Курсовая итоговая работа «Проектирование многоуровневой системы задач с параметром в 7 классе. Линейные уравнения»
учебно-методический материал по алгебре (7 класс) на тему

Министерство образования и науки Самарской области

государственное автономное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов

САМАРСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ

И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ

ИТОГОВАЯ РАБОТА

на курсах повышения квалификации по ИОЧ, ВБ

«Методические особенности обучения решению задач с параметром  в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

 (24.03 — 29.03.2014 г.)

по теме: «Проектирование многоуровневой системы задач с параметром  

в 7 классе. Линейные уравнения»

Выполнила:

Яковлева Наталья Николаевна

 учитель математики

ГБОУ ООШ с. Краснояриха

Челно – Вершинского района

Самара 2014 г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

1. Цель: научить решать  линейные уравнения с параметрами с помощью многоуровневой системы задач по данной теме.

9. Задачи:

- образовательные (формирование познавательных УУД):  

умение высказывать предположения, обсуждать проблемные вопросы, составлять план решения задачи, выбирать решение из нескольких предложенных, выявлять известное и неизвестное, воспроизводить по памяти информацию, необходимую для решения учебной задачи, проверять информацию, находить дополнительную информацию, используя справочную литературу, выделять общее и частное (существенное и несущественное), целое и часть, общее и различное.

- воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):  

умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность, поддержание здорового духа соперничества для поддержания мотивации учебной деятельности, самоопределение с целью получения наивысшего результата.

- развивающие (формирование регулятивных УУД)

1. умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям; формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Уравнения с параметром стали привычной частью вариантов экзаменов. И хотя они широко представлены в многочисленных пособиях для абитуриентов (в частности, имеются пособия, посвященные исключительно методам решения таких задач), в школьной практике такие задачи встречаются редко. Решение задач с параметром часто вызывает затруднения – ведь каждая такая задача требует рассмотрения целого класса задач, для каждой из которых должно быть получено решение. Поэтому следует приступать к изучению данных задач как можно раньше, и  выискивать время в тематическом планировании.

Линейные уравнения с параметром изучаются в программе 7 класса основной школы, развитие умений решать эти задачи продолжается на всех ступенях обучения. Поэтому задачи с параметрами могут систематически внедряться в седьмом классе.

ПАРАМЕТР ( от греческого - отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой. Решить уравнение с параметром – значит, для всех допустимых значений параметра найти множество всех решений этого уравнения или неравенства. Причем, существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем задачам, в которых возможны разные варианты ответов в зависимости от значений параметра (иногда говорят, что решение «ветвится» в зависимости от параметра).

В курсе школьной математики с параметрами мы встречаемся при введении некоторых понятий:

- функция прямая пропорциональность:  (x, y – переменные; k – параметр, );

- линейная функция: y=kx+b (x, y – переменные; k, b – параметры);

- линейное уравнение: ax+b=0 (x – переменная; a, b – параметры);

- уравнение первой степени: ax+b=0 ( x – переменная; a, b –переменные;  );

- квадратное уравнение: ( x – переменная; a, b, c –параметры; ).

К задачам с параметрами можно отнести и поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.

Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы общения ограничиваемся его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение и на ответ.

Основное, что нужно усвоить при знакомстве с параметром – это необходимость осторожного, даже деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом.

Многоуровневая система задач на решение линейных уравнений с параметрами.

Основные  методы решения задач с параметрами:

• Аналитический - способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры решения  в задачах.
• Графический - при решении данным способом рассматриваются графики  в координатных плоскостях (х,у) или ( х,а).
• Решение задач относительно параметра. Переменные «х» и  параметр «а» принимаются равноправными, и выбирается переменная, относительно которой аналитическое решения признается более простым.

Базовые задачи  - это задачи, которые необходимо решить для любого значения параметра, используя уже изученный алгоритм.

1. Задания базового уровня

Решите уравнение с параметром

1. .                                      

На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ: х = . Однако при а=0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так:

Ответ: при  а=0,  решений нет;

           при  а≠0,    х =

2. Решить уравнение с параметром

3x=p       x=                             ответ: при любом р     т.е . р

3. Выясните, при каких значениях параметра уравнения   не имеют решения;

          а)        ax-3 =0                                             б)    (а+1)х =а

                       ax = 3                                                           x=

                        x=

Ответ: при а= 0 ур-ие не имеет решения                             Ответ: при a =

4.  Определить особые значения параметра а для следующих уравнений

       а) 5x=a                                                  

Ответ: при    особых значений нет

             при a=0      x=0

б) (2к – 7)у =5

               у=                    

Ответ: при   один корень               у=

             при       y  любое действительное число ( особое значение)            

5. Для каких значений параметров m и  p уравнение имеет решением любое действительное число

      (  m

                 Z =

                  Z=

            63 +45p=0                                           -54 -2m =0      

          45p=- 63                                              -2m=54

            р =−=−1,4                                     m=−27

Ответ:   m= -27                       p =-1,4  

6. Решить относительно х уравнение  

Ответ: если а ≠5 единств. решение

              если а =5 и а = 0 нет решений

7. Решить уравнение   =b

Ответ: при

              при b=0        x =2

            при  b  ,   x=2−b

2. Модифицированные задачи

Модификация задач происходит в направлении усложнения ,  комбинированием или переформулированием условия .

1. Считая а данным числом, решите уравнение относительно х.

2(х+а) = 3(х-а)

Решение: 2(х+а) = 3(х-а) умножим обе части на 0,5

                 х+а= 1,5(х-а)

                х+а - 1,5х +1,5а=0

               -0,5х +2,5а =0

                 х =5а

Ответ: х = 5а

2.Найти все натуральные значения а, при которых корень уравнения (а – 2)х=15 является целым числом.

Решение: х =

Выразим х через а

х =15/(а – 2)

1)если а = 2, то уравнение не имеет корней

2)если а≠2,то  х =15/(а – 2)

Перебором находим, что  а є{1, 3, 5, 7, 17}

Ответ: а є{1, 3, 5, 7, 17}

3. При каких значениях а уравнение ах(ах + 3) +6 = х (ах – 6 ) является

а) квадратным

б) неполным квадратным

в) линейным

Решение

а2х2

a2x2 = 0

a(a-1) x2 +3(a+2) x+6= 0

a) уравнение квадратное, если старший коэффициент

Т.е. уравнение квадратное при всех a, кроме 0 или 1

б) Неполное квадратное, если b=0, если с=0

в) линейное, если коэффициент при x2=0

а(а -1)=0         

    а – 1=0

              а=1

             Ответ:  уравнение квадратное

               уравнение неполное квадратное

            а=0; а=1  уравнение линейное

4. Составьте линейное уравнение с параметром a если известно

 а) при а=0  , при

Ответ:  ах=0

б) при а=3        

Ответ  :  

3. Нестандартные задачи

 При решении задач данного типа учебная деятельность  учащихся носит исследовательский характер. Ученик должен научиться ориентироваться в новой ситуации и выработать принципиально новый подход  при решении данной задачи.

1. Решить уравнение:   = 0

ОДЗ: уравнение имеет смысл при всех х ≠ -2

С учетом ОДЗ приведем уравнение к равносильному линейному х – а = 0, х = а

1. если а = -2, то уравнение решения не имеет

2.если а ≠ -2, то х = а

Ответ: при а = -2, корней нет; а ≠ -2, то х = а

2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет  

     единственное решение

Удобно воспользоваться графической иллюстрацией на координатной плоскости (X0Y). Графиком функции    является подвижный «уголок», расположенный в верхней полуплоскости, вершина которого скользит по оси абсцисс. График функции - неподвижный «уголок» с вершиной в точке (-3;-1), пересекающий ось 0X в точках (-4; 0) и (-2;0), ось 0Y – в точке (0;2)

Уравнение имеет единственное решение, если вершина подвижного «уголка» попадает в точку А(-4;0)  или  В(-2;0). Так как координаты точек А и В удовлетворяют уравнению , то  или , откуда а=-8 или а= -4

Ответ: а= - 8 или а= - 4

3. Исследовать и решить уравнение с параметром

Д(у) =

Запишем уравнение в виде =

(x+3)(m2+2m – 8)=3(m+4)(m+1)

(x+3)(m+4)(m-2)=3(m+4)(m+1)

(m+4)(m-2)x=9(m+4)

a) Если  то существует единственный корень

б) выясним при каких значениях параметра  m      x= - 3

2)=9

при   m

в) Если m=, то 0х=9, следовательно, любое х из области определения уравнения есть решение

г) Если m=2, то 0 х =54 то есть решений нет

Учебно-методический комплект: 

• Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. — 12-е изд., стер. — М. : Мнемозина, 2010.
• Проблемы реализации ФГОС при обучении математике в основной и старшей общеобразовательной школе: монография / коллектив авторов: Иванюк М.Е., Липилина В.В., Максютин А.А. – Самара: изд-во ООО «Порто-принт»,  2014 – 328 с.
• Шевкин А.В. Задачи с параметром: Линейные уравнения и их системы. Серия «Математика. Проверь себя». – М.: ООО «Русское слово – учебная книга», 2003.