Главные вкладки

    Методическая работа «Применение методов активного обучения и современных технологий на уроках математики в старших классах».
    методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

    Всем известно, что изучение такого раздела математики, как стереометрия, вызывает у многих учащихся существенные затруднения, усвоение материала чаще всего строится на зазубривании. Использование компьютера значительно облегчает процесс изучения стереометрии через реализацию одного из принципов обучения – наглядности.

    Скачать:


    Подписи к слайдам:

    В декабре 2011 года, в рамках месячника математики, в 10-Б классе был проведен открытый урок по теме «Решение задач на построение сечений и вычисление их площадей».Цель урока: повторить методы построения сечений и использовать их при решении задач. Этот урок был заключительным по этой теме, ему предшествовала большая работа по построению сечений. Тема сложная, и очень хотелось, чтобы учащиеся ее освоили. К заключительному уроку все подготовили презентации задачи на построение сечения, которую и представили на уроке. Ниже представлены работы учащихся 10-Б класса.
    Сечения многогранников
    Марданов Тимур
    Сечение
    1.
    2.
    4.
    3.
    Методы построения сечений
    При построении сечений используются :Аксиома о пересечении плоскостей.Теорема о линиях пересечения двух параллельных плоскостей третьей.Метод следов.Параллельное проектирование.Центральное проектирование.Внутреннее проектирование.
    Методы построения сечений
    Аксиома о пересечении плоскостей.
    Теорема о линиях пересечения двух параллельных плоскостей третьей.
    Если две точки принадлежат как плоскости сечения, так и одной из граней многогранника, то прямая проходящая через них – линия пересечения плоскостей сечения и грани многогранника.
    Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей параллельны
    P
    Q
    P,Q – точки сечения, значит прямая PQ тоже.
    P
    Q
    Так как противоположные грани кубы параллельны, то через точку L можно провести прямую параллельно PQ
    L
    Методы построения сечений
    Метод следов.
    Проектирование
    Продолжаем прямую сечения до пересечения с гранью для получения следа секущей плоскости, который принадлежит и сечению, и грани многогранника.
    Проецируем точки сечения на основание с помощью параллельного или центрального проектирования. Прямая проходящая через пересечения прямых точек сечения и прямых проекций этих точек – след секущей плоскости.
    B
    A
    D
    R
    C
    P
    Q
    C
    B
    A
    Проекции точек
    Точки пересечения прямых
    След секущей плоскости
    Сечение многогранника
    B
    A
    C
    S
    H
    G
    F
    E
    X
    Дано:K,L,MK€(ABC)L€(ABC)M€(ASC)
    Построение:1)KL2)KL пересекает ACВ точке X3)XMЕдинственность решения вытекает из аксиомы плоскости
    K
    L
    M
    Условие.Пример 2,6
    Построить сечение пирамиды SABCD плоскостью а ,проходящей через точки K и L параллельно ребру SB, где K ,L Э (ABC)
    Дано:
    1)SABC-пирамида.2)K,L принадлежат плоскости ABC
    Решение
    1)KL-след секущей плоскости грани ABCD.2)KL пересекает DC=P23)KL пересекает AB =P14)т.к SB параллельна а,то линия пересечения а и ASB параллельна SB.5)через P1 строим прямую || SB6)построенная прямая пересекает AS в точке P47)KL пересекает BD=X
    8)BSD проходит через прямую || а => линия пересечения этих плоскостей ||SB9)строим прямую через X || SB-линию пересечения плоскостей а и BSD10)эта прямая пересекает SD =P311)P2P4
    Власов Павел 10б
    Постройте сечения многогранников плоскостью, проходящей через точку Р параллельно плоскости DEB
    ПОСТРОЕНИЕ
    1)В плоскости (DSB) через точку Р проведём прямую параллельную DOB2)В плоскости (DSC) построим прямую Р1Р2 параллельную прямой DE 3) Соединим точки Р3Р2 4)методом следов выведем прямую Р1Р2 на плоскость DCB ,получим точку Х 5) Через точку Х проведём прямую параллельную DB.6)Сечение Р1Р2Р3Р4Р5
    Пример 2.9
    Курзенева Наталия
    Дано:SABCDAC∩BD=OSO-высотаP€SOплоскость (BDE)Построить: сечение, параллельное (BDE)Построение:EOE1L║EOE1L∩AC=XX€FMFM║BDE1B1║EBE1D1║EDF€(ADS),D1€(ADS),т.о. FD1€(ADS)-по аксиоме прямой и плоскостиB1€(ABS),M€(ABS),т.о.BM€(ABS) -по аксиоме прямой и плоскостиСечение - FMB1E1D1.
    A
    B
    C
    E
    D
    O
    S
    D1
    B1
    E1
    F
    α
    P
    X
    L
    M
    Дано:ABCDA1B1C1D1ABA1B1║DCC1D1плоскость (ACD1)P€BB1Построить: сечение, параллельное (ACD1)Построение:Т.к. ABA1B1║DCC1D1, LP║CD1ML║AD1PK║BCNK║LP║CD1N€(A1B1C1D1), M€(A1B1C1D1), т. о. NM€(A1B1C1D1) -по аксиоме прямой и плоскостиСечение – PKNML.
    A
    B
    C
    D
    P
    L
    M
    N
    K
    A1
    B1
    C1
    D1
    Выполнила:Фадеева Татьяна 10 «Б» класс
    Дано:SABC-пирамида, пл.KLM
    Построить: сечение пирамиды SABC плоскостью (KLM)
    Построение
    1.Построить центральные проекции точек K,L и M. Это будут точки
    2. 3.
    3. 4. 5.6.7. -сечение, четырехугольник
    Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки P и Q параллельно прямой l
    1)через точку Р проводим прямую параллельную l и пересекает прямую AB в точке Р2
    2)Прямую P2Q пересекаем с продолжением прямой DC,в точке х.
    3)Через точку Q в плоскости BD1C проводим прямую параллельную прямой l и пересекает D1C в точке Y.
    4)Соединяем X Y , эта прямая пересекает CC1 в точке P3, и прямую D1D в точке P4.
    5)P4 соединяем с P, эта прямая пересекает A1A в точке P5.
    6)Соединим P5 u P2.
    8)P1P2P3P4P5-cечение.
    Дано: ABCDA1B1C1D1 - куб; AB = 1;A1P = PD1; AQ = 2QB1;B1C ⋂ BC1 = R;
    A
    B
    C
    D
    A1
    B1
    C1
    D1
    P
    Q
    R
    Найти: Периметр сечения;Отношение, в котором плоскость сечения делит диагональ AC1 куба.
    Построить: Сечение куба PQR;
    Построение:1) QQ1 || AA1;2) RR1 || AA1;3) QR ⋂ Q1R1 = X;
    A
    B
    C
    D
    A1
    B1
    C1
    D1
    P
    Q
    R
    Q1
    Построение:1) QQ1 || AA1;2) RR1 || AA1;3) QR ⋂ Q1R1 = X;
    A
    B
    C
    D
    A1
    B1
    C1
    D1
    P
    Q
    R
    Q1
    R1
    Построение:1) QQ1 || AA1;2) RR1 || AA1;3) QR ⋂ Q1R1 = X;4) ∆AA1B1 ~ ∆QQ1B1 => QQ1 = 5) RR1 = 6) ∆XQQ1 ~ ∆XRR1 => = = => = 27) = 2, а ∆A1XQ1 ~ ∆B1R1Q1 => (A1X) || (R1B1) => точка X лежит на прямой A1D => сечение будет выглядеть так:
    A
    B
    C
    D
    A1
    B1
    C1
    D1
    P
    Q
    R
    Q1
    R1
    X
    A1
    D1
    C1
    B1
    R1
    Q1
    P
    X
    Построение:1) X ∈ (AA1D1);2) XP || RN; N ∈ BB1; M ∈ CC1;3) В пл. (AA1B1) NQ;4) В пл. (СС1D1) MD1;5) Сечение A1D1MN
    A
    B
    C
    D
    A1
    B1
    C1
    D1
    P
    Q
    R
    Q1
    R1
    X
    A
    B
    C
    D
    A1
    B1
    C1
    D1
    P
    Q
    Q1
    R1
    X
    R
    N
    M
    Построение:1) X ∈ (AA1D1);2) XP || RN; N ∈ BB1; M ∈ CC1;3) В пл. (AA1B1) NQ;4) В пл. (СС1D1) MD1;5) Сечение A1D1MN
    A
    B
    C
    D
    A1
    B1
    C1
    D1
    P
    Q
    Q1
    R1
    X
    R
    N
    M
    Построение:1) X ∈ (AA1D1);2) XP || RN; N ∈ BB1; M ∈ CC1;3) В пл. (AA1B1) NQ;4) В пл. (СС1D1) MD1;5) Сечение A1D1MN
    A
    B
    C
    D
    A1
    B1
    C1
    D1
    P
    Q
    Q1
    R1
    X
    R
    N
    M
    Построение:1) X ∈ (AA1D1);2) XP || RN; N ∈ BB1; M ∈ CC1;3) В пл. (AA1B1) NQ;4) В пл. (СС1D1) MD1;5) Сечение A1D1MN
    A
    B
    C
    D
    A1
    B1
    C1
    D1
    P
    Q
    Q1
    R1
    X
    R
    N
    M
    Построение:1) X ∈ (AA1D1);2) XP || RN; N ∈ BB1; M ∈ CC1;3) В пл. (AA1B1) NQ;4) В пл. (СС1D1) MD1;5) Сечение A1D1MN Вид сечения – прямоугольник;
    A
    B
    C
    D
    A1
    B1
    C1
    D1
    P
    Q
    Q1
    R1
    X
    R
    N
    M
    Построение:1) ∆A1B1N – прямоугольный => A1N =2) P сечения = A1N + NM + MD1 + A1D1 =2(A1N + NM) = 2( ) = 2+
    Построение:1) AC1 ⋂ (PQR) = K;2) ∆AD1K ~ ∆C1RK => = = 2.
    A
    B
    C
    D
    A1
    B1
    P
    Q
    Q1
    R1
    R
    N
    K
    X
    M
    D1
    C1
    A
    B
    C
    D
    A1
    B1
    C1
    D1
    P
    Q
    Q1
    R1
    X
    R
    N
    M
    Построение:1) (AD1C1B) ⋂ (PQR) = K;2) ∆AD1K ~ ∆C1RK => = = 2.
    K
    D1
    C1
    A
    B
    K
    R

    Решение задачи по стереометрии на построение и нахождение площади сечения
    Садков А. 10 “Б”


    S
    C
    B
    A
    M
    N
    O
    D
    Дано: ABCDS – правильная четырехугольная пирамида; Плоскость Я || AS, M,N принадлежат Я;AB = a, SB = b; AM=MB; AN=ND.Найти: S сечения


    S
    C
    B
    A
    M
    N
    O
    D
    Дано: ABCDS – правильная четырехугольная пирамида;Плоскость Я || AS, M,N принадлежат Я;AB = a, SB = b; AM=MB; AN=ND.Найти: S сеченияРешениеI. Построение 1) Соединим точки M и N, принадлежащие плоскости Я и лежащие в плоскости основания (ABC).


    S
    C
    B
    A
    M
    N
    O
    D
    F
    Дано: ABCDS – правильная четырехугольная пирамида;Плоскость Я || AS, M,N принадлежат Я;AB = a, SB = b; AM=MB; AN=ND.Найти: S сеченияРешениеI. Построение 1) Соединим точки M и N, принадлежащие плоскость Я и лежащие в плоскости основания (ABC).2) В плоскости (ASD) через точку N проведем прямую, параллельную ребру AS. Она пересечет сторону SD в точке F.


    S
    C
    B
    A
    M
    E
    N
    O
    D
    F
    Дано: ABCDS – правильная четырехугольная пирамида;Плоскость Я || AS, M,N принадлежат Я;AB = a, SB = b; AM=MB; AN=ND.Найти: S сеченияРешениеI. Построение 1) Соединим точки M и N, принадлежащие плоскость Я и лежащие в плоскости основания (ABC).2) В плоскости (ASD) через точку N проведем прямую, параллельную ребру AS. Она пересечет сторону SD в точке F.3) В плоскости (ABS) проведем прямую через точку M параллельно ребру AS. Она пересечет сторону SB в точке E.


    S
    C
    B
    A
    M
    H
    E
    N
    O
    D
    F
    K
    Дано: ABCDS – правильная четырехугольная пирамида;Плоскость Я || AS, M,N принадлежат Я;AB = a, SB = b; AM=MB; AN=ND.Найти: S сеченияРешениеI. Построение 1) Соединим точки M и N, принадлежащие плоскость Я и лежащие в плоскости основания (ABC).2) В плоскости (ASD) через точку N проведем прямую, параллельную ребру AS. Она пересечет сторону SD в точке F.3) В плоскости (ABS) проведем прямую через точку M параллельно ребру AS. Она пересечет сторону SB в точке E.4) В плоскости (ASC) через точку пересечения K отрезков MN и AC проведем прямую, параллельную ребру AS. Она пересечет сторону SC в точке H.


    S
    C
    B
    A
    M
    H
    E
    N
    O
    D
    F
    K
    Дано: ABCDS – правильная четырехугольная пирамида;Плоскость Я || AS, M,N принадлежат Я;AB = a, SB = b; AM=MB; AN=ND.Найти: S сеченияРешениеI. Построение 1) Соединим точки M и N, принадлежащие плоскость Я и лежащие в плоскости основания (ABC).2) В плоскости (ASD) через точку N проведем прямую, параллельную ребру AS. Она пересечет сторону SD в точке F.3) В плоскости (ABS) проведем прямую через точку M параллельно ребру AS. Она пересечет сторону SB в точке E.4) В плоскости (ASC) через точку пересечения K отрезков MN и AC проведем прямую, параллельную ребру AS. Она пересечет сторону SC в точке H.5) В плоскости (DSC) соединим F и H, а в плоскости (SBC) соединим E и H.


    S
    C
    B
    A
    M
    H
    E
    N
    O
    D
    F
    K
    Дано: ABCDS – правильная четырехугольная пирамида;Плоскость Я || AS, M,N принадлежат Я;AB = a, SB = b; AM=MB; AN=ND.Найти: S сеченияРешениеI. Построение 1) Соединим точки M и N, принадлежащие плоскость Я и лежащие в плоскости основания (ABC).2) В плоскости (ASD) через точку N проведем прямую, параллельную ребру AS. Она пересечет сторону SD в точке F.3) В плоскости (ABS) проведем прямую через точку M параллельно ребру AS. Она пересечет сторону SB в точке E.4) В плоскости (ASC) через точку пересечения K отрезков MN и AC проведем прямую, параллельную ребру AS. Она пересечет сторону SC в точке H.5) В плоскости (DSC) соединим F и H, а в плоскости (SBC) соединим E и H. 6) MNFHE – сечение.


    S
    C
    B
    A
    M
    H
    E
    N
    O
    D
    F
    K
    II. Вычисление
    L


    S
    C
    B
    A
    M
    H
    E
    N
    O
    D
    F
    K
    II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= =
    L


    S
    C
    B
    A
    M
    H
    E
    N
    O
    D
    F
    K
    II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .
    L


    S
    C
    B
    A
    M
    H
    E
    N
    O
    D
    F
    K
    II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм.
    L


    S
    C
    B
    A
    M
    H
    E
    N
    O
    D
    F
    K
    II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.
    L


    S
    C
    B
    A
    M
    H
    E
    N
    O
    D
    F
    K
    II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.5. Треугольник SFH = SEH (по стороне и двум прилежащим углам) FH=EH; треугольник FHE – равнобедренный.

    L


    S
    C
    B
    A
    M
    H
    E
    N
    O
    D
    F
    K
    II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.5. Треугольник SFH = SEH (по стороне и двум прилежащим углам) FH=EH; треугольник FHE – равнобедренный.6. H: - медиана (FL=EL) HL – высота; ; MNFE – прямоугольник.

    L


    S
    C
    B
    A
    M
    H
    E
    N
    O
    D
    F
    K
    II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.5. Треугольник SFH = SEH (по стороне и двум прилежащим углам) FH=EH; треугольник FHE – равнобедренный.6. H: - медиана (FL=EL) HL – высота; ; MNFE – прямоугольник.7. Треугольник ASC подобен KHC (по 2 углам); AKM подобен AOB (k=2); AK=AO=AC/4 KH= = .

    L


    S
    C
    B
    A
    M
    H
    E
    N
    O
    D
    F
    K
    II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.5. Треугольник SFH = SEH (по стороне и двум прилежащим углам) FH=EH; треугольник FHE – равнобедренный.6. H: - медиана (FL=EL) HL – высота; ; MNFE – прямоугольник.7. Треугольник ASC подобен KHC (по 2 углам); AKM подобен AOB (k=2); AK=AO=AC/4 KH= = .
    8. KL=NF=b/2 HL=KH-KL=b/4

    L


    S
    C
    B
    A
    M
    H
    E
    N
    O
    D
    F
    K
    II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.5. Треугольник SFH = SEH (по стороне и двум прилежащим углам) FH=EH; треугольник FHE – равнобедренный.6. H: - медиана (FL=EL) HL – высота; ; MNFE – прямоугольник.7. Треугольник ASC подобен KHC (по 2 углам); AKM подобен AOB (k=2); AK=AO=AC/4 KH= = .
    8. KL=NF=b/2 HL=KH-KL=b/4 9. S HEF=FE*HL/2=

    L


    S
    C
    B
    A
    M
    H
    E
    N
    O
    D
    F
    K
    II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.5. Треугольник SFH = SEH (по стороне и двум прилежащим углам) FH=EH; треугольник FHE – равнобедренный.6. H: - медиана (FL=EL) HL – высота; ; MNFE – прямоугольник.7. Треугольник ASC подобен KHC (по 2 углам); AKM подобен AOB (k=2); AK=AO=AC/4 KH= = .
    8. KL=NF=b/2 HL=KH-KL=b/4 9. S HEF=FE*HL/2= 10. S MNFE=

    L


    S
    C
    B
    A
    M
    H
    E
    N
    O
    D
    F
    K
    II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.5. Треугольник SFH = SEH (по стороне и двум прилежащим углам) FH=EH; треугольник FHE – равнобедренный.6. H: - медиана (FL=EL) HL – высота; ; MNFE – прямоугольник.7. Треугольник ASC подобен KHC (по 2 углам); AKM подобен AOB (k=2); AK=AO=AC/4 KH= = .
    8. KL=NF=b/2 HL=KH-KL=b/4 9. S HEF=FE*HL/2= 10. S MNFE= 11. S=

    L


    S
    C
    B
    A
    M
    H
    E
    N
    O
    D
    F
    K
    II. ВычислениеAMN – прямоугольный тр-к ( ); MN= = 2. ASB подобен MEB (по 2 углам); k=2; AS=2ME; FND подобен SAD (по 2 углам); k=2; AS=2NF; NF=ME= = .3. EM || NF; EM=NF EMNF – параллелограмм. 4. Треугольник ANK = AMK NK=MK; по теореме Фалеса ME||KL||NF FL=EL.5. Треугольник SFH = SEH (по стороне и двум прилежащим углам) FH=EH; треугольник FHE – равнобедренный.6. H: - медиана (FL=EL) HL – высота; ; MNFE – прямоугольник.7. Треугольник ASC подобен KHC (по 2 углам); AKM подобен AOB (k=2); AK=AO=AC/4 KH= = .
    8. KL=NF=b/2 HL=KH-KL=b/4 9. S HEF=FE*HL/2= 10. S MNFE= 11. S=
    Ответ:
    L
    Пусть на диагоналях AB1 и BC1 граней куба ABCDA1B1C1D1 расположены точки M и N соответственно так, что отрезок MN параллелен грани ABCD. Найти отношения, в которых точки M и N делят отрезки AB1 и BC1, если MN =
    A
    B
    C
    D
    B1
    C1
    A1
    D1
    M
    N
    Проведем через отрезок MN плоскость, || основаниям куба. Сечение куба этой плоскостью является квадратом, который равен грани куба. Пусть ребро куба будет равно а, а
    A
    B
    C
    D
    A1
    C1
    B1
    D1
    М
    N
    P4
    P2
    P1
    P3
    a
    AM = xAB1 AB1 = MB1 = AB1-MB1 = (1-x)AB1
    Из подобия треугольников МВ1Р2 и АВ1В имеем

    A
    B
    C
    D
    A1
    C1
    B1
    D1
    М
    N
    P4
    P2
    P1
    P3
    Так как МВ1 = (1-х)АВ1, то МР2=(1-х)а, В1Р2 = (1-х)а, ВР2 = ВВ1 – В1Р2 = ха.
    Из подобия треугольников ВР2N и ВВ1С находим, что Поэтому P2N = xa, а По теореме Пифагора из треугольника MP2N имеем откуда х1 = 2/3 и х2 = 1/3. Тем самым задача имеет два решения.
    A
    B
    C
    D
    A1
    C1
    B1
    D1
    М
    N
    P4
    P2
    P1
    P3
    A
    B
    C
    D
    A1
    C1
    B1
    D1
    М
    N
    P4
    P2
    P1
    P3


    Подписи к слайдам:

    Сечения.Пример 2.4
    Антонова Анна 10 «б»
    Построить сечение призмы ABCDEA1B1C1D1E1 плоскостью, проходящей через точки K, L и M, где K, L (ABC), M (A1B1C1)
    плоскость(ABC):KL AB = QKL CD = Pплоскость(A1B1C1 ):MF QPMF A1B1 = HMF D1E1 = FHF C1D1 = Yплоскость(C1D1D):YP DD1 = Nплоскость (ABB1):HQплоскость(D1E1E):FN
    K
    L
    M
    Q
    A
    B
    C
    D
    E
    A1
    B1
    C1
    D1
    E1
    P
    N
    F
    H
    Y
    K
    L
    M
    Q
    A
    B
    C
    D
    E
    A1
    B1
    C1
    D1
    E1
    P
    N
    F
    H
    Сечение HFNPQ
    Задача 2.7
    Полонского С.
    Построить сечение многогранника плоскость PQR
    P принадлежит плоскости ABSR лежит на SOQ лежит в плоскости DEC
    C
    D
    B
    B
    B
    A
    F
    E
    S
    .
    Q
    P
    .
    .
    R
    O
    В пл (ASD) QR пересекает AS в точке H
    C
    D
    B
    B
    B
    A
    F
    E
    S
    .
    Q
    P
    .
    .
    R
    H
    O
    Шаг 1
    Шаг 2
    C
    D
    B
    B
    B
    A
    F
    E
    S
    .
    Q
    P
    .
    .
    R
    H
    G
    O
    В пл (ABS) HP пересекает AB в точке G
    Шаг 3
    C
    D
    B
    B
    B
    A
    F
    E
    S
    .
    Q
    P
    .
    R
    H
    G
    L
    O
    В пл (ABC) GQ пересекает ED в точке L
    Шаг 4
    C
    D
    B
    B
    B
    A
    F
    E
    S
    .
    Q
    P
    .
    .
    R
    H
    G
    L
    O
    GL пересекает DE в точке XВ пл (SEB) XR пересекает SE в точке K
    X
    K
    Шаг 5
    C
    D
    B
    B
    B
    A
    F
    E
    S
    .
    Q
    P
    .
    .
    R
    H
    G
    L
    K
    N
    Y
    O
    GL пересекает OC в точке YВ пл (SFC) YR пересекает SF в точке N
    X
    Шаг 6
    C
    D
    B
    B
    B
    A
    F
    E
    S
    .
    Q
    P
    R
    H
    G
    L
    K
    N
    Y
    O
    Проводим в пл (ASF) NH, в пл (FSE) NK и в пл (DSE) KL
    X
    Готовое сечение
    C
    D
    B
    B
    B
    A
    F
    E
    S
    .
    Q
    P
    .
    .
    R
    H
    G
    L
    K
    N
    O
    Пример 2.7
    А
    В
    K
    S
    C
    Дано: пирамида SABC, Точка K, лежащая внутри SABC.Построить сечение пирамиды SABC плоскостью, проходящей через точку Kлежащую внутри SABCпараллельно скрещивающимся рёбрам AB и BC
    А
    В
    K
    S1
    S
    C
    А
    В
    K
    S1
    C1
    S
    C
    А
    В
    K
    S1
    C1
    S
    C
    А
    В
    K
    S1
    C1
    C
    S
    Y
    X
    В плоскости (SCC1)
    А
    В
    K
    S1
    C1
    Y
    X
    P1
    P2
    S
    C
    А
    В
    K
    S1
    C1
    Y
    X
    P1
    P2
    S
    C
    P3
    В плоскости (SAC)
    А
    В
    K
    S1
    C1
    Y
    X
    P1
    P2
    S
    C
    P3
    P4
    В плоскости (ABS)
    А
    В
    K
    S1
    C1
    Y
    X
    P1
    P2
    S
    C
    P3
    P4
    В плоскости (SBC)
    P1P2P3P4
    - сечение
    Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью α, проходящей через точку K € (АА1С) параллельно плоскости АВ1С.
    Решение: Допустим, что сечение данной плоскостью α построено. Так как плоскости α и АВ1С параллельны, то линии их пересечения плоскостью АА1С также параллельны. Поэтому следом секущей плоскости на плоскости грани АА1С является прямая, параллельная прямой АС и проходящая через точку К. Постоим эту прямую. Пусть она пересечёт отрезки АА1 и СС1 в точках Р1 и Р2.
    Рассуждая аналогично, получаем, что линия пересечения плоскостей α и АА1В проходит через точку Р1 параллельно прямой АВ1, а линия пересечения плоскостей α и ВВ1С – через точку Р2 параллельно прямой СВ1. Дальнейшее очевидно. Решение задачи единственно согласно теореме о признаке параллельности прямых.
    Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью KLM, KЄ(AA1B), MЄ(AA1C),LЄ(BB1C),
    A1
    C1
    B1
    A
    B
    C
    M
    L
    K
    M1
    L1
    K1
    Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью KLM, KЄ(AA1B), MЄ(AA1C),LЄ(BB1C)
    KK1 AA1; LL1 AA1; MM1 AA1;
    A1
    C1
    B1
    A
    B
    C
    M
    L
    K
    M1
    L1
    K1
    Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью KLM, KЄ(AA1B), MЄ(AA1C),LЄ(BB1C)
    KLпересекает L1K1 в точке хMK пересекает M1K1 в точке у
    A1
    C1
    B1
    A
    B
    C
    M
    L
    K
    M1
    L1
    K1
    x
    Y
    Построить сечение призмы ABCA1B1C1 плоскостью KLM, KЄ(AA1B), MЄ(AA1C),LЄ(BB1C)
    Пл.(АВС).ХУ пересекает АС в точке Р1Пл.(АА1С)Р1М пересекает СС1 в точке Р2Пл.(ВВ1С). Р2L пересекает ВВ1 в точке Р3Пл.(АВВ1) Р3К пересекает АВ в точке Р4Пл.(АВС). Р2Р4.
    A1
    C1
    B1
    A
    B
    C
    M
    L
    K
    M1
    L1
    K1
    X
    Y
    P1
    P2
    P3
    P4
    Пример 2.12
    Марданов Тимур
    P
    Q
    B
    C
    R
    D
    A
    Пример 2.12
    Построение
    P
    Q
    B
    C
    R
    D
    A
    Построение
    P
    Q
    B
    C
    R
    D
    A
    Построение
    P
    Q
    B
    C
    R
    D
    A
    Построение
    P
    Q
    B
    C
    R
    D
    A
    Построение
    P
    Q
    B
    C
    R
    D
    A
    Построение
    P
    Q
    B
    C
    R
    D
    A
    Построение
    P
    Q
    B
    C
    R
    D
    A
    Построение
    P
    Q
    B
    C
    R
    D
    A
    Построение
    P
    Q
    B
    C
    R
    D
    A
    По теореме о линиях пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью стороны сечения, лежащие на параллельных граня куба, параллельны.
    Определение сечения
    P
    Q
    B
    C
    R
    D
    A
    Определение сечения
    P
    Q
    B
    C
    R
    D
    A
    Определение сечения
    Q
    B
    C
    R
    D
    A
    P
    Определение сечения
    P
    Q
    B
    C
    R
    D
    A
    Нахождение площади
    P
    Q
    B
    C
    R
    D
    A
    Построение сечения. Пример 2.14
    Титова Романа
    В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник. Точки P,Q и R взяты на медианах SP1, SQ1 и SR1 граней SAB, SBC и SCA соответственно так, что SP : PP1=2, SQ : QQ1=2/3, а R – середина отрезка SR1. Нужно построить сечение плоскостью PQR и определить, в каком отношении эта плоскость делит ребро SB.
    УСЛОВИЕ
    Сначала построим след секущей плоскости на плоскости основания пирамиды, соединив точки X и Y пересечения прямых PR, P1R1 и PQ, P1Q1.
    ШАГ 1
    Уточним теперь положение точек X и Y, найдя отношения XP1 : XR1 и YP1 : YQ1. Для их вычисления воспользуемся теоремой Менелая. Согласно этой теореме, применённой к треугольнику SP1R1, (SR/RR1)*(R1X/XP1)*(P1P/PS)=1, следовательно, 1*(R1X/XP1)*0,5=1, откуда XP1/XR1=0,5. Аналогично из треугольника SP1Q1 находим, что YP1/YQ1=1/3.
    ШАГ 2
    Так как YP1/YQ1=1/3, то YP1/P1Q1=0,5 илиYP1/AR1=0,5 (так как P1Q1=AR1), а раз XP1/XR1 =0,5 и ےYP1X=ےAR1X, то треугольник YP1X подобен треугольнику AR1X, следовательно , точки X, Y и А лежат на одной прямой. Теперь уже легко достроить сечение.(рис. внизу)
    ШАГ 3
    Точка P, делящая медиану SP1 в отношении 2/1, считая от вершины S, является точкой пересечения медиан треугольника ASB. Поэтому АМ – медиана этого треугольника и SM/MB=1.
    Ответ на вопрос

    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    " Применение современных методов обучения и современных технологий на уроках"

               В  профессиональной деятельности учителя  всегда есть простор для поиска, педагогического творчества. Современные  педа...

    Статья на тему: «Здоровьесберегающие технологии на уроках математики в старших классах специальной (коррекционной) школы»

    Эта статья отражает опыт применения и результат эффективного использования в практической деятельности здоровьесберегающих технологий учителем математики коррекционной школы....

    Методическая работа «Применение методов активного обучения и современных технологий на уроках математики в старших классах».

    Всем известно, что изучение такого раздела математики, как стереометрия, вызывает у многих учащихся существенные затруднения, усвоение материала чаще всего строится на зазубривании. Использование комп...

    «МЕТОДИЧЕСКИЙ СЕМИНАР» ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ГРУППОВОГО ОБУЧЕНИЯ НА УРОКЕ ИНОСТРАННОГО ЯЗЫКА.

    ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ГРУППОВОГО ОБУЧЕНИЯ НА УРОКЕ ИНОСТРАННОГО ЯЗЫКА....

    Метод проблемного обучения в современной школе на уроках математики

    Проблемное обучение - такая организация учебных занятий, которая предполагает создание проблемных ситуации  под руководством учителя. Проблемное обучение- это система методов и средств обучения, ...

    ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ АКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

    Применение кейсовых технологий. В кейсах используются ситуации – иллюстрации, ситуации – оценки, ситуации – упражнения....