Один из подходов к формированию понятий непрерывности и предела функции.

(по статье Е.Г. Глаголевой, Л.О. Денищевой, Б.В Сорокина «Предел и непрерывность функции в курсе 9(сейчас 10,11) класса» Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе.)

Этот подход основывается на следующих соображениях:

• Понятия непрерывности и предела функции должны вначале формироваться на основе наглядно-интуитивных  представлений, т.е. формально-логическое введение определения предела предваряется разъяснением смысла с максимальным использованием наглядности и предшествующего опыта учащихся. Соответственно и оценка уровня усвоения понятий должна проводится в основном не по умению воспроизвести определения предела функции в точке или непрерывности функции в точке, а на уровне «распознавания», т.е. учащийся должен в конкретных случаях ответить на вопросы, имеет ли функция предел в точке, непрерывна ли она и т.д.
• Понятия предела функции в точке и непрерывности функции должны с самого начала изучения вводиться в тесной взаимосвязи с раскрытием отношений между ними.
• Определение понятия непрерывности функции в точке формируется с опорой на характеристическое свойство непрерывной функции: значения функции, непрерывной в точке х0, мало меняются при малых изменениях аргумента, т.е. f(x) ≈ f(x0), если x ≈ x0.

Актуализация

Изучение темы целесообразно начать с повторения сведений о функции, полученных учениками в девятилетней школе:

Понятие функции, её область определения, множество значений, способы задания функций, график функции.

Нужно позаботиться о создании у учащихся «запаса» различных функций и чётких представлений об их графиках. Прежде всего следует убедиться, что все учащиеся  имеют правильное представление о графиках функций, которые встречались им в курсе девятилетней школы («азбука» функций):

Можно заранее заготовить графики указанных функций и отдельно в другом порядке выписать соответствующие формулы, после чего предложить учащимся установить соответствие между графиками и формулами.  

Учащиеся должны правильно представлять ход графика, уметь нарисовать его эскиз ( например, прямую – по двум точкам, параболу – по трем), уметь ответить на вопросы:

1. какова ООФ,
2. множество значений функции,
3. на каких промежутках функция убывает (возрастает),
4. в каких точках она обращается в нуль, где положительна, где отрицательна

и т.п.

На все эти вопросы учащиеся отвечают по графику.

Цель – напомнить учащимся о связи свойств функции с её графическим представлением.

Кроме работы с «азбукой» , надо начать создавать запас наглядных примеров, которые принесут пользу при изучении темы «Предел функции и непрерывность».

Построить схематически графики таких функций:

Пропедевтика

Для пропедевтики понятий предела и непрерывности полезно выполнить серию упражнений типа:

По графику функции указать значения х для которых:

1. f(x) = а
2. f(x) > а, f(x) < а
3.  f(x) > f(x0),  f(x) f(x0),
4. 
5. 

Эти упражнения нужно рассматривать на конкретных графиках с конкретными значениями а,ε,. Задания указаны в порядке возрастания сложности. Самым важным из них является последнее. Его нужно предложить учащимся и в других формулировках:

«Для каких значений  x значения  f(x) отличаются от f(x0)

менее чем на ε?»

«Для каких значений  x значения  f(x) удалены от f(x0)

менее чем на ε?»

«Укажите окрестность точки x0 , в которой выполняется неравенство »

«Укажите окрестность точки x0, в которой значения  f(x) приближённо равны значению f(x0) с точностью до ε?»

«Какова должна быть точность приближённого равенства  x ≈ x0, чтобы равенство  f(x) ≈ f(x0) выполнялось с точностью до ε?»

При разборе этих упражнений нужно обратить внимание учащихся на эквивалентность трёх утверждений:

«»;

«Значения f(x) лежат в окрестности f(x0) радиуса ε»;

«f(x) ≈ f(x0) с точностью до ε»

Разъяснение понятий непрерывности и предела на интуитивно – наглядном уровне.

Прежде всего заметим, что в школьном курсе понятие непрерывности фактически рассматривается для функций, область определения которых является или промежутком, или объединением промежутков. Поэтому непрерывность функции имеет простой наглядный смысл: функция непрерывна в точке x0 , если её график не прерывается при x = x0,т.е. при проведении графика через эту точку можно не отрывать карандаша от бумаги.

Для разъяснения различия между функциями непрерывными и не являющимися непрерывными в некоторых точках удобно использовать примерно такой набор графиков:

Графики функций 1) – 5) отличаются друг от друга только одной точкой. Эти графики и послужат «наглядным пособием» в работе при формировании понятий о непрерывности функции в точке и предела.

1. Если график функции в точке x0 не «разрывается», то говорят, что функция в этой точке непрерывна.
2. Если график функции в точке x0  «разрывается», то говорят, что функция не является непрерывной в этой точке.

Понимание этих пояснений можно проверить, например, на таких упражнениях:

1. Среди функций 1) - 6) укажите непрерывные в точке ; .
2. Среди функций 1) - 6) укажите:

а) непрерывные в каждой точке числовой прямой.

б) не являющиеся непрерывными в некоторой точке (укажите в какой именно).

При наличии времени можно задать аналогичные вопросы по функциям «азбуки».

Если эти вопросы не вызвали затруднений, можно перейти к более сложным, но очень важным заданиям.

Изобразить график какой – либо функции f:

1. Не являющейся непрерывной в точке, но определённой в этой точке;
2. Не являющейся непрерывной только в точке,  и не определённой в этой точке;
3. Имеющей две точки, в которых она не является непрерывной;
4. непрерывной в каждой точке, кроме, причём  f(1)=3;
5. непрерывной во всех точках числовой прямой. И т.п.

После того как учащиеся усвоят наглядный смысл непрерывности, можно переходить к следующему этапу: разъяснению характеристического свойства непрерывной функции.

Характеристическое свойство непрерывной функции.

Разъяснение характеристического свойства функции, непрерывной в точке, можно провести, рассматривая какой – либо график, например график функции:

При этом выясняются следующие вопросы:

1. Чему равно f(2), f(0,25), f(1)? (ученики должны выбрать нужную формулу и вычислить результат)
2. Пусть . Как вычислить f(x)? (ученик должен сказать, по какой формуле он будет вычислять; если же он сразу скажет, что получится приблизительно f(2), этот ответ нужно поощрить)
3. Пусть  или. Чему приближённо равно f(x)?
4. Пусть, например. Можно ли сказать, что f(x) приближённо равно f()?
5. Пусть. Чему равно приближённо f(x)?

Отвечая на все эти вопросы, учащиеся заметили, что если, то

.

После этого нужно поставить перед учащимися следующий вопрос: «Было выяснено, что f(1)=2. Можно ли утверждать, как и в предыдущих случаях, что если , то?»

По графику учащиеся заметят, что этого утверждать нельзя. Рассмотрев другие примеры:при,  при  и т.п., делаем вывод, что для непрерывной в точке функции справедливо утверждение: Если , то. Если же  не является непрерывной в точке, то для неё это утверждение не справедливо.

  Дать почувствовать учащимся естественность характеристического свойства непрерывной функции можно, разбирая такие вопросы: «Чему приближённо равна площадь квадрата, если длина его стороны примерно 3 метра?»; «Какой примерно путь пройдёт пешеход, движущийся со скоростью 5 км в час примерно за 2 часа?».

Учащиеся должны понять, что возможность дать ответ связана с непрерывностью функций   в точке  и  в точке.

После усвоения учащимися характеристического свойства непрерывной функции можно перейти к формированию понятия предела функции, непрерывной в точке.

Формирование понятия предела функции, непрерывной в точке.

Для этого полезно вспомнить определение предела последовательности (Если это определение вводилось ранее):

Равенство  означает, что для любого положительного ε, начиная с некоторого номера (т.е. для всех n>N), выполняется неравенство . Другими словами  с точностью до ε для всех достаточно больших n. Сравнив равенство  (для n>N) с равенством  (для)для функции, непрерывной в точке, следует пояснить, почему значение непрерывной в точке функции называют пределом функции при  ; учитель подчёркивает, что «если функция непрерывна в точке, то для любого положительного ε  (т.е. в некоторой окрестности точки)  с точностью до ε». Значит, равенство означает, как и в случае предела последовательности, что  для  . Предложение взятое в кавычки, уже является точным определением непрерывности функции в точке  . Однако мы советуем не записывать его и не отрабатывать, а на примерах проверить, поняли ли ученики «суть дела». Приведём возможные варианты таких примеров:

Подведение под понятие.

1. Пусть. Найти.

Функция f непрерывна в точке  (график не разрывается в этой точке). Значит,  . Это равенство означает, что для     .

Сильным ученикам можно предложить задание: найти по графику окрестность точки  , для которой , с точностью до 0,1 и т.п.

2. Пусть .

В точке  эта функция непрерывна (сослаться на график). Кроме того, если  , то  , как и должно быть для непрерывной функции. Однако, если взять точку , где функция разрывна, то при   не обязательно близко к  . Например, для  получим:  , а для  будем иметь .

Вообще для значений  из любой окрестности целого числа нельзя указать приближённое значение этой функции.

Введение понятия предела функции в точке.

Итак, пределом при  функции , непрерывной в точке  , является значение этой функции  в точке , т.е , и это означает, что  для . Однако есть функции, не являющиеся непрерывными в точке  , но поведение которых для , близких к , похоже на поведение непрерывных функций.

Например пусть        

Для всех , кроме , функция непрерывна; в точке  функция не является непрерывной. Для  значения функции близки к 2, а не к . Мы видим, несмотря на то, что функция не является непрерывной в точке , всё-таки существует число, которому приближённо равны значения функции в окрестности этой точки. Число 2 как бы делает функцию непрерывной («закрывает» или, лучше говорить, «устраняет» разрыв графика). После этого нужно дать такое разъяснение:

Если функция  не является непрерывной в точке , но существует некоторое число a, которому приближённо равны значения этой функции в окрестности точки , то это число называется пределом функции , при ; пишут: . Эта запись опять означает, что если , то ; точнее, каким бы не было положительное число ε, можно указать такую окрестность точки , в которой значение функции приближённо равны числу  с точностью до ε. Здесь придётся указать, что приближённое равенство в этом случае не выполняется для самой точки  - центра окрестности. Итак, при решении задачи об отыскании предела функции , при  могут встретиться такие случаи:

1. Если функция непрерывна в точке , т.е. при     , то .
2. Если функция не является непрерывной в точке , но существует число  такое, что  для   , то  .
3. Если такого числа  не существует, т.е. нельзя сказать, чему приближённо равны значения функции при , то говорят, что предела функции  при , не существует.

Первичное закрепление.

После этого полезно предложить учащимся упражнения на нахождение предела функции при :  

На этом этапе решение всех примеров обязательно надо сопровождать и даже «обосновывать» ссылкой на график ( хотя и не обязательно его рисовать). Поэтому все они подобраны так, что учащиеся знают или могут догадаться каким будет график функции.

Покажем, какое объяснение должны давать учащиеся при выполнении заданий 2) и 3).

2) Функция    является непрерывной на множестве всех действительных чисел (график – непрерывная линия), а значит, и при . Поэтому предел равен значению функции в точке 2.

 Значит, .

В тетради достаточно такой записи:

« (функция непрерывна)».

3) Функция  не является непрерывной в точке .

Но во всех остальных точках эта функция совпадает с функцией
 . Поэтому пределы этих функций при  совпадают. Для последней же функции, т.к. она непрерывна, предел равен значению функции в точке -1. При письменном выполнении этого упражнения можно опускать пояснения и записывать решения так:

.

При устном ответе учащиеся должны уметь пояснить, почему возможно сокращение дроби под знаком предела (хотя функции и разные, но во всех точках, кроме , их значения совпадают, поэтому и их пределы равны), так что мы предел данной разрывной функции заменяем равным ему пределом непрерывной функции.

В заключении этапа формирования у учащихся наглядных представлений о пределе функции в точке, полезно совместно с учащимися выяснить, какой вид в окрестности точки  может иметь график функции, имеющей предел при . Может быть три основных случая:

1. График не «разрывается» в точке;
2. Точка графика, получающаяся при , «выколота»;
3. Точка графика, получающаяся при , «выскочила».

После того как учащиеся научатся находить пределы функций, графики которых они могут построить или представить себе, можно перейти к нахождению пределов некоторых других функций: например, найти   и подвести учащихся к необходимости использования теорем о пределах (методику работы см. в статье Е.Г. Глаголевой, Л.О. Денищевой, Б.В Сорокина «Предел и непрерывность функции в курсе 9(сейчас 10,11) класса» Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе. стр 175)

Контроль.

Итогом изучения раздела «Предел функции и непрерывность» обычно является проведение контрольной работы примерно такого содержания:

1. Найдите ООФ
2. Вычислите пределы

1. ;
2. 

3. Дана функция

1. Начертите график этой функции.
2. Используя график укажите промежутки её возрастания и убывания.
3. Укажите точку, в которой функция не является непрерывной; укажите значения функции в этой точке.
4. Найдите
5. .

После проведения контрольной работы можно разобраться в строгом определении непрерывности и предела и, если это необходимо ликвидировать недоработки в технике решения примеров на вычисление пределов.