Методическая работа «Применение методов активного обучения и современных технологий на уроках математики в старших классах».
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

В декабре 2011 года, в рамках месячника математики, в 10-Б классе был проведен открытый урок по теме «Решение задач на построение сечений и вычисление их площадей».Цель урока: повторить методы построения сечений и использовать их при решении задач. Этот урок был заключительным по этой теме, ему предшествовала большая работа по построению сечений. Тема сложная, и очень хотелось, чтобы учащиеся ее освоили. К заключительному уроку все подготовили презентации задачи на построение сечения, которую и представили на уроке. Ниже представлены работы учащихся 10-Б класса.
Сечения многогранников
Марданов Тимур
Сечение
1.
2.
4.
3.
Методы построения сечений
При построении сечений используются :Аксиома о пересечении плоскостей.Теорема о линиях пересечения двух параллельных плоскостей третьей.Метод следов.Параллельное проектирование.Центральное проектирование.Внутреннее проектирование.
Методы построения сечений
Аксиома о пересечении плоскостей.
Теорема о линиях пересечения двух параллельных плоскостей третьей.
Если две точки принадлежат как плоскости сечения, так и одной из граней многогранника, то прямая проходящая через них – линия пересечения плоскостей сечения и грани многогранника.
Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей параллельны
P
Q
P,Q – точки сечения, значит прямая PQ тоже.
P
Q
Так как противоположные грани кубы параллельны, то через точку L можно провести прямую параллельно PQ
L
Методы построения сечений
Метод следов.
Проектирование
Продолжаем прямую сечения до пересечения с гранью для получения следа секущей плоскости, который принадлежит и сечению, и грани многогранника.
Проецируем точки сечения на основание с помощью параллельного или центрального проектирования. Прямая проходящая через пересечения прямых точек сечения и прямых проекций этих точек – след секущей плоскости.
B
A
D
R
C
P
Q
C
B
A
Проекции точек
Точки пересечения прямых
След секущей плоскости
Сечение многогранника
B
A
C
S
H
G
F
E
X
Дано:K,L,MK€(ABC)L€(ABC)M€(ASC)
Построение:1)KL2)KL пересекает ACВ точке X3)XMЕдинственность решения вытекает из аксиомы плоскости
K
L
M
Условие.Пример 2,6
Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью а ,проходящей через точки K и L параллельно ребру SB, где K ,L Э (ABC)
Дано:
1)SABC-пирамида.2)K,L принадлежат плоскости ABC
Решение
1)KL-след секущей плоскости грани ABCD.2)KL пересекает DC=P23)KL пересекает AB =P14)т.к SB параллельна а,то линия пересечения а и ASB параллельна SB.5)через P1 строим прямую || SB6)построенная прямая пересекает AS в точке P47)KL пересекает BD=X
8)BSD проходит через прямую || а => линия пересечения этих плоскостей ||SB9)строим прямую через X || SB-линию пересечения плоскостей а и BSD10)эта прямая пересекает SD =P311)P2P4
Власов Павел 10б
Постройте сечения многогранников плоскостью, проходящей через точку Р параллельно плоскости DEB
ПОСТРОЕНИЕ
1)В плоскости (DSB) через точку Р проведём прямую параллельную DOB2)В плоскости (DSC) построим прямую Р1Р2 параллельную прямой DE 3) Соединим точки Р3Р2 4)методом следов выведем прямую Р1Р2 на плоскость DCB ,получим точку Х 5) Через точку Х проведём прямую параллельную DB.6)Сечение Р1Р2Р3Р4Р5
Пример 2.9
Курзенева Наталия
Дано:SABCDAC∩BD=OSO-высотаP€SOплоскость (BDE)Построить: сечение, параллельное (BDE)Построение:EOE1L║EOE1L∩AC=XX€FMFM║BDE1B1║EBE1D1║EDF€(ADS),D1€(ADS),т.о. FD1€(ADS)-по аксиоме прямой и плоскостиB1€(ABS),M€(ABS),т.о.BM€(ABS) -по аксиоме прямой и плоскостиСечение - FMB1E1D1.
A
B
C
E
D
O
S
D1
B1
E1
F
α
P
X
L
M
Дано:ABCDA1B1C1D1ABA1B1║DCC1D1плоскость (ACD1)P€BB1Построить: сечение, параллельное (ACD1)Построение:Т.к. ABA1B1║DCC1D1, LP║CD1ML║AD1PK║BCNK║LP║CD1N€(A1B1C1D1), M€(A1B1C1D1), т. о. NM€(A1B1C1D1) -по аксиоме прямой и плоскостиСечение – PKNML.
A
B
C
D
P
L
M
N
K
A1
B1
C1
D1
Выполнила:Фадеева Татьяна 10 «Б» класс
Дано:SABC-пирамида, пл.KLM
Построить: сечение пирамиды SABC плоскостью (KLM)
Построение
1.Построить центральные проекции точек K,L и M. Это будут точки
2. 3.
3. 4. 5.6.7. -сечение, четырехугольник
Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки P и Q параллельно прямой l
1)через точку Р проводим прямую параллельную l и пересекает прямую AB в точке Р2
2)Прямую P2Q пересекаем с продолжением прямой DC,в точке х.
3)Через точку Q в плоскости BD1C проводим прямую параллельную прямой l и пересекает D1C в точке Y.
4)Соединяем X Y , эта прямая пересекает CC1 в точке P3, и прямую D1D в точке P4.
5)P4 соединяем с P, эта прямая пересекает A1A в точке P5.
6)Соединим P5 u P2.
8)P1P2P3P4P5-cечение.
Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб; AB = 1;A1P = PD1; AQ = 2QB1;B1C ⋂ BC1 = R;
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
R
Найти: Периметр сечения;Отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ AC1 куба.
Построить: Сечение куба PQR;
Построение:1) QQ1 || AA1;2) RR1 || AA1;3) QR ⋂ Q1R1 = X;
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
R
Q1
Построение:1) QQ1 || AA1;2) RR1 || AA1;3) QR ⋂ Q1R1 = X;
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
R
Q1
R1
Построение:1) QQ1 || AA1;2) RR1 || AA1;3) QR ⋂ Q1R1 = X;4) ∆AA1B1 ~ ∆QQ1B1 => QQ1 = 5) RR1 = 6) ∆XQQ1 ~ ∆XRR1 => = = => = 27) = 2, а ∆A1XQ1 ~ ∆B1R1Q1 => (A1X) || (R1B1) => точка X лежит на прямой A1D => сечение будет выглядеть так:
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
R
Q1
R1
X
A1
D1
C1
B1
R1
Q1
P
X
Построение:1) X ∈ (AA1D1);2) XP || RN; N ∈ BB1; M ∈ CC1;3) В пл. (AA1B1) NQ;4) В пл. (СС1D1) MD1;5) Сечение A1D1MN
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
R
Q1
R1
X
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
Q1
R1
X
R
N
M
Построение:1) X ∈ (AA1D1);2) XP || RN; N ∈ BB1; M ∈ CC1;3) В пл. (AA1B1) NQ;4) В пл. (СС1D1) MD1;5) Сечение A1D1MN
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
Q1
R1
X
R
N
M
Построение:1) X ∈ (AA1D1);2) XP || RN; N ∈ BB1; M ∈ CC1;3) В пл. (AA1B1) NQ;4) В пл. (СС1D1) MD1;5) Сечение A1D1MN
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
Q1
R1
X
R
N
M
Построение:1) X ∈ (AA1D1);2) XP || RN; N ∈ BB1; M ∈ CC1;3) В пл. (AA1B1) NQ;4) В пл. (СС1D1) MD1;5) Сечение A1D1MN
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
Q1
R1
X
R
N
M
Построение:1) X ∈ (AA1D1);2) XP || RN; N ∈ BB1; M ∈ CC1;3) В пл. (AA1B1) NQ;4) В пл. (СС1D1) MD1;5) Сечение A1D1MN Вид сечения – прямоугольник;
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
Q1
R1
X
R
N
M
Построение:1) ∆A1B1N – прямоугольный => A1N =2) P сечения = A1N + NM + MD1 + A1D1 =2(A1N + NM) = 2( ) = 2+
Построение:1) AC1 ⋂ (PQR) = K;2) ∆AD1K ~ ∆C1RK => = = 2.
A
B
C
D
A1
B1
P
Q
Q1
R1
R
N
K
X
M
D1
C1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
P
Q
Q1
R1
X
R
N
M
Построение:1) (AD1C1B) ⋂ (PQR) = K;2) ∆AD1K ~ ∆C1RK => = = 2.
K
D1
C1
A
B
K
R

Решение задачи по стереометрии на построение и нахождение площади сечения
Садков А. 10 “Б”


S
C
B
A
M
N
O
D
Дано: ABCDS – правильная четырехугольная пирамида; Плоскость Я || AS, M,N принадлежат Я;AB = a, SB = b; AM=MB; AN=ND.Найти: S сечения


S
C
B
A
M
N
O
D
Дано: ABCDS – правильная четырехугольная пирамида;Плоскость Я || AS, M,N принадлежат Я;AB = a, SB = b; AM=MB; AN=ND.Найти: S сеченияРешениеI. Построение 1) Соединим точки M и N, принадлежащие плоскости Я и лежащие в плоскости основания (ABC).


S
C
B
A
M
N
O
D
F
Дано: ABCDS – правильная четырехугольная пирамида;Плоскость Я || AS, M,N принадлежат Я;AB = a, SB = b; AM=MB; AN=ND.Найти: S сеченияРешениеI. Построение 1) Соединим точки M и N, принадлежащие плоскость Я и лежащие в плоскости основания (ABC).2) В плоскости (ASD) через точку N проведем прямую, параллельную ребру AS. Она пересечет сторону SD в точке F.


S
C
B
A
M
E
N
O
D
F
Дано: ABCDS – правильная четырехугольная пирамида;Плоскость Я || AS, M,N принадлежат Я;AB = a, SB = b; AM=MB; AN=ND.Найти: S сеченияРешениеI. Построение 1) Соединим точки M и N, принадлежащие плоскость Я и лежащие в плоскости основания (ABC).2) В плоскости (ASD) через точку N проведем прямую, параллельную ребру AS. Она пересечет сторону SD в точке F.3) В плоскости (ABS) проведем прямую через точку M параллельно ребру AS. Она пересечет сторону SB в точке E.


S
C
B
A
M
H
E
N
O
D
F
K
Дано: ABCDS – правильная четырехугольная пирамида;Плоскость Я || AS, M,N принадлежат Я;AB = a, SB = b; AM=MB; AN=ND.Найти: S сеченияРешениеI. Построение 1) Соединим точки M и N, принадлежащие плоскость Я и лежащие в плоскости основания (ABC).2) В плоскости (ASD) через точку N проведем прямую, параллельную ребру AS. Она пересечет сторону SD в точке F.3) В плоскости (ABS) проведем прямую через точку M параллельно ребру AS. Она пересечет сторону SB в точке E.4) В плоскости (ASC) через точку пересечения K отрезков MN и AC проведем прямую, параллельную ребру AS. Она пересечет сторону SC в точке H.


S
C
B
A
M
H
E
N
O
D
F
K
Дано: ABCDS – правильная четырехугольная пирамида;Плоскость Я || AS, M,N принадлежат Я;AB = a, SB = b; AM=MB; AN=ND.Найти: S сеченияРешениеI. Построение 1) Соединим точки M и N, принадлежащие плоскость Я и лежащие в плоскости основания (ABC).2) В плоскости (ASD) через точку N проведем прямую, параллельную ребру AS. Она пересечет сторону SD в точке F.3) В плоскости (ABS) проведем прямую через точку M параллельно ребру AS. Она пересечет сторону SB в точке E.4) В плоскости (ASC) через точку пересечения K отрезков MN и AC проведем прямую, параллельную ребру AS. Она пересечет сторону SC в точке H.5) В плоскости (DSC) соединим F и H, а в плоскости (SBC) соединим E и H.


S
C
B
A
M
H
E
N
O
D
F
K
Дано: ABCDS – правильная четырехугольная пирамида;Плоскость Я || AS, M,N принадлежат Я;AB = a, SB = b; AM=MB; AN=ND.Найти: S сеченияРешениеI. Построение 1) Соединим точки M и N, принадлежащие плоскость Я и лежащие в плоскости основания (ABC).2) В плоскости (ASD) через точку N проведем прямую, параллельную ребру AS. Она пересечет сторону SD в точке F.3) В плоскости (ABS) проведем прямую через точку M параллельно ребру AS. Она пересечет сторону SB в точке E.4) В плоскости (ASC) через точку пересечения K отрезков MN и AC проведем прямую, параллельную ребру AS. Она пересечет сторону SC в точке H.5) В плоскости (DSC) соединим F и H, а в плоскости (SBC) соединим E и H. 6) MNFHE – сечение.


S
C
B
A
M
H
E
N
O
D
F
K
II. Вычисление
L


S
C
B
A
M
H
E
N
O
D
F
K
II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= =
L


S
C
B
A
M
H
E
N
O
D
F
K
II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .
L


S
C
B
A
M
H
E
N
O
D
F
K
II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм.
L


S
C
B
A
M
H
E
N
O
D
F
K
II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.
L


S
C
B
A
M
H
E
N
O
D
F
K
II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.5. Треугольник SFH = SEH (по стороне и двум прилежащим углам) FH=EH; треугольник FHE – равнобедренный.

L


S
C
B
A
M
H
E
N
O
D
F
K
II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.5. Треугольник SFH = SEH (по стороне и двум прилежащим углам) FH=EH; треугольник FHE – равнобедренный.6. H: - медиана (FL=EL) HL – высота; ; MNFE – прямоугольник.

L


S
C
B
A
M
H
E
N
O
D
F
K
II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.5. Треугольник SFH = SEH (по стороне и двум прилежащим углам) FH=EH; треугольник FHE – равнобедренный.6. H: - медиана (FL=EL) HL – высота; ; MNFE – прямоугольник.7. Треугольник ASC подобен KHC (по 2 углам); AKM подобен AOB (k=2); AK=AO=AC/4 KH= = .

L


S
C
B
A
M
H
E
N
O
D
F
K
II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.5. Треугольник SFH = SEH (по стороне и двум прилежащим углам) FH=EH; треугольник FHE – равнобедренный.6. H: - медиана (FL=EL) HL – высота; ; MNFE – прямоугольник.7. Треугольник ASC подобен KHC (по 2 углам); AKM подобен AOB (k=2); AK=AO=AC/4 KH= = .
8. KL=NF=b/2 HL=KH-KL=b/4

L


S
C
B
A
M
H
E
N
O
D
F
K
II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.5. Треугольник SFH = SEH (по стороне и двум прилежащим углам) FH=EH; треугольник FHE – равнобедренный.6. H: - медиана (FL=EL) HL – высота; ; MNFE – прямоугольник.7. Треугольник ASC подобен KHC (по 2 углам); AKM подобен AOB (k=2); AK=AO=AC/4 KH= = .
8. KL=NF=b/2 HL=KH-KL=b/4 9. S HEF=FE*HL/2=

L


S
C
B
A
M
H
E
N
O
D
F
K
II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.5. Треугольник SFH = SEH (по стороне и двум прилежащим углам) FH=EH; треугольник FHE – равнобедренный.6. H: - медиана (FL=EL) HL – высота; ; MNFE – прямоугольник.7. Треугольник ASC подобен KHC (по 2 углам); AKM подобен AOB (k=2); AK=AO=AC/4 KH= = .
8. KL=NF=b/2 HL=KH-KL=b/4 9. S HEF=FE*HL/2= 10. S MNFE=

L


S
C
B
A
M
H
E
N
O
D
F
K
II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.5. Треугольник SFH = SEH (по стороне и двум прилежащим углам) FH=EH; треугольник FHE – равнобедренный.6. H: - медиана (FL=EL) HL – высота; ; MNFE – прямоугольник.7. Треугольник ASC подобен KHC (по 2 углам); AKM подобен AOB (k=2); AK=AO=AC/4 KH= = .
8. KL=NF=b/2 HL=KH-KL=b/4 9. S HEF=FE*HL/2= 10. S MNFE= 11. S=

L


S
C
B
A
M
H
E
N
O
D
F
K
II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.5. Треугольник SFH = SEH (по стороне и двум прилежащим углам) FH=EH; треугольник FHE – равнобедренный.6. H: - медиана (FL=EL) HL – высота; ; MNFE – прямоугольник.7. Треугольник ASC подобен KHC (по 2 углам); AKM подобен AOB (k=2); AK=AO=AC/4 KH= = .
8. KL=NF=b/2 HL=KH-KL=b/4 9. S HEF=FE*HL/2= 10. S MNFE= 11. S=
Ответ:
L
Пусть на диагоналях AB1 и BC1 граней куба ABCDA1B1C1D1 расположены точки M и N соответственно так, что отрезок MN параллелен грани ABCD. Найти отношения, в которых точки M и N делят отрезки AB1 и BC1, если MN =
A
B
C
D
B1
C1
A1
D1
M
N
Проведем через отрезок MN плоскость, || основаниям куба. Сечение куба этой плоскостью является квадратом, который равен грани куба. Пусть ребро куба будет равно а, а
A
B
C
D
A1
C1
B1
D1
М
N
P4
P2
P1
P3
a
AM = xAB1 AB1 = MB1 = AB1-MB1 = (1-x)AB1
Из подобия треугольников МВ1Р2 и АВ1В имеем

A
B
C
D
A1
C1
B1
D1
М
N
P4
P2
P1
P3
Так как МВ1 = (1-х)АВ1, то МР2=(1-х)а, В1Р2 = (1-х)а, ВР2 = ВВ1 – В1Р2 = ха.
Из подобия треугольников ВР2N и ВВ1С находим, что Поэтому P2N = xa, а По теореме Пифагора из треугольника MP2N имеем откуда х1 = 2/3 и х2 = 1/3. Тем самым задача имеет два решения.
A
B
C
D
A1
C1
B1
D1
М
N
P4
P2
P1
P3
A
B
C
D
A1
C1
B1
D1
М
N
P4
P2
P1
P3

Сечения.Пример 2.4
Антонова Анна 10 «б»
Построить сечение призмы ABCDEA1B1C1D1E1 плоскостью, проходящей через точки K, L и M, где K, L (ABC), M (A1B1C1)
плоскость(ABC):KL AB = QKL CD = Pплоскость(A1B1C1 ):MF QPMF A1B1 = HMF D1E1 = FHF C1D1 = Yплоскость(C1D1D):YP DD1 = Nплоскость (ABB1):HQплоскость(D1E1E):FN
K
L
M
Q
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
P
N
F
H
Y
K
L
M
Q
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E1
P
N
F
H
Сечение HFNPQ
Задача 2.7
Полонского С.
Построить сечение многогранника плоскость PQR
P принадлежит плоскости ABSR лежит на SOQ лежит в плоскости DEC
C
D
B
B
B
A
F
E
S
.
Q
P
.
.
R
O
В пл (ASD) QR пересекает AS в точке H
C
D
B
B
B
A
F
E
S
.
Q
P
.
.
R
H
O
Шаг 1
Шаг 2
C
D
B
B
B
A
F
E
S
.
Q
P
.
.
R
H
G
O
В пл (ABS) HP пересекает AB в точке G
Шаг 3
C
D
B
B
B
A
F
E
S
.
Q
P
.
R
H
G
L
O
В пл (ABC) GQ пересекает ED в точке L
Шаг 4
C
D
B
B
B
A
F
E
S
.
Q
P
.
.
R
H
G
L
O
GL пересекает DE в точке XВ пл (SEB) XR пересекает SE в точке K
X
K
Шаг 5
C
D
B
B
B
A
F
E
S
.
Q
P
.
.
R
H
G
L
K
N
Y
O
GL пересекает OC в точке YВ пл (SFC) YR пересекает SF в точке N
X
Шаг 6
C
D
B
B
B
A
F
E
S
.
Q
P
R
H
G
L
K
N
Y
O
Проводим в пл (ASF) NH, в пл (FSE) NK и в пл (DSE) KL
X
Готовое сечение
C
D
B
B
B
A
F
E
S
.
Q
P
.
.
R
H
G
L
K
N
O
Пример 2.7
А
В
K
S
C
Дано: пирамида SABC, Точка K, лежащая внутри SABC.Построить сечение пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точку Kлежащую внутри SABCпараллельно скрещивающимся рёбрам AB и BC
А
В
K
S1
S
C
А
В
K
S1
C1
S
C
А
В
K
S1
C1
S
C
А
В
K
S1
C1
C
S
Y
X
В плоскости (SCC1)
А
В
K
S1
C1
Y
X
P1
P2
S
C
А
В
K
S1
C1
Y
X
P1
P2
S
C
P3
В плоскости (SAC)
А
В
K
S1
C1
Y
X
P1
P2
S
C
P3
P4
В плоскости (ABS)
А
В
K
S1
C1
Y
X
P1
P2
S
C
P3
P4
В плоскости (SBC)
P1P2P3P4
- сечение
Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью α, проходящей через точку K € (АА1С) параллельно плоскости АВ1С.
Решение: Допустим, что сечение данной плоскостью α построено. Так как плоскости α и АВ1С параллельны, то линии их пересечения плоскостью АА1С также параллельны. Поэтому следом секущей плоскости на плоскости грани АА1С является прямая, параллельная прямой АС и проходящая через точку К. Постоим эту прямую. Пусть она пересечёт отрезки АА1 и СС1 в точках Р1 и Р2.
Рассуждая аналогично, получаем, что линия пересечения плоскостей α и АА1В проходит через точку Р1 параллельно прямой АВ1, а линия пересечения плоскостей α и ВВ1С – через точку Р2 параллельно прямой СВ1. Дальнейшее очевидно. Решение задачи единственно согласно теореме о признаке параллельности прямых.
Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью KLM, KЄ(AA1B), MЄ(AA1C),LЄ(BB1C),
A1
C1
B1
A
B
C
M
L
K
M1
L1
K1
Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью KLM, KЄ(AA1B), MЄ(AA1C),LЄ(BB1C)
KK1 AA1; LL1 AA1; MM1 AA1;
A1
C1
B1
A
B
C
M
L
K
M1
L1
K1
Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью KLM, KЄ(AA1B), MЄ(AA1C),LЄ(BB1C)
KLпересекает L1K1 в точке хMK пересекает M1K1 в точке у
A1
C1
B1
A
B
C
M
L
K
M1
L1
K1
x
Y
Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью KLM, KЄ(AA1B), MЄ(AA1C),LЄ(BB1C)
Пл.(АВС).ХУ пересекает АС в точке Р1Пл.(АА1С)Р1М пересекает СС1 в точке Р2Пл.(ВВ1С). Р2L пересекает ВВ1 в точке Р3Пл.(АВВ1) Р3К пересекает АВ в точке Р4Пл.(АВС). Р2Р4.
A1
C1
B1
A
B
C
M
L
K
M1
L1
K1
X
Y
P1
P2
P3
P4
Пример 2.12
Марданов Тимур
P
Q
B
C
R
D
A
Пример 2.12
Построение
P
Q
B
C
R
D
A
Построение
P
Q
B
C
R
D
A
Построение
P
Q
B
C
R
D
A
Построение
P
Q
B
C
R
D
A
Построение
P
Q
B
C
R
D
A
Построение
P
Q
B
C
R
D
A
Построение
P
Q
B
C
R
D
A
Построение
P
Q
B
C
R
D
A
Построение
P
Q
B
C
R
D
A
По теореме о линиях пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью стороны сечения, лежащие на параллельных граня куба, параллельны.
Определение сечения
P
Q
B
C
R
D
A
Определение сечения
P
Q
B
C
R
D
A
Определение сечения
Q
B
C
R
D
A
P
Определение сечения
P
Q
B
C
R
D
A
Нахождение площади
P
Q
B
C
R
D
A
Построение сечения. Пример 2.14
Титова Романа
В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник. Точки P,Q и R взяты на медианах SP1, SQ1 и SR1 граней SAB, SBC и SCA соответственно так, что SP : PP1=2, SQ : QQ1=2/3, а R – середина отрезка SR1. Нужно построить сечение плоскостью PQR и определить, в каком отношении эта плоскость делит ребро SB.
УСЛОВИЕ
Сначала построим след секущей плоскости на плоскости основания пирамиды, соединив точки X и Y пересечения прямых PR, P1R1 и PQ, P1Q1.
ШАГ 1
Уточним теперь положение точек X и Y, найдя отношения XP1 : XR1 и YP1 : YQ1. Для их вычисления воспользуемся теоремой Менелая. Согласно этой теореме, применённой к треугольнику SP1R1, (SR/RR1)*(R1X/XP1)*(P1P/PS)=1, следовательно, 1*(R1X/XP1)*0,5=1, откуда XP1/XR1=0,5. Аналогично из треугольника SP1Q1 находим, что YP1/YQ1=1/3.
ШАГ 2
Так как YP1/YQ1=1/3, то YP1/P1Q1=0,5 илиYP1/AR1=0,5 (так как P1Q1=AR1), а раз XP1/XR1 =0,5 и ےYP1X=ےAR1X, то треугольник YP1X подобен треугольнику AR1X, следовательно , точки X, Y и А лежат на одной прямой. Теперь уже легко достроить сечение.(рис. внизу)
ШАГ 3
Точка P, делящая медиану SP1 в отношении 2/1, считая от вершины S, является точкой пересечения медиан треугольника ASB. Поэтому АМ – медиана этого треугольника и SM/MB=1.
Ответ на вопрос