Презентация по математике: "Отбор корней в тригонометрических уравнениях"
презентация к уроку по алгебре на тему

Слайд 1

ОТБОР КОРНЕЙ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ Презентацию разработала учитель математики МБОУ СОШ №4 г. Покачи ХМАО-Югра Тюменской области Литвинченко Л.В.

Слайд 2

Расскажем, как можно решить такую проблему . Первый метод нахождения подходящих корней заключатся в решении диофантовых уравнений с целыми коэффициентами для этого необходимо: - найти наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных ; попробовать сократить на него обе части уравнения (разумеется, свободный член должен при этом остаться целым числом). Второй метод заключается в изображении всех решений на тригонометрической окружности и исключении неподходящих решений. Метод этот очень прост в применении, если решения легко изобразить на тригонометрической окружности. Решая тригонометрические уравнения , возникает вопрос отбора корней ,связанных с областью определения и другими условиями. Рассмотрим пример : 21 k - 24 n = 8 и решим его первым способом. Набольший общий делитель коэффициентов равен 3 , и сократить его не удается, так как 8 на 3 не делится. Тогда можно сразу сказать, что это уравнение решений в целых числах не имеет.

Слайд 3

Покажем, как искать решения. Решим уравнение 166 n - 44k = 6 . Для начала поделим обе части на 2 : 83 n - 22 k = 3. Теперь выберем ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине – в нашем случае это k - и выразим ее через другую неизвестную: 3. Выделим в этой дроби целую часть: Обозначим , или 17 n – 3 = 22t . Снова получилось неопределенное уравнение, но его коэффициенты уже меньше, чем у исходного.

Слайд 4

5. Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что и с исходным: выразим из него ту неизвестную, коэффициент при которой меньше по абсолютной величине (на сей раз это будет n ), и выделим из получающейся дроби целую часть: 6. Обозначим , или 5 t + 3 =17s . Продолжая в том же духе, выразим t через s : 7. Обозначим , или 5 v = 2s – 3 . Выразим s через v :

Слайд 5

Обозначим , или v = 2 u – 3 . Чтобы получить решения исходного уравнения, нам осталось последовательно выразить v через u , s через v , t через s , n через t , k через n . 10. Отправимся в обратный путь: v = 2 u – 3

Слайд 6

Итак, решение получено : k = 83 u – 102 , n = 22 u – 27 , где u – произвольное целое число. Стало быть ответ таков: 44 k + 6 = 166 n для некоторого n ∊ Z тогда и только тогда, когда k = 83 u – 102 , где u ∊ Z . Изложенный нами способ нахождения решения линейного неопределенного уравнения с целыми коэффициентами ( диофантового ) называется алгоритмом Евклида.

Слайд 7

Важным этапом решения сложных тригонометрических уравнений является нахождение пересечения двух множеств углов π ( a+bn ) и π ( c+dk ) , где a, b, c, d - фиксированные рациональные числа; n, k – переменные, принимающие целочисленные значения. Иными словами, речь идет об отыскании целочисленных решений уравнения π ( a+bn ) = π ( c+dk ) (1) с рациональными коэффициентами a, b, c, d . Решаем вторым способ уравнение (1) -на тригонометрическом круге. Однако он применим только для достаточно простых комбинаций углов. Например, решить уравнения: а) б)

Слайд 8

в) если НОД ( u , v ) больше 1, то (1) не имеет решений ; б) если НОД ( u , v ) = 1. В этом случае подбором найдем некоторое частное решение ( n₀, k₀ ) уравнения (2) , т.е. такую пару целых чисел ( n₀, k₀ ), для которых выполняется равенство un₀ + vk ₀ = w ; г) запишем решение уравнения (1) в виде: или а) уравнение (1) приведем к виду un + vk = w (2) где u , v , w – фиксированные целые числа и их НОД ( u , v , w ) = 1; Изложим общие этапы решения уравнения π ( a+bn ) = π ( c+dk ) (1) :

Слайд 9

Пример 1. Решить в целых числах уравнение Решение . Приведем это уравнение к виду (2): -12 n + 5k = 3 . Пара n₀ = 1, k₀ = 3 – его частное решение. Поэтому общее решение имеет вид n = 1 + 5 t , k = 3 + 12 t , t ∊ Z . Ответ : n = 1 + 5t , k = 3 + 12 t , t ∊ Z . Пример 2. Решить в целых числах уравнение Решение . Приведем это уравнение к виду (2): 6 n - 40 k = 7. Так как НОД( 6 и 40 )=2 > 1, то решений нет. Ответ : нет решений. Рассмотрим два примера.

Слайд 10

Пример 1. Объединить семейства значений . Рассмотрим примеры отбора корней на единичной окружности. Тогда ответ можно записать более компактно: x 2 Отметим на окружности значения x 1 – кружками , x 2 – квадратиками, (где x 1 и x 2 являются решениями уравнения). На окружности получилось шесть точек, которые делят окружность на равные части.

Слайд 11

x 1 = , x 2 = Решение. I способ. Нанесем на окружности значения x 1 – кружками , x 2 – квадратиками . Значения x = π m являются повторяющимися. а ) Если ответ исключить их из первого семейства, то он будет выглядеть так: б) Если же ответ исключить из второго семейства, то он таков: Пример 2. Объединить семейства значений.

Слайд 12

Решим относительно k . Получим , при n =4 m значения k будут целыми. Таким образом, ответ можно записать так, сохранив первое семейство, а из второго исключить повторяющиеся. Чтобы найти повторяющиеся решения, надо решить уравнение 2 способ. Аналитическое решение.

Слайд 13

При отборе корней в тригонометрическом уравнении изображение их на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2 π . В таких случаях удобнее применять аналитический способ. Пример : Решение : заменим это тригонометрическое уравнение эквивалентной системой уравнений, а затем найдем пересечение множеств решений.

Слайд 14

В данном случае сделать отбор решений на тригонометрическом круге неудобно, так как периоды серий разные . Найдём такие целые k , при которых x = π +2 π k имеет посторонние корни, удовлетворяющие условию x≠ 3 π n , n ∊ Z . Ответ : x = π +2 π k , где k≠ 3 m +1 , m ∊ Z или x = π +6 π m , x =3 π +6 π m , m ∊ Z . Пусть π +2 π k =3 π n ; 1+2 k =3 n . Отсюда k=(3n-1) :2 = (2 n + n -1):2 = n +( n -1):2. Пусть m =( n -1):2. Тогда 2 m = n -1. Отсюда n =2 m +1. Следовательно k =(3(2 m +1)-1):2=(6 m +3-1):2=3 m +1. Итак, посторонние корни в серии x = π +2 π k будут при k =3 m +1 , m ∊ Z .

Слайд 15

ОСНОВНАЯ СХЕМА ОТБОРА КОРНЕЙ ТАКОВА: Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение. На числовой прямой наносятся все решения, входящие в этот период (повторяющиеся, лишние отбрасываются; находятся удовлетворяющие уравнению и периодически продолжаются). Если период равен 2 π , то корни наносятся на единичную окружность, а затем с периодом 2 π продолжаются. Если значения корней очень маленькие, то их «укрупняют», а затем выбирают нужные. Возможно аналитическое решение пересечений семейств решений.

Слайд 16

Спасибо за внимание!