Использование пропорций
методическая разработка по алгебре на тему

       Большинство школьных текстовых задач, решаемых арифметически или алгебраически, содержит величины, связанные формулой z=xy, значит z и х z и у – величины прямо пропорциональные, а х и у  - обратно пропорциональные. В ныне действующей программе по математике тема «Прямая и обратная пропорциональность» в виде отдельной темы  рассматривается только в 6 классе. Такое положение дел не совсем оправданно: в 3-5 классах мы оперируем пропорциональными величинами, но считаем возможным называть эти величины «своими именами» только в 6 классе. Тем самым искусственно ограничиваются возможности в применении указанного понятия при решении разнообразных задач. Пропедевтическое ознакомление учащихся 3-5 классов с понятием о пропорциональной зависимости величин без формулировок соответствующих определений, привлечение этого понятии для решения задач должны значительно повысить теоретический уровень решения задач – именно благодаря использованию его функциональной основы. В 4 классе учащиеся должны уметь решать без привлечения дробей такую, например, задачу:

    За 3 ч пешеход проходит 20 км. Какой путь он пройдёт с той же скоростью за 6 ч? За     9 ч? За сколько часов он может пройти расстояние в 80 км?

    Рассмотрим решение более сложных задач с использованием пропорциональной зависимости:

1. Объем строительных работ (А)  увеличился на 80%. На сколько процентов нужно увеличить число (х) рабочих, если производительность труда (у) увеличится на 20 %?

Решение: Имеем соотношение А=ху. Так как величина А увеличилась в (100+80):100=1,8 раза, а величина у – в 1,2 раза, то величина х должна быть увеличена в 1,8:1,2=1,5 раза, то есть на 50 %.

2. Велосипедист проехал некоторое расстояние между двумя пунктами за определенное время. Если бы он ехал со скорость 9 км/ч, то он опоздал бы на 20 мин, а если бы он ехал со скорость 12 км/ч, то приехал бы на 30 мин раньше. Каково расстояние между пунктами и с какой скорость ехал велосипедист?

Решение: При скорости 9 км/ч на весь путь ушло бы в 12:9=4/3 раза больше, чем при скорости 12 км/ч, или на 20+30=50 мин=5/6 ч больше. Имеем отношение 4:3 и разность 5/6 времен. Отсюда 5/6 ∙ 4=10/3 ч-время движения при скорости 9 км/ч. Искомое расстояние равно 9∙10/3=30км. Далее легко находится искомая скорость – 10 км/ч.

3. В учреждении работает 27 человек. Сколько работает мужчин (х) и сколько женщин (у), если 0,4 числа всех мужчин равно 0,5 числа всех женщин?

Решение: 0,4х=0,5у, х:у = 5:4 и т. д.

В заключение добавим:

1) Рассмотренные примеры показывают, что использование при арифметическом решении задач буквенной символики позволяет кратко, четко, рационально излагать решение. Это говорит в пользу совместного изучения арифметики в начальной школе и начал алгебры.

2) Использование пропорциональной зависимости между компонентами умножения и деления при решении задач – этот прием в методической литературе почти не рассматривается – имеет еще и то преимущество, что с его помощью очень удобно и доступно вскрывается смысл некоторых понятий, необходимых для понимания задачи и ее решения.