Практическая работа №5
учебно-методический материал по алгебре на тему

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА  № 5

ОД.10 Математика

Тема:  Решение показательных уравнений и неравенств.

Вид занятия: Практическое занятие.

Обеспечение   урока:

Использование ИКТ (информационно – коммуникационных технологий)

(мультимедийные презентации, проекционное оборудование, интерактивная доска, персональный компьютер, компьютерное тестирование)

Наглядные пособия и раздаточный материал: методические указания для практической работы №5, плакат «Свойства степеней»

Литература:  Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. 10 (11) кл. – М.: Просвещение, 2012

Цель работы:

Определение типов показательных уравнений и методов их решения, решение простейших показательных неравенств.

Определение. Уравнение вида , где , называется показательным.

Если

Способы решения показательных уравнений.

1. Приравнивание показателей.

Суть метода:

1. Уединить слагаемое, содержащее переменную; 
2. Привести степени к одному основанию;
3. Приравнять показатели;
4. Решить полученное уравнение;
5. Записать ответ.

Пример:

Ответ: x = 3.

2.  Вынесение общего множителя за скобки.

Примечание: выносим за скобки множитель с меньшим показателем.

Пример:

Ответ: x = 1

3. Введение новой переменной

Как правило, уравнения, решаемые этим способом, сводятся к квадратным.

Пример: 

Пусть 4x = а тогда уравнение можно записать в виде:

Сделаем обратную замену:

4x = 4 или 4x = 1;
х = 1  или х = 0

Ответ: х = 1 или х = 0

4. Использование однородности

Определение Показательные уравнения вида  называются однородными.

Суть метода: Так как показательная функция не может принимать значение, равное нулю, и обе части уравнения можно делить на  одно и то же не равное нулю число, разделим обе части уравнения, например, на .

Пример: 2x = 3x

Разделим обе части уравнения на 

Ответ: x = 0.

Определение. Показательным неравенством называется неравенство, в котором переменная содержится в показателе степени.

Решение простейших показательных неравенств.

Простейшими считаются показательные неравенства вида: axy,  ax>ay .  (ax≤ay,  ax≥ay).

Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, одинаковые основания степеней опускают, но знак нового неравенства сохраняют, если функция у=ах является возрастающей (а>1); eсли же показательная функция у=ах убывает (0), то знак нового неравенства меняют на противоположный:

ax<ay → x<y, если a>1; знак сохранен, так как функция возрастает;

ax<ay → x>y,  если 0; функция убывает – знак поменялся;

ax>ay → x>y, если  a>1; знак сохранен, так как функция возрастает

ax>ay → x<y, если 0; функция убывает – знак поменялся.

Примеры.

Решить неравенство:

1) 45-2x<0,25.

Представим правую часть в виде: 0,25=(25/100)=(1/4)=4-1;

45-2x<4-1; функция у=4х с основанием 4>1 возрастает на R, поэтому, опуская основания степеней, знак неравенства сохраним:

5-2x<-1;

— 2x<-1-5;

— 2x<-6  |:(-2) при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняют на противоположный:

x>3.

Ответ: (3; +∞).

2) 0,42х+1≥0,16.

Представим число 0,16 в виде степени числа 0,4. Получаем:

0,42х+1≥0,42; основание степеней – число 0,4 — удовлетворяет условию: 0<0,4<1; поэтому, опускаем основания степеней, а знак неравенства меняем на противоположный:

2х+1≤2;

2х≤2-1;

2х≤1  |:2

x≤0,5.

Ответ: (-∞; 0,5].