Олимпиадные задания школьного этапа всероссийской олимпиады школьников
олимпиадные задания по алгебре (11 класс) на тему

ОЛИМПИАДНЫЕ ЗАДАНИЯ

для проведения школьного этапа  Всероссийской олимпиады школьников

 по   математике   для учащихся  11 классов

Учитель:     Васильева  Ирина  Борисовна

Пояснительная записка

Основная цель проведения  школьной олимпиады по математике:

- расширение кругозора учащихся;

- развитие интереса учащихся к изучению математики;

- выявление  одарённых учащихся для организации индивидуальной работы с ними, подготовки к участию в городской олимпиаде.

Задания составлены на основе учебных программ по математике, реализуемых на уровне среднего   общего  образования. 

Главные   принципы  при  формировании   комплектов   заданий:

1. Нарастание сложности заданий от первого к последнему. При этом их трудность должна  быть такой, чтобы с первым заданием могли успешно справиться примерно 70% участников, со вторым – более 50%, с третьим – около 20%, а с последними – несколько участников олимпиады.
2. Тематическое разнообразие заданий: в комплект должны входить задачи по геометрии, алгебре, комбинаторике, в старших классах желательно включение задач по теории чисел, тригонометрии, стереометрии, математическому анализу.
3. Обязательная новизна задач для участников олимпиады.
4. Недопустимость включения в задания задач по разделам математики, не изученным по всем базовым учебникам по алгебре и геометрии в соответствующем классе к моменту проведения олимпиады.
5. Включённые задачи  взяты из разных разделов школьного курса математики.  Не включены задачи с длительными выкладками.

     Сложность – это объективная характеристика задачи, определяемая её структурой. Сложность зависит от:

- объёма информации, необходимого для её решения;

- числа данных в задаче;

- числа связей между ними;

- количества возможных выводов  из условия задачи;

- количества непосредственных выводов, необходимых для решения задачи;

- количества взаимопроникновений при решении задачи;

- длины рассуждений при решении задачи;

- общего числа шагов решений, привлечённых аргументов и пр.

Трудность задачи зависит от:

- сложности задачи (сложная задача является как правило более трудной);

- времени, прошедшего после изучения материала, который встречается в тексте;

- практики в решении подобных задач;

- уровня развития ученика;

- возраста учащегося.

Критерии оценивания

Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений. Кроме того, необходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, разбор важного случая, доказательство леммы, нахождение примера и т.п.). Наконец, возможны логические и арифметические ошибки в решениях. Окончательные баллы по задаче должны учитывать все вышеперечисленное.

В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад школьников каждая задача оценивается из 7 баллов.

Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице:

Решение считается неполным, если оно:

- содержит основные идеи, но не доведено до конца;

- при верной общей схеме рассуждений содержи пробелы, т.е.явно или скрыто опирается на недоказанные утверждения, которые нельзя счесть известными или очевидными.

11 класс

  Задание №1.

  Решите уравнение:        

 Решение:

sin9x + (cos3x+sin3x)=0,

sin9x+cos (

2cos (

 где  

Задание №2.

 Докажите, что 2a+ при .

 Решение: Найдём производную функции f(a) =2a+  :  

Значит,  f(a)  убывает на  (0;1), а поэтому f(0)  ,  где f(1) =3, т.е.  2a+  при

Задание №3.

 В равнобедренной трапеции даны основания  а=21 см, b=9 см и h=8 см. Найдите радиус описанного круга.

Решение: пусть ABCD -  данная трапеция, BK и  CM  - высоты.

                                                            В                С

                                                    А                                D

Тогда  ;  AK=DM=6 см; BD=;  BD = 17 см;  AB=;  AB=10 см.   R =. Отсюда R=10 см.

Задание №4.

Найдите все положительные решения системы:

 ,  ,  , .

Решение:

Сложим все уравнения, предварительно  умножив второе и четвёртое уравнения  на  4.

Получим  или    

 отсюда следует, что .

Задание №5.

Докажите, что если в числе 12008 между нулями вставить любое количество троек, то полученное число делится на 19.

Решение: выпишем последовательность чисел, которые получаются из числа 12008: 120308, 1203308, ….,   12033…308 (n  троек),   ….  Первое число  равно 9Далее предположим, что  и число с  количеством троек в записи  n-1  делится  на 19 . Докажем, что и число с количеством троек n также делится на 19.. В самом деле, 12033…308-12033…308=1083000…0. Но  1083  делится на  19, поэтому и  также делится на 19.