Урок по алгебре и началам математического анализа

 в 10 классе (физ-мат.)

Тема: «Уравнение касательной. Условие касания».

Тип урока: урок применения знаний, умений и навыков при  решении проблемы.

Цель урока: Закрепить ранее полученные знания,  научиться самостоятельно решать более сложные задачи и на основе их  анализа делать выводы.

 Образовательные:
                  -закрепить знания и   навыки по теме «Уравнение касательной»;

-сформировать умения учащихся решать более сложные задачи;

-подготовить учащихся к самостоятельной деятельности.

Развивающие:

- способствовать развитию мыслительных операций: анализ, аналогия, сравнение, обобщение, внимание, монологической и диалогической речи;

- способствовать развитию у учащихся поиска и распознавания полезной информации ( на основе наблюдения и оценки выявленных закономерностей).

Воспитательные:

             - содействовать воспитанию активной личности,

              способной  самостоятельно  делать обобщения и вывод.

Структура урока:

1. Организационно-мотивационный момент.
2. Актуализация ЗУН.
3. Углубление ЗУН на примерах более сложных задач.

4. Обобщение, вывод, рефлексия.

5. Домашнее задание, подведение итогов.

Ход урока:

На прошлом уроке мы с вами вывели уравнение касательной и научились решать некоторые виды задач на составление уравнения касательной.

Давайте ещё раз повторим:

Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку?»  (слайд 3,4)

• Что же такое касательная? (слайд 5,6)
• Какова связь между производной в точке касания и уравнением касательной? ( слайд 7,8,9,10)
• Назовите уравнение касательной  (слайд 11)
• Как мы его получили?

Решение  задач на повторение :

Цель: повторить алгоритм решения задач на составление уравнения касательной, выявить пробелы у учащихся и их  ликвидировать.

Слайд 12 – устно проговорить алгоритм решения, проговорить сходства и различия в решении задач разных видов.

 Решение по вариантам:

Задача №1.

Написать уравнения всех касательных к графику функции f(x)=x2+4x+6, проходящих через точку М(-3;-1).

Ответ:  y=-6x–19,     y=2x+5.

Ответ:  y=-6x–19,     y=

Задача №2.

Правильно ли составлено уравнение касательной к графику функции         f(x)=x3-3x2+1, если угловой коэффициент касательной k = -3. y= -3x+7.

Правильный ответ: y= -3x+2

Как расположены графики таких прямых y= -3x+7, y= -3x+2.

Делаем вывод, что у параллельных прямых коэффициенты равны, а если прямые перпендикулярны?

Слайд 15

Углубление материала:

Цель: вспомнить условия параллельности и перпендикулярности прямых и применить их при  составлении уравнений касательных; в задачах с параметром выяснить необходимые и достаточные условия для существования касательной к графику функции.

Задача №3.

Составьте уравнение касательной к графику функции y = x3-x2-x+1, которая параллельна прямой y=2x-1.

Задача №4.

Составьте уравнение касательной к графику функции y=x2+4x+1, перпендикулярной прямой y= -1/4x+8.

Ответ: y = 4x+1

Задача №5.

При каких значениях а прямая y=3x-2 является касательной к графику функции y = x2+ax+2?

Ответ: a=-1, a=7.

Задача №6.

При каких значениях b прямая y =3x +b является  касательной к графику функции y = ?

Ответ: b = .

Вывод, рефлексия:

Цель: решить поставленную проблему ,  сформулировать условие касания прямой к графику функции и сделать вывод.

Условие касания.

Для того, чтобы прямая y = kx+b была касательной к графику функции y = f(x), необходимо и достаточно существование хотя бы одного числа x0(одной точки касания), для которой выполняется система

Способы написания уравнения касательной:

1. Находим общие точки графиков, т.е. решение уравнения f(x) = kx+b, а затем для каждого из его решений вычислить f’(x0). Там где f’(x0) = k  , имеет место касание, а в других пересечение.
2. Находим корни уравнения f’(x0) = k и для каждого из них проверим, выполняется ли равенство f(x0) = kx0 + b. При его выполнении получаются абсциссы точек касания.

Вывод:

 Если в точке x0 существует производная, то в точке с этой абсциссой есть касательная к графику функции y = f(x)   и наоборот,  если в точке x0  нет производной функции y =f(x), то в точке с этой абсциссой нет касательной к графику функции y =f(x) с  угловым коэффициентом k=f’(x0).