Практическая работа №4
учебно-методический материал по алгебре на тему

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА  № 4

ОД.10 Математика

Тема:  Построение графиков функции.

Вид занятия: Практическое занятие

Обеспечение   урока:

Использование ИКТ (информационно – коммуникационных технологий)

(мультимедийные презентации, проекционное оборудование, интерактивная доска, персональный компьютер, компьютерное тестирование)

Математика в Открытом колледже  http://www.mathematics.ru

Наглядные пособия и раздаточный материал: методические указания для практической работы №4

Литература:  Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: Просвещение, 2012

Цель работы:

Построение графиков функции, преобразование графиков функции, нахождение обратных функций.

Понятие об обратной функции

Мы уже сталкивались с задачей, когда по заданной функции f и заданному значению её аргумента необходимо было вычислить значение функции в этой точке. Но иногда приходится сталкиваться с обратной задачей: найти по известной функции f и её некоторому значению y значение аргумента, в котором функция принимает данное значение y.

Функция, которая, принимает каждое свое значение в единственной точке своей области определения, называется обратимой функцией. 

Например, линейная функция будет являться обратимой функцией. А квадратичная функция или функция синус не будет являться обратимыми функциями. Так как одно и то же значение функция может принимать при различных аргументах.

Обратная функция

Положим, что f есть некоторая произвольная обратимая функция. Каждому числу из области её значений y0, соответствует лишь одно число из области определения x0, такое что f(x0) = y0.

Если теперь мы каждому значению х0 поставим в соответствие значение y0, то получим уже новую функцию. Например, для линейной функции f(x) = k * x + b функция g(x) = (x - b)/k будет являться обратной.

Если некоторая функция g в каждой точке х области значений обратимой функции f принимает значение у такое, что f(y) = x, то говорят, что функция g – есть обратная функция к f.

Если у нас будет задан график некоторой обратимой функции f, то для того чтобы построить график обратной функции, можно пользоваться следующим утверждением: график функции f и обратной к ней функции g будут симметричны относительно прямой, заданной уравнением y = x.

Если функция g является обратной к функции f, то функция g будет являться обратимой функцией. А функция f будет обратной к функции g. Обычно говорят, что две функции f и g взаимно обратные друг к другу.

На следующем рисунке представлены графики функций f и g взаимно обратных друг к другу.

Выведем следующую теорему:

если функция f возрастает (или убывает) на некотором промежутке A, то она обратима.

Обратная к а функция g, определенная в области значений функции f, также является возрастающей (или соответственно убывающей) функцией. 

Данная теорема называется теоремой об обратной функции.

Простейшие преобразования графиков функций

1. y = f(x) + b – график функции получается из графика функции y = f(x) путем параллельного переноса этого графика на величину вдоль от ОУ. при этом, если b>0, то график функции f(x) + b располагается выше графика функции f(x), если b<0, то ниже этого графика.

2. y = f (x + b) – график функции получается из графика функции y = f(x) с помощью параллельного переноса этого графика на величину b вдоль оси ОХ, при этом, если b>0, то сдвиг влево, а если b<0, то сдвиг вправо.

3. y = - f(x) – график симметричен графику y = f(x) относительно оси ОХ

Указанные преобразования не изменяют масштаба графика функции.

Рассмотрим преобразования графиков функций, которые изменяют масштаб графика

4. y = аf(x) – график функции получается  из графика функции y = f(x) с помощью растяжения или сжатия графика по оси ОУ пропорционально коэффициенту а, причем,

если a > 1, то все ординаты графика аf(x) увеличиваются в а раз, если a < 1, то уменьшаются в а раз.

5. y = f(аx) – график функции получается из графика функции y = f(x) с помощью растяжения или сжатия вдоль оси ОХ пропорционально коэффициенту а, причем, если, а > 1, то график сжимается в а раз, если 0 < a <1, то растягивается в 1/а раз.

6. у =  - для построения этого графика нужно построить график функции y = f(x) и отобразить относительно оси ОХ те части графика, которые расположены ниже этой оси.

у =                                                          у = х – 3; у =

ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ

1. Постоянная функция

2. Прямая пропорциональность

3. Линейная функция ,k

                Область определения:

                Область изменения:

4.Квадратичная функция

                Область определения:

                Область изменения:

5. Обратная пропорциональная зависимость

                Область определения:

                Область изменения:

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА  № 5

ОД.10 Математика

Тема:  Решение показательных уравнений и неравенств.

Вид занятия: Практическое занятие.

Обеспечение   урока:

Использование ИКТ (информационно – коммуникационных технологий)

(мультимедийные презентации, проекционное оборудование, интерактивная доска, персональный компьютер, компьютерное тестирование)

Наглядные пособия и раздаточный материал: методические указания для практической работы №5, плакат «Свойства степеней»

Литература:  Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: Просвещение, 2012

Цель работы:

Определение типов показательных уравнений и методов их решения, решение простейших показательных неравенств.

Определение. Уравнение вида , где , называется показательным.

Если

Способы решения показательных уравнений.

1. Приравнивание показателей.

Суть метода:

1. Уединить слагаемое, содержащее переменную; 
2. Привести степени к одному основанию;
3. Приравнять показатели;
4. Решить полученное уравнение;
5. Записать ответ.

Пример:

Ответ: x = 3.

2.  Вынесение общего множителя за скобки.

Примечание: выносим за скобки множитель с меньшим показателем.

Пример:

Ответ: x = 1

3. Введение новой переменной

Как правило, уравнения, решаемые этим способом, сводятся к квадратным.

Пример: 

Пусть 4x = а тогда уравнение можно записать в виде:

Сделаем обратную замену:

4x = 4 или 4x = 1;
х = 1  или х = 0

Ответ: х = 1 или х = 0

4. Использование однородности

Определение Показательные уравнения вида  называются однородными.

Суть метода: Так как показательная функция не может принимать значение, равное нулю, и обе части уравнения можно делить на  одно и то же не равное нулю число, разделим обе части уравнения, например, на .

Пример: 2x = 3x

Разделим обе части уравнения на 

Ответ: x = 0.

Определение. Показательным неравенством называется неравенство, в котором переменная содержится в показателе степени.

Решение простейших показательных неравенств.

Простейшими считаются показательные неравенства вида: axy,  ax>ay .  (ax≤ay,  ax≥ay).

Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, одинаковые основания степеней опускают, но знак нового неравенства сохраняют, если функция у=ах является возрастающей (а>1); eсли же показательная функция у=ах убывает (0), то знак нового неравенства меняют на противоположный:

ax<ay → x<y, если a>1; знак сохранен, так как функция возрастает;

ax<ay → x>y,  если 0; функция убывает – знак поменялся;

ax>ay → x>y, если  a>1; знак сохранен, так как функция возрастает

ax>ay → x<y, если 0; функция убывает – знак поменялся.

Примеры.

Решить неравенство:

1) 45-2x<0,25.

Представим правую часть в виде: 0,25=(25/100)=(1/4)=4-1;

45-2x<4-1; функция у=4х с основанием 4>1 возрастает на R, поэтому, опуская основания степеней, знак неравенства сохраним:

5-2x<-1;

— 2x<-1-5;

— 2x<-6  |:(-2) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняют на противоположный:

x>3.

Ответ: (3; +∞).

2) 0,42х+1≥0,16.

Представим число 0,16 в виде степени числа 0,4. Получаем:

0,42х+1≥0,42; основание степеней – число 0,4 — удовлетворяет условию: 0<0,4<1; поэтому, опускаем основания степеней, а знак неравенства меняем на противоположный:

2х+1≤2;

2х≤2-1;

2х≤1  |:2

x≤0,5.

Ответ: (-∞; 0,5].