Олимпиадные задания школьного этапа всероссийской олимпиады школьников
олимпиадные задания по алгебре (7 класс) на тему

ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАНИЯ

для проведения школьного этапа  Всероссийской олимпиады школьников

 по   математике   для учащихся 7  классов

Учитель:     Васильева  Ирина  Борисовна

Пояснительная записка

Основная цель проведения  школьной олимпиады по математике:

- расширение кругозора учащихся;

- развитие интереса учащихся к изучению математики;

- выявление  одарённых учащихся для организации индивидуальной работы с ними, подготовки к участию в городской олимпиаде.

Задания составлены на основе учебных  программ по математике, реализуемых на уровне основного общего образования. 

Главные   принципы  при  формировании   комплектов   заданий:

1. Нарастание сложности заданий от первого к последнему. При этом их трудность должна  быть такой, чтобы с первым заданием могли успешно справиться примерно 70% участников, со вторым – более 50%, с третьим – около 20%, а с последними – несколько участников олимпиады.
2. Тематическое разнообразие заданий: в комплект должны входить задачи по геометрии, алгебре, комбинаторике, в старших классах желательно включение задач по теории чисел, тригонометрии, стереометрии, математическому анализу.
3. Обязательная новизна задач для участников олимпиады.
4. Недопустимость включения в задания задач по разделам математики, не изученным по всем базовым учебникам по алгебре и геометрии в соответствующем классе к моменту проведения олимпиады.
5. Включённые задачи  взяты из разных разделов школьного курса математики.  Не включены задачи с длительными выкладками.

     Сложность – это объективная характеристика задачи, определяемая её структурой. Сложность зависит от:

- объёма информации, необходимого для её решения;

- числа данных в задаче;

- числа связей между ними;

- количества возможных выводов  из условия задачи;

- количества непосредственных выводов, необходимых для решения задачи;

- количества взаимопроникновений при решении задачи;

- длины рассуждений при решении задачи;

- общего числа шагов решений, привлечённых аргументов и пр.

Трудность задачи зависит от:

- сложности задачи (сложная задача является как правило более трудной);

- времени, прошедшего после изучения материала, который встречается в тексте;

- практики в решении подобных задач;

- уровня развития ученика;

- возраста учащегося.

Критерии оценивания

Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, разбор важного случая, доказательство леммы, нахождение примера и т.п.). Наконец, возможны логические и арифметические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче должны учитывать все вышеперечисленное.

В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников каждая задача оценивается из 7 баллов.

Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице:

Решение считается неполным, если оно:

- содержит основные идеи, но не доведено до конца;

- при верной общей схеме рассуждений содержи пробелы, т.е.явно или скрыто опирается на недоказанные утверждения, которые нельзя счесть известными или очевидными.

7 класс

Задание №1.

 Написать число 100: а) шестью одинаковыми цифрами;  б) девятью разными значащими цифрами.

Решение:    99+     или 91+

Задание №2.

Найти  дробь со знаменателем 20, которая больше , но меньше .

Решение:

  (1)

 (2)

Нужную дробь следует искать среди дробей, расположенных между дробями  (1) и (2)Это будет дробь

Задание №3.

Доказать, что сумма двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, делится без остатка  на  11.

Решение:

 и

10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b). Так как произведение содержит множитель, равный 11, значит, произведение делится без остатка на 11.

Задание №4.

Дробь  равна целому числу, разные буквы означают разные цифры, а между ними стоит знак умножения. Чему равна дробь? Ответ обоснуйте.

Решение:

В выражении использованы десять  различных букв, что соответствует 10 различным цифрам. Т.к на 0 делить нельзя, то 0 входит в числитель. Дробь равна 0.

Задание №5.

Разрежьте треугольник на два треугольника, четырёхугольник и пятиугольник, проведя 2 прямые линии.

Решение:

Задание №6.

В ящике 24 кг гвоздей. Как на чашечных весах без гирь и без стрелки отмерить 9 кг?

Решение:

Разделим 24 кг на две части, отмерив на весах по 12 кг гвоздей, Отложим одну кучу гвоздей, а вторую поделим пополам,  получим 2 кучи по 6 кг. Одну их них опять поделим пополам. Всего у нас будет 4 кучи гвоздей по 12 , 6, 3 и 3 кг. Сложим вторую и третью. Получим 9 кг.

Задание №7.

5 школьников приехали из 5 различных городов в Сыктывкар на республиканскую математическую олимпиаду. «Откуда вы, ребята?» - спросили их хозяева. Вот что ответил каждый из них.

Андреев:  «Я приехал из Ухты, а Григорьев живёт в Воркуте».

 Борисов: «В Воркуте  живёт Васильев. Я же прибыл из Печоры».

Васильев: «Я прибыл из Ухты», а Борисов – из Инты».

Григорьев: «Я приехал из Воркуты, а Данилов из Усинска».

Данилов: «Да, я действительно из Усинска, Андреев же живёт в Печоре».

Хозяева очень удивились противоречивости  ответов приехавших гостей. Ребята объяснили им, что каждый из них высказал одно утверждение правильное, а другое ложное. Но по их ответам вполне можно установить, кто откуда приехал. Откуда приехал каждый школьник?

Решение: Андреев из Ухты, Борисов из Инты, Васильев из Воркуты, Григорьев из Печоры, Данилов из Усинска.

     Пусть у Андреева первое утверждение верное, т.е. он из Ухты. Тогда Григорьев живёт не в Воркуте, поэтому второе утверждение Данилова – ложное, значит, он из Усинска. Тогда первое утверждение Григорьева – ложное. Т.к. Андреев из Ухты, то первое утверждение Васильева ложно, поэтому Борисов – из Инты. Т.к. Григорьев не из Воркуты, то остаётся, что он из Печоры, а Васильев из Воркуты.

    Рассмотрим второй вариант. Пусть у Андреева второе утверждение – правильное, тогда Григорьев приехал из Воркуты. Значит,  Данилов приехал не из Усинска, а Андреев не из  Ухты. Тогда у Борисова первое утверждение ложное (в Воркуте живёт Григорьев), значит, Борисов прибыл из Печоры. Получается, что Данилов из Усинска. Получили противоречие: Данилов из Усинска и не из Усинска. Значит, второе вариант не возможен.