПЧ,  но и сложные числа,  что  создает трудности в вычислении их последовательности. Однако можно использовать принцип  Решета  Эратосфена. При  этом  из рядов С исключаются сложные числа и вычленяются ПЧ, тем более,  что наблюдается четкая закономерность в распределении сложных чисел в этих рядах.

             Наиболее прост в исчислении ПЧ числовой цикл с периодом витка спирали 6. Здесь вычленяются только два ряда С - А1 и А2 (рис.  1),  имеющих периодичность:

               А1{1 + 6n, n = 0,1,2,3...}

               А2 {5 + 6n, n = 0,1,2,3...}

             Только в этих рядах имеются ПЧ и вне этих рядов ПЧ нет.

             Проанализируем эти две числовые последовательности.

           Обнаруживается, что  в  числовом ряду А1 простыми числами не являются последовательности:

         В1 {5 х (5+6n), n = 0,1,2,3...} или {25+30n, n = 0,1,2,3...},

         С1 {(1 + 6n) х (1 + 6m),  где n, m = 0,1,2,3...},

         D1 {(11 + 6n) х (11 + 6m),   где n, m = 0,1,2,3...}.

             В данном числовом ряду А1 простыми числами являются все числа этого числового ряда за исключением числовых последовательностей В1, С1, Д1.

          В числовом  ряду  А2 простыми числами не являются последовательности:

         В2 {5 х (1+6n), где n = 0,1,2,3...} или {5+30n, n = 0,1,2,3...},

         С2 {(1 + 6n) х (5 + 6n), где n = 0,1,2,3...}.

             В  данном числовом ряду А2 простыми числами будут все числа числового ряда  А2 за исключением числовых последовательностей В2 и С2.

        В других спиралях с цикличностью 6n, n = 0,1,2,3... ряды С и ПЧ вычленяются сходным образом.

             Выявленные ряды С имеют ряд интересных закономерностей.

          При рассмотрении геометрических  аналогов  данных  цикличных последовательностей 6n (n = 0,1,2,3...), т.е. спиралей с периметром витка спирали равным 6n (рис. 1-6), обнаруживается, что ряды С зеркально симметричны относительно оси “0-центр окружности” (вертикальная симметрия).  Кроме того, суммы чисел симметричных рядов С одинаковы. Например, в спирали с периодом 60 (рис.6):

             1 + 59 = 60                  59 + 61 = 120

             7 + 53 = 60                  53 + 67 = 120

         11+ 49 = 60 и т.д.        49 + 71 = 120  и т.д.

             В спиралях числовых рядов с периодами витков спирали 12, 24 (рис. 2,4), 36, 48, т.е. с периодами 6n (n = 2, 4, 6...) имеется кроме вертикальной также и горизонтальная зеркальная симметрия рядов С с осью симметрии, проходящей через центр окружности и перпендикулярно вертикальной оси симметрии.

             В спиралях  с  периодом витков спирали 6n  (n = 0,1,2,3...) обнаруживается также и поворотная симметрия рядов С.                         Проанализируем этот аспект подробнее.

             В спиралях числового ряда с периодом витка спирали 6 поворотной  симметрии нет, т.е. ее порядок равен единице (рис. 1).

             В спирали с периодом витка спирали 12 имеется  поворотная симметрия  2-го порядка с углом поворота 180 градусов (рис.2).

             В спирали с периодом витка спирали 18 имеется  поворотная симметрия  3-го порядка с углом поворота 120 градусов (рис. 3).

             В спирали с периодом витка спирали 24 имеется поворотная симметрия 4-го порядка с углом поворота 90 градусов (рис. 4).

             В этих  случаях обнаруживается,  что порядок поворотной симметрии вычисляется путем деления величины периода  на  6:  6:6=1, 12:6=2, 18:6=3, 24:6=4.

     Однако при  рассмотрении  других  периметров витков спирали, например 30 и 60 (рис.  5,6) поворотная симметрия вроде бы не обнаруживается.

             Проанализируем более подробно эти спирали.

             В спирали с периодом витка спирали 30, если ввести, наряду  с вычлененными  рядами  С,  ряды  с  последовательностью  5=30n и 25+30n  при n=0,1,2,3..., выявляется поворотная симметрия 5-го порядка, удовлетворяющая  вышеуказанному правилу - порядок симметрии равен периметру спирали,  деленному на 6 (30:6=5).

Угол поворотных секторов в данном случае равен 72 градусов.

             Необходимо отметить,  что числа, входящие в два  новых  ряда 5+30n и 25+30n,  входят также в состав рядов С рассмотренной выше исходной базисной цикличности 6n (рис.  1).  В этих  рядах  числа кратные 5 имеют также последовательность 5+30n и 25+30n. Вероятно эти числа обладают некоторыми свойствами простых чисел,  возможно потому, что сомножителями этих чисел являются простые числа

             В цикличности с периметром витка спирали 60 также  обнаруживается поворотная  симметрия 10-го порядка удовлетворяющая указанному выше правилу (60:6=10),  если ввести,  наряду с  выявленными рядами С,  ряды   с   числами  периодичности  5+30n  и  25+30n (n=0,1,2,3...).  Угол поворотной симметрии при этом равен 36 градусам.

             Таким образом,  если считать рядами С также и последовательности, включающие числа 5+30n и 25+30n,  то количество рядов С  в спиралях 6n  будет соответствовать величине периметра витка спирали деленной на 3 ( 6:3=2, 12:3=4, 30:3=10, 60:3=20 и т.д.,  рис. 1-6).

                                      Выводы.

             1. Ряды,  включающие  в себя простые числа и вне которых нет простых чисел, возникают при замыкании числового ряда в спирали с периметром витка спирали 6n при n = 1,2,3... .

             2. В даннах рядах    имеется  четкая закономерность распределения сложных чисел и,  используя принцип Решета Эратосфена, их можно легко исключить из данных числовых последовательностей.

             3. Последовательности 5+30n и 25+30n, хотя и не имеют простых чисел (кроме  числа  5)  в  обычном  понимании,  однако обладают свойствами чисел рядов С, вероятно потому, что имеют сомножителями простые числа.

           4. Количество рядов С (включая ряды,  имеющие числа последоватльностей 5+30n и 25+30n) в спиралях соответствует величине периметра витка спирали деленной на 3.

          5.Все ряды С с любым периметром витка спирали, удовлетворяющим 6n (n=1,2,3...),  имеют вертикальную  симметрию  относительно оси 0-центр спирали. В спиралях с четной величиной периметра витка спирали (6n,  n=2,4,6...) имеется и горизонтальная  симметрия, ось которой проходит через центр спирали.

            6. Спирали любого размера имеют поворотную симметрию рядов С (включая   ряды,  имеющие  числа  последовательностей  5+30n  и 25+30n), порядок которой равен величине периметра  витка  спирали деленной на 6.

           7. Использование  для исчисления времени и других видов цикличности числовых рядов кратных 6,  вероятно,  связано с тем, что при данном  исчислении наблюдается четкая закономерность расположения сложных и простых чисел.  Наблюдаемая некоторыми исследователями (А.Т.Фоменко, Д.В.Калюжный и др.)  повторяемость исторических событий через определенные промежутки времени, возможно, также связана с цикличным расположением простых и сложных чисел или с симметричностью рядов,  содержащих простые числа.

Арифметические прогрессии и простые числа

Рассмотрим все натуральные числа, дающие при делении на 3 остаток 2: 2, 5, 8, 11, 14,... Общий вид таких чисел 3n + 2. Докажем, что среди таких чисел бесконечно много простых чисел.

Для этого несколько видоизменим доказательство, а именно,  будем рассматривать вместо числа  N = 2 .3 .5 .... .p + 1  число  M = 2 . 3 . 5 . ... .p - 1,   которое будучи на 1 меньше числа, кратного 3, является членом последовательности 2, 5, 8, 11, 14,..., 3n + 2,...

Число M, так же как и N, не делится ни на одно из простых чисел 2, 3, 5,..., p. Число М может быть само простым или же может раскладываться на несколько простых множителей. Интересно,  имеется ли среди полученых множителей такой, который имел бы вид 3n + 2? Допустим, что нет, т. е. предположим, что все простые множители числа М имеют вид 3k + 1. Но тогда и их произведение имеет вид 3k + 1, а это противоречит тому, что М имеет вид 3n + 2. Следовательно, наше допущение неверно, и хотя бы один простой множитель числа М имеет вид 3k + 2. Поэтому простых чисел вида 3k + 2 бесконечно много.

Приведенное рассуждение (с небольшим видоизменением) дает инструмент для доказательства бесконечности множества простых чисел вида 4k+3 и 6k+5.

Докажем бесконечность множества простых чисел вида 6k+5.

Доказательство проведем "от противного" в духе, присущем первоначальному доказательству Евклида. Предположим, что простых чисел этого вида лишь конечное число: p1, p2, ..., pn. Рассмотрим число К= 6p1p2...pn -1 = 6(p1p2...pn -1) +5. Одно из двух: либо число К   само простое, либо оно разлагается на конечное число простых множителей, p1,p2, ...pn, и не все из которых имеют вид     6k+1, поскольку само k не имеет этого вида. Значит один из простых множителей числа k, не совпадая с p1,p2, ...pn, имеет вид 6k+5, что противоречит сделанному нами предположению. Это противоречие показывает, что список простых чисел вида 6k+5 бесконечен.

Обобщением рассмотренных вопросов является следующая  теорема, сформулированная в 1788 г. французским математиком Дирихле в 1837 г.

В любой бесконечной арифметической прогрессии a, a+d, a+2d, a+3d, в которой первый член a взаимно прост с разностью d, содержится бесконечно много простых чисел.

Иными словами, функция y = d x + a, где d и a - взаимно простые целые числа, принимает бесконечно много простых значений, когда x пробегает последовательно ряд натуральных чисел. 

Доказательство Дирихле не элементарно, и в течение долгих лет не было видно никаких элементарных подходов к доказательству этой замечательной теоремы. Элементарное доказательство было впервые получено в 1949 г. (через 161 год после Лежандра!) видным датским математиком А. Сельбергом, доказавшим многие очень трудные теоремы теории чисел элементарно, без использования высшей математики.

Таблица : фрагмент распределения простых чисел. 

В таблице показано, как меняется число простых чисел на интервале от 8 900 000 до 9 000 000, разбитом на 1000 сотен. В каждом столбце таблицы нижнее число указывает количество тех сотен рассматриваемого интервала, в которых число простых чисел равно соответствующему верхнему числу столбца. Например, в одной сотне вообще нет простых чисел, в 117 сотнях встречается по 4 простых числа, в 130 сотнях - по 8 простых чисел.

Простые числа Мерсенна. Совершенные числа.

Среди простых чисел особую роль играют простые числа Мерсенна - числа вида Мр = 2р -1 , где р - простое число. Они называются простыми числами Мерсенна по имени французского монаха Мерена Мерсенна (1588-1648), одного из основателей Парижской Академии наук, друга Декарта и Ферма. Так как М2=3, М3=7, М5=31, М7=127, то это - простые числа Мерсенна. Однако, число М11=2047=2389 простым не является. До 1750 года было найдено всего 8 простых чисел Мерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М17, М19, М31. То, что М31 - простое число, доказал в 1750 году Л. Эйлер.

В 1876 году французский математик Эдуард Люка установил, что число М127=170141183460469231731687303715884105727- простое. В 1883 г. Сельский священник Пермской губернии И.М.Первушин без всяких вычислительных приборов доказал, что число М61=2305843009213693951    является простым. Позднее было установлено, что числа М89 и М107 - простые. Использование ЭВМ позволило в 1952-1964 годах доказать, что числа М521, М607, М1279, М2203, М2281, М3217, М4253, М4423, М2689, М9941, М11213 - простые. К настоящему времени известно уже более 30 простых чисел Мерсенна, одно из которых М216091 имеет 65050 цифр.

Большой интерес к простым числам Мерсенна вызван их тесной связью с совершенными числами.

Натуральное число р называется совершенным, если оно равно сумме всех  своих делителей кроме р.

Евклид доказал, что если р и 2р-1 - простые числа, то число       рр=2р-1(2р-1)=2р-1 Мр является совершенным.

Числа Р2=6 и Р3=28 были известны ещё пифагорейцам. Числа Р5=496 и Р7=8128 нашел Евклид.

Используя другие простые числа Мерсенна и формулу, находим следующие совершенные числа:  Р13=33550336, Р17=8589869056, Р19=137438691328, Р31=2305843008139952128.

Для всех остальных чисел Мерсенна числа Рр имеют очень много цифр.

До сих пор остаётся загадкой, как Мерсенн смог высказать правильное утверждение, что числа Р17, Р19, Р31 являются совершенными. Позднее было обнаружено, что почти за сто лет до Мерсенна числа Р17, Р19 нашел итальянский математик Катальди - профессор университетов Флоренции и Болоньи. Считалось, что божественное провидение предсказало своим избранникам правильные значения этих совершенных чисел. Если учесть, что ещё пифагорейцы считали первое совершенное число 6 символом души, что второе совершенное число 28 соответствовало числу членов  многих учёных обществ, что даже в двенадцатом веке церковь учила: для спасения души достаточно изучать совершенные числа и тому, кто найдёт новое божественное совершенное число, уготовано вечное блаженство, то становится понятным исключительный интерес к этим числам.

Однако и с математической точки зрения чётные совершенные числа по-своему уникальны. Все они - треугольные. Сумма величин, обратных всем делителям числа, включая само число, всегда равна двум. Остаток от деления совершенного числа, кроме 6, на 9 равен 1.

В двоичной системе совершенное число Рр  начинается р единицами, потом следуют р-1 нулей.

Например:

Р2=110, Р3=11100, Р5 =111110000, Р7 =1111111000000 и т.д.

Последняя цифра чётного совершенного числа или 6, или 8, причём, если 8, то ей предшествует 2.

Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид 2р-1 . Мр, где Мр-простое число Мерсенна. Однако до сих пор не найдено ни одного нечётного совершенного числа.

Высказано предположение(Брайен Такхерман,США), что если такое число существует, то оно должно иметь не менее 36 знаков.

Компьютер в поисках простых чисел

Математики всего мира не раз пытались найти ту формулу, при вычислениях по которой всегда получались бы простые числа. Если в этой фразе отбросить слово «всегда», то таких формул удастся привести довольно много, например: f(n)=n2 +n+17; f(n)=n2–n+41; f(n)=2n2+29.

Подставляя, например, в первую формулу вместо n последовательно натуральные числа, получим числа 19, 23, 29, 37. Все они являются простыми, но торжествовать рано - уже f(16)=289=172 , т.е. получилось составное число.

Эти формулы порождают много простых чисел, но это «много» еще не означает «всегда»! Более того, можно доказать, что никакой многочлен с целыми коэффициентами не может для всякого натурального значения n равняться простому числу.

На самом деле для простых чисел не существует никакой формулы, никакой комбинации алгебраических операций над n, выполняя которые, можно было бы получить очередное, n-ое простое число. Многие люди впадали в заблуждение на этот счет, достигнув некоторых первоначальных успехов.

Полотно Улама

Так чем же объясняются закономерности в распределении простых чисел? Пока ответа на этот вопрос нет, но все же есть множество визуальных наблюдений. Одну из таких закономерностей случайно открыл Станислав Улам, американский математик, поляк по происхождению. Сидя как-то на скучной лекции, он, ни о чем не думая, начал рисовать решетку из горизонтальных и вертикальных линий. В одной из полученных таким образом клеток он поставил 1 и стал нумеровать остальные клетки по спирали, расходящейся от первой клетки:

5 4 3

6 1 2

7 8 9

Когда спираль совершила уже несколько оборотов, Улам начал обводить кружками простые числа, не преследуя никакой определенной цели. Однако вскоре заметил, как на его глазах возникает довольно любопытная закономерность. Откуда ни возьмись, стали появляться прямые линии. Улам, конечно, сразу понял, что такие линии говорят о закономерности, которую можно облечь в формулу для простых чисел.

Составление формулы простого числа

Чтобы увидеть все своими глазами, а не полагаться только на слова, составим простую компьютерную программу, которая бы рисовала точку в центре, а вокруг нее по спирали располагала бы все числа натурального ряда. Программа будет отмечать черным цветом точки, соответствующие простым числам, и серыми – составные. Вот, что мы получим:

 У самого центра диаграммы одна такая закономерность пролегает сверху вниз и слева направо. Оно состоит из последовательности чисел: 7, 23, 47, 79...  Оказывается, эту последовательность можно описать квадратичной функцией р = 4x2  + 4х – 1.

С помощью этого графика можно задать формулой любую последовательность простых чисел. Рассмотрим, например, последовательность, берущую свое начало из точки 5 и идущую справа налево сверху вниз. Следующее число в этой последовательности 19, затем 41, 71… Попробуем описать ее рекуррентной формулой. Для этого сначала рассмотрим каждый квадрат, состоящий из точек. У любого такого квадрата на 8 точек больше, чем у вложенного в него, это очень легко доказать. Значит, разность между любыми двумя точками, лежащими в соседних квадратах по одному правилу будет увеличиваться на 8 по сравнению с предыдущими. Для определенности, за отношение «лежать по одному правилу» примем точки, лежащие в соседних квадратах, причем из точки, лежащей в меньшем квадрате,  можно перейти к точке из большего квадрата, если перейти в другой квадрат по кратчайшему расстоянию и затем сместиться на число t, где t целое, причем t – постоянное число для данного правила. В нашем случае t = 1.

Если разность между точками, лежащими в 1-м и 2-м квадратах от центра равна 14, то разность между точками 2-го и 3-го квадрата возрастет на 8 и будет равна 22. Теперь можно составить формулу: следующий член последовательности будет отличаться от предыдущего на 14 + 8 ∙ n, где n - номер члена последовательности, то есть номер квадрата от центра. Если считать 5 нулевым членом, и каждый член больше предыдущего на 8*(n-1), где n – номер квадрата, получим

Вот формула этой последовательности.

И таким образом можно составить сколько угодно формул последовательностей простых чисел, но всегда на каком-то номере окажется, что число вовсе не простое. Примечательно, что если в качестве начальной точки взять число не 1, а 41, то мы увидим последовательность, состоящую из 41 простого числа!

Никакая целая рациональная функция от х с целыми коэффициентами не может для любого натурального значения х равняться простому числу. (Теорема Гольбаха).

О закономерностях распределения простых чисел

В самом деле, является ли распределение простых чисел в ряду хаотическим или подчинено некоторым определенным закономерностям, задавались многие выдающиеся умы многих поколений, но так и не пришли к какому-либо выводу. Конечно, мы не в коей мере не претендуем на попытку решения столь глобальной проблемы. Однако можно поставить существенно более простую задачу.

Возьмем ограниченный интервал натуральных чисел N от 1 до 120 и постараемся выяснить особенности распределения среди них простых чисел. Вот какие простые числа содержатся на данном интервале:

Здесь P - простое число, а  i - его порядковый номер в последовательности.

На выбранном интервале N содержится 30 простых чисел, то есть ¼ от общего количества N. Сложив их, находим ∑p=1593. Обозначим буквой S количество простых чисел p. Легко найти, что: ∑p=(S-3)(2S-1).

Отметим, что через S можно выразить и сумму содержащихся на данном интервале составных чисел (она равна 5666): ∑s=2S(2S+3)-4, и сумму всех натуральных чисел (она составляет 7260): ∑N=∑p+∑s+1=2S(4S+1) (как известно, единица не относится ни к простым, ни к составным числам).

Хотя эти простые формулы и могут послужить поводом для размышлений, но к проблеме распределения простых чисел p они, конечно, все же не имеют отношения.

Выше величина ∑p была вычислена обыкновенным сложением значений p; выясним теперь, нельзя ли ее определить через какие-либо значения pi.

Оказывается, можно, причем с помощью целого ряда незамысловатых формул, например, таких: ∑p=2*7(p30+1)-3 (здесь сумма ∑p определена  через величину наибольшего простого числа во взятом интервале N) или ∑p=1/2p16(p16+7)+3.

В эти формулы входят только простые числа (и единица). При желании можно отыскать и другие подобные выражения.

Аналогично, не представляет труда  найти уравнения для вычисления сумм различных совокупностей p. Например, для суммы p с нечетными i:

  (она равна 768);

для суммы p с четными i:

  (она равна 825);

для суммы p с порядковыми номерами от 1 до 15:

  (она составляет 328);

для суммы p с порядковыми номерами от 16 до 30:

  (она составляет 1265).

Добавим к приведенным ниже и такие уравнения:

∑p=5  и  =2*2.

Простота определенная «гармоничность» всех этих выкладок, пожалуй, дают уже некоторые основания предполагать, что в распределении p на взятом интервале N, возможно, действительно существует некоторый порядок. Далее окажется, что этот вывод не лишен основания. Пока же  позволим себе сделать небольшое отступление, что пригодится в дальнейшем.

В математике уже более семи столетий известен числовой ряд Фибоначчи:1,1,2,3,5,8,13,21,34,… Каждый его член, начиная с 3-го, равен сумме двух предыдущих: такие ряды носят название рекуррентных. На интервале N=1÷120 содержится 10 чисел Фибоначчи (U):1,2,3,5,8,13,21,34,55,89; среди них 5 чисел являются простыми ():2,3,5,13,89. Их суммы соответственно составляют  и . Если принять во внимание эти данные, то обнаруживаются любопытные соотношения, которые можно и проигнорировать, а можно, напротив, отнестись к ним с известной настороженностью. Так, оказывается, что количество S простых чисел равно удвоенной сумме количеств u и uпр, или утроенному количеству u, или, наконец, ушестеренному количеству uпр. Далее, величина ∑p просто выражается через значения  и :

, .

Кроме того, разность   и , увеличенная на 1, равна 120, то есть «верхней границе» выбранного интервала натуральных чисел.

Одинарны ли эти совпадения, которые нередко встречаются при всяких арифметических «изысках»? Имеет ли смысл исследовать вопрос детальнее? Кто знает, возможно, обнаруженные «правильности» и заслуживают внимательного исследования… Мы бы хотели уловить в них своего рода дополнительный «намек» на наличие определенной упорядоченности в совокупности простых чисел, содержащихся в натуральном ряде от 1 до 120.

К выявлению подобной упорядоченности мы теперь и приступим.

Начнем с того, что разобьем совокупность чисел N  на 4 группы (Q) таким образом, чтобы количества содержащихся в них натуральных чисел относились как 1:4:9:16, то есть последовательные Q-группы состояли бы из 4,16,36 и 64 чисел N:

 Каждую группу Q, в свою очередь, разобьем на две группы (q), которые содержат равные количества чисел N (2 и 2, 8 и 8, 18 и 18, 32 и 32).

Составим теперь таблицу распределения простых чисел по Q- и q-группам. В ней обозначения SQ, Sq  и ∑p соответствуют количествам простых чисел p в Q-группах.

Распределение простых чисел по Q- и q-группам чисел натурального ряда (N=1÷120)

Анализ таблицы позволяет сделать ряд примечательных выводов.

1. В каждой Q-группе содержится четное количество p, причем последовательность 2, 6, 8, 14 оказывается рекуррентной: два последних ее члена являются суммами двух предыдущих. Если ее просуммировать, то получается последовательность 2, 8, 16, 30. Обратим внимание на то, что эти величины соответствуют номерам наибольших p в каждой Q-группе (Qi).
2. Каждая q-группа содержит нечетное количество p: 1, 3, 4, 7. Эта последовательность также рекуррентна и представляет так называемый обобщенный ряд Фибоначчи, называемый в математике рядом Люка.
3. В каждой из q-групп данной Q-группы (начиная с Q=2) содержится одинаковое число пар простых чисел-близнецов (так называются простые числа, разность между которыми равна 2):одна пара для q=3(5 и 7) и для q=4(17 и 19); по одной паре для q=5(29 и 31) и q=6(41 и 43); по две пары для q=7(59 и 61, 71 и 73) и q=8(101 и 103, 107 и 109).
4. Изменение величин  также является закономерным и может быть выражено в виде функции от суммы pQ+Qp, где pQ и Qp – соответственно наименьшее и наибольшее простое число в Q-группах: = SQ(pQ+Qp), если Q=1÷3, = SQ(pQ+Qp+1)+1, если Q=4.

Подмеченные закономерности дают, как представляется, возможность утверждать, что распределение p при выбранных условиях разбиения натуральных чисел на Q- и q-группы оказывается достаточно высокой степени упорядоченным. Это утверждение получает дополнительную поддержку, если принять во внимание соотношения между «граничными» значениями p в q-группах (и их порядковыми номерами); мы укажем лишь на некоторые из подобных соотношений.

Обозначим через pq и qp наименьшее и наибольшее значения p в q-группе. Оказывается, что если вычесть из величины qp четной q-группы его порядковый номер, то получится величина qp предшествующей нечетной q-подгруппы. Например, p30-p23=I ; в самом деле,113-30=83. Эта закономерность соблюдается для всех Q≥2.

Разности между наименьшей величиной pq четной q-группы и наибольшей величиной qp нечетной q-группы в пределах данной Q-группы равны разностям между наименьшей величиной pq в данной Q-группе и наибольшей величиной  qp в предшествующей Q-группе. Действительно,

p6-p5= p3-p2, p13-p12= p9-p8, p24-p23= p17-p16.

Используя величины сумм наименьших и наибольших p в q-группах ( pq и qp), можно вывести простые уравнения для вычисления p:

p=7(p-7)-3, p=5(qp-1)-7.

Теперь подведем некоторые итоги.

Распределение первых 30 простых чисел в Q- и q-группах чисел натурального ряда на интервале N=1÷120 не является хаотичным, а подчиняется определенным закономерностям, которые могут быть описаны количественно с помощью различных математических выражений. Это позволяет заключить, что удалось построить своеобразную модель распределения простых чисел, хотя и в ограниченном интервале N.

Разумеется, возникает вопрос: не может ли эта модель быть распространена на больший интервал N?

В соответствии с установленными ранее закономерностями построения числовой последовательности SQ значению Q=5 должна соответствовать величина SQ=22, то есть следующая Q-группа должна содержать 22 простых числа, а каждая из q-групп – по 11. Если выписать значения p, содержащиеся на интервале N=121÷220 (в Q-группе при Q=5 должно насчитываться 100 натуральных чисел), то получается следующая картина:

К сожалению, эта таблица не оправдывает ожиданий. На данном интервале N содержится не 22, а всего 17 простых чисел, и их количества в соответствующих q-группах различны: 9 и 8, но не по 11.

Быть может, в бесконечном ряде натуральных чисел и существуют интервалы N, на которых распределение простых чисел подчиняется закономерностям наподобие описанной выше? Разумеется, этот вопрос носит лишь риторический характер.

История знаний развивалась таким образом, что некоторые чисто математические модели неожиданно оказывались полезными в различных областях науки.

Построенную модель распределения простых чисел на интервале N=1÷120 мы также не хотели бы рассматривать только как некую «вещь в себе». Оказывается, ее можно соотнести с таким важным научным обобщением, каким является периодическая система химических элементов. Но, как говорится, это – «совсем другая история».

Заключение

Единственным, на сегодняшний день надёжным способом найти новые простые числа является алгоритм Эратосфена. Он подразумевает, что с числом, которое мы проверяем на «простоту» необходимо провести ряд проверок на делимость с простыми числами от двух(трёх) и вплоть до корня из проверяемого числа. Алгоритм Эратосфена легко реализуем, но его главная проблема в относительной неспешности. Когда проверяются достаточно большие числа, то требуется провести много проверок на деление. Которые и сами по себе не мгновенно выполняются, так и требуют много действий с оперативной памятью.

И потому можно сделать предположение (возможно и не верное), что единой закономерности, единой формулы, которая будет описывать всё множество простых чисел сразу, по всей видимости, не существует. А если это и возможно описать простые числа, то только через множество маленьких зависимостей, маленьких формул описывающих несколько простых чисел, причем все элементы этого множества завязаны друг на друга, одно зависит от предыдущего и является определяющим для «последователей».

Литература

1.