Обучение старшеклассников решению функциональных уравнений. Композиция функций
статья по алгебре (9 класс) на тему

Основное содержание учебного материала

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Постановка темы и целей урока

После проверки готовности класса к уроку сообщает, что на данном уроке будет рассмотрена тема «Композиция функций». Ставится задача: научиться распознавать сложную функцию, представлять ее в виде композиции элементарных, составлять ее из набора элементарных, находить ее область определения. Говорит, что композиция функций встречается повсеместно, но, самое главное, что с ней можно столкнуться в заданиях ЕГЭ.

Записывать тему урока

2. Подготовка к изучению нового материала

Задание: Найдите значение функции   при  

Просит обучающихся вспомнить какие функции относятся к элементарным.

Предлагает устно выполнить задание.

Поясняет, что выполнение этих заданий поможет для осознанного усвоения нового материала.

Обучающиеся говорят, что к элементарным  относятся: линейная , квадратичная , обратная пропорциональность (), степенная , все тригонометрические и обратные им.

Выполняют задание:

Ципрун К.:

Зубарева И.:

3. Ознакомление с новым материалом

Определение: Пусть функция  определена на множестве  и  – область ее значений. Пусть далее, функция  определена на множестве . Поставим в соответствие каждому  из  число . Тем самым на множестве  будет задана функция  . Ее называют композицией функций или сложной функцией.

Обозначается:

=

Предлагает рассмотреть расположение двух матрешек, вложенных одна в другую. Таким образом, одна матрешки – имеет простую структуру, две матрешки, когда, одна находится внутри другой, имеет более сложную структуру и т. д. Чем больше матрешек внутри, тем сложнее получается и структура. То же самое можно сказать и о функции.

Давайте рассмотрим следующую функцию:

Мы, вспомнили основные элементарные функции и их свойства, какие из них мы можем увидеть в составе данной формулы? (вопрос для Никифорова В.) 

Учитель соглашается с ответом Никифорова и говорит, что одна функция как бы «вложена» в другую:  в ,  в , т.е. образовалась композиция.

Предлагает записать определение композиции функций.

То есть, осмыслив определение, сделать вывод, что мы повсеместно встречаемся с композицией функций (сложной функцией). Но, можно составлять композицию не только из двух функций, но и более.

Предлагает рассмотреть 2 функции:

Просит Рожкову Н. назвать отличия и сходства данных функций.

Просит Матушкина А. ответить на вопрос: Как найти значение этой функции в фиксированной точке х? (фиксирует на доске)

Делает вывод: Иными словами, сначала нужно найти значение функции g(х)=х-2, а потом найти значение функции f= , которая сама по себе является функцией. В подобных случаях говорят, что задана сложная функция f (g(х)).

В нашем примере (записывает на доске) f(u)=   где и= g(х)=х-

-2. Переменную и называют внутренней переменной или промежуточной (соответственно, внутренней или промежуточной функцией), а f(и) называют внешней функцией. Таким образом:

Слушают объяснения учителя, внимательно смотрят на модели

Никифоров В.: в состав данной функции входят следующие элементарные функции:

Строит диаграмму для предложенной задачи:

Записывают определение в тетради, осмысливают его.

Рожкова Н.: сходство состоит в том, что эти функции обе степенные, а различие состоит в том, что подкоренные выражения различны.

Матушкин А.: для нахождения значения данной функции в фиксированной точке х нужно: 1)  вычислить значение выражения  в этой точке; 2) найти значение корня из полученного числа.

Записывают в тетради то, что учитель пишет на доске.

Изображают схему в тетради

4. Первичное осмысление и применение изученного материала

Задание 1: Даны функции:  

Составьте следующие композиции:

Ответы:

Задание 2:

Даны функции:  Соотнесите формулу функции с  композицией функций, ответ объясните:

Формула функции:

1)

2)

3)

Композиция:

а)

б)

в)

г)

Кодопозитив:

1) – г;

2) – а;

3) – б.

Задание 3:

Пусть  Найдите выражение для:

Ответ:

Предлагает ученикам выполнить задание на составление композиции функции. Предлагает, для лучшего запоминания, обозначать для себя, что будет являться внешней функцией, внутренней переменной, основной переменной.

Просит выполнить у доски задания Акишину П., Фильцину П., Рубанюка П..

Давайте сравним 1 и 2 пример, заметим, что в общем случае  

Управляет работой обучающихся, просит не торопиться и быть внимательными, следит за дисциплиной в классе.

Отмечает, какие ошибки были сделаны и почему. Анализирует, еще раз обращает внимание на ключевые моменты.

Предлагает Ушакову Д. выполнить задание у доски, предварительно, просит указывать внешнюю функцию, внутреннюю переменную.

Следит за выполнением задания. Ходит по классу, дает необходимые пояснения отстающим.

Слушают пояснения учителя

Акишина П. выходит к доске и выполняет задание:

 отсюда, внешняя функция,  внутренняя функция, получаем:

Фильцина П. выходит к доске и выполняет задание:

 отсюда, внешняя функция,  внутренняя функция, получаем:

Рубанюк П. выходит к доске и выполняет задание:

это композиция трех функций, замечаем, что внешняя функция, внутренняя функция,  мы уже знаем,  получаем:

=

Выполняют задания на местах, сверяют ответы, с доской, дают устные пояснения, почему был выбран тот или иной вариант.

Ушаков Д. решает пример, делая все необходимые пояснения:

 отсюда, внешняя функция, промежуточная переменная, т.е., необходимо вместо   подставить , получаем:

5. Подведение итогов урока

Фронтальным опросом вместе с обучающимися подводит итоги урока:

1) Мамай Я., чем мы занимались сегодня на уроке?

2) Теплова В., как по-другому можно назвать композицию функций?

3) Ципрун К., как ты понял, что такое композиция функций?

4) Хачатрян В., как обозначается композиция функций?

5) Зубарева И., приведи пример композиции двух функций.

С учетом работы во время урока комментируются и оцениваются ответы учащихся Никифорова В., Рожковой Н., Матушкина А., Акишиной П., Фильциной П., Рубанюка П., Ушакова Д..

1) Мамай Я.: сегодня на уроке мы рассматривали тему: «Композиция функций»

2) Теплова В.: композицию функций еще называют сложной функцией.

3) Ципрун К.: под композицией функций он понимает функцию от функции, т.е. функция выступает в качестве переменной.

4) Хачатрян В.: композиция функций обозначается   или , где  внешняя функция, а внутренняя (промежуточная переменная)

5) Зубарева И. приводит пример:

6. Постановка домашнего задания

Задания:

1) Пусть . Найдите выражение для:

а) ;

б)

в)

2) Функция  задана на отрезке  Найдите область задания функции:

Дает пояснение по выполнению домашнего задания, просит обучающихся внимательно просмотреть записи в тетради.

Записывают домашнее задание, слушают пояснения учителя.

Решение домашнего задания:

1. а) внутренняя функция, внешняя функция.

Т. о. .

б) внешняя функция, внутренняя функция.

Т. о.

в)  

2. Пусть  тогда

Т.о.

Ответ:

7. Резерв

Задание:

Пусть  Найдите выражение для:

На случай досрочного выполнения всем классом или отдельными учениками заданий и обеспечения занятости и развития наиболее подготовленных учащихся планируется использовать дополнительные задания.