Пособие по математике для практических занятий
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре на тему

Занятие № 1

     1.  Вычислить: 1)  ½-1/4;    2)   ½+1/4;   3)   ¾-1/2;    4)  1-8/9;  5)   3-5/7;    

                        6)    4/9-2;       7)   7/8-3/4;     8)   ½-1/3.

2. Решить задачу:

1. Рабочий за час выполнил 3/8 всей работы. За сколько часов он выполнит всю работу?
2. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса?
3. Два землекопа выкапывают 2 м канавы за 2 часа. Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы?
4. Разделить 25 рублей на две части так, чтобы одна часть была в 49 раз больше другой.
5. Лошадь съедает воз сена за месяц, коза – за два месяца, а овца – за три. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?
6. Половина – треть его. Какое это число?
7. Во сколько раз путь на 6 –й этаж больше пути на 3-й, считая с 1-го?
8. Одна артель плотников из 28 человек может построить дом за 54 дня, а другая из 30 человек этот же дом может построить за 45 дней. Какая артель работает лучше?

     3.  Сравнить:  1)  3/20 и 7/60;   2)   -5/12 и –17/36;    3)  (-25)/(-36) и 17/24;  

                             4)  -7/5 и –4/7;    5)  0/32 и 5/(-24).

4. Из чисел 2;3;4;5;6;9;10;11 выбрать те, на которые делятся данные,  

     используя признаки делимости:1) 7928; 2)2985;  3) 7560936;  4) 16500.

5. Какими двумя цифрами заканчивается число 1⋅2⋅3⋅4⋅…⋅13?
6. Найти НОК и НОД чисел: 1) 48 и 64;  2) 121 и 99;  3) 192 и 210; 4) 729 и 343.
7. Преобразовать неправильную дробь в смешанную:  72/13; 28/4; 59/27; 247/35.
8. Сколько нулей в конце записи числа 1⋅2⋅3⋅…⋅100?
9. Выполнить действия:

1)  ;  

2)  ;

3)  ;     4)  ;

5)  .

ЗАНЯТИЕ № 2

     1.  Найти х из пропорции: 1) х/2=3/5;   2)  7/8=х/6;  3)  15/х=5/8;  4)  8/7=15/х;  

5. 8=3/х;  6)  х/5=7: (1/2);  7)  144/125=1,5:х;  8)  х:2/3=3/4;  9)  12/13=18х/39.

1. Отрезок 60 см разделили на 2 отрезка, длины которых имеют отношение равное:   1) 3;  2) 6;  3)  1;  4) 2;  5) 2:3. Найти длины полученных отрезков.
2.  Разделить данное число на части в указанном отношении:  

1. 145 пропорционально числам 2; 5; ¼;
2. 76,5 обратно пропорционально числам 24/7; 6; 4;
3. 2400 пропорционально числам 11,2; 2; 3; 3,8.

3. Вычислить х:y, если (2х):(3у)=5:6.
4. Вычислить (х+2у-z): (2х+3z), если х: у: z=1:3:5.
5. Вычислить , если х/у=3/2.
6. Найти все целые числа m, таких, что данная дробь являлась бы целым числом .
7. При каких х верны условия? 1) ⏐-х⏐=х; 2) х+⏐х⏐=0; 3) х⏐х⏐=х2; 4) ;  

5. ⏐-х⏐⏐x⏐≥x2;  7)  x -⏐x⏐≥0;  8)  .

8. Увеличить 60 на 1) 5%;  2) 15%;  3)  50%;  4) 125%.
9. Сколько процентов составляет число 50 от 40?
10. Цену товара увеличили на 10%, а затем еще на 10%. На сколько процентов увеличили цену товара за два повышения?
11. Цену товара сначала понизили на 10%, а затем повысили на 10 %. Изменилась ли цена товара, и если да, то на сколько?
12. Найти число х из пропорции:   .
13. Найти число, если 26% его составляют .
14. Найти 72% от числа .

ЗАНЯТИЕ № 3

1. Представить в виде квадрата число: 64; 729; 0,0036; 0,510⋅210 ⋅х6 ⋅у8.
2. Представить в виде куба: -8/27; -1; 0,008; 27х3у6z9.
3. Выполнить действия: 1) хх2х3х4;  2) 25⋅24:2;  3) 25⋅53::125⋅52;  4) 103⋅102⋅(-0,1)4;

5)  ; 7) 5⋅27:16;  8) 1/27 ⋅36⋅30;  9) 23⋅(22)3;  10) (х2)5⋅(х0)10;

11) ; 14) (-1)2n+1: (-1)5; 15) .

4. Записать в виде степени с указанным основанием:

1. основание 4:  1; 4; 16; 64; 1/256; ¼;
2. основание 3:  1; 9; 1/81; 243; 1/3; 1/9; 27; 729.

5. Вычислить: 1) 57/(53)2;  2) ;  4) 23+3⋅(1/2)0-2-2⋅4+((-2)2 : (1/2))⋅8;

5) (0,12)0+((1/7)-1)2⋅(1/49)⋅((22)3:25);  6) (2-1+3-1)(2-1-3-1)+(2-1⋅20)-4:23;

7)  ;  8)  .

6. Записать в виде степени с целым показателем: 1) 2⋅4⋅16⋅(1/2)-2⋅23;  

2. 22⋅23⋅(2/5)-5;  3)  32⋅(1/243)⋅812⋅3-3;  4) .

7. Записать в виде Ахmyn,  где m∈Z; n∈N, А∈R:  1) 2х2у⋅3ух2;  2) (х2у) : (2ух-2);

3) .

8. Найти все целые числа n, удовлетворяющие условию:1) 32⋅3n=35; 2) (22:4)⋅24=4;

3. 3-2⋅34⋅3n =37;  4)  2-1⋅2n+4⋅2n =9⋅25.

9. Найти все натуральные n, удовлетворяющие условию:  1)  2⋅16≥2n•4;

2. 9⋅27≤ 3n ≤ 243;  3) 125≤ 5n ≤ 25.

10. Сравнить: 1) 2300 и 3200 ;  2)  544 и 218 ;  3) 0,44 и 0,83 .
11. Пусть остаток от деления натурального числа m на 7 равен 3. Найдите остаток от деления на 7 числа 3m2+5m+1.
12. Какова будет дата (год, месяц, число и день недели) через 1000 дней после дня решения этой задачи.

Занятие № 4

1. Преобразовать в многочлен:

1)  (х2+3х-2)(-2х)-3х(2х2-5х+1);        2)  (4-а)(-6а2+5а-2);   3)  (3х-10)2;

4)  (1-3у)(3у+1);   5)  (1/2 у+1)(1/4 у2-1/2 у+1);  6)  (4у+3)2;  

7. (0,5у+х2)(х2+0,5у);  8)  (х2-2х+1)(х+1)+(х+1)(х-1);
8. (х+2)(х-2)(х+2)(х-2);  10) (с-3)(с+1)-(с+2)(с-4);  11)  (а-1)(а3+а2+а+1);

12. (у2-2у+1)(у2+2у+1);  13)  (а-в-с)2;  14)  2(3х-2у)(2х+3у);

15) (рхn-a)(pxn+a).

2. Разложить на множители:

1. 15ху2+5ху;  2)  2с3+12сn+3;  3)  xn-xn-2;  4)  3cn+2-6c4;  5)  9m2-7m3-m;

          6) 4a(2x-y)-3(y-2x);  7)  18xy2(a-5b)+24x2y(5b-a);  8)  x(a-b)2-5(b-a)2;

9. ax+bx-ay-by;  10) x4+x3+x2+x;  11) (a-3)2+a-3;  12) a2-9;

13. x2-2xy+3x-3y-xy+2y2;  14)  b3-b2-ab2+a-ab+a2;  15) 16/25-49y2 ;

16) c8-p8;  17) a2n-b2n;  18) (a-1)2-b2;  19) 9-(ab+1)2; 20) (5c-3)2-(3c-5)2;

 21) 16a4b8-0,36;  22) 9x2-6x+1;  23) 4a2b2+ab+1/16; 24) a3+3a2+3a+1;

25. 25-x2+2ax-a2;  26)3a3b3-81;  27) 8a6b3-1;  28) a3-b3+ab(a-b) .

Занятие № 5

1. Сократить дробь: 1) ;  2)  ;  3)  ;  4)  ;  5) ;

6) ;  11) ;

12) a2n+1/a2n-1;  13) .

2. Представить в виде дроби: 1)  ;  2) ;  3) ;

4) ;

8)  ;

12)  .

3. Упростить выражение:  1) ;

3) ;

6)

Занятие № 7

1. Разделить многочлен Рn(x) на многочлен Qm(x). Ответ записать в виде Pn(x)=Qm(x)⋅Sk(x)+Rl(x).

1. P4(x)=x4+3x3-6x2-8x,  Q2(x)=2x2-4x, (МНК);
2. P4(x)=x4+6x3+3x2-26x-24, Q2(x)=x2+4x+3, (МНК);
3. P3(x)=x3+2x2+3x+1,  Q1(x)=x-1, (уголком);
4. P5(x)=x5+5x3+6,  Q2(x)=x2+2x+3, (уголком);
5. P4(x)=2x4-x3-9x2+13x-5,  Q1(x)=x-2, (схема Горнера);
6. P5(x)=2x5-6x4-3x2+4x,  Q1(x)=x-3, (схема Горнера);
7. P6(x)=x6-3x5-4x3+x-1,  Q2(x)=x2+x+1;
8. P3(x)=5x3-26x2+25x-4,  Q1(x)=x-5;
9. P4(x)=5x4-x3-x-4,  Q2(x)=x2-4.

2. Найти все а и b , при которых многочлен Pn(x) делиться на многочлен Qm(x):

1. P3(x)=2x3-x2+ax+b,  Q2(x)=x2-1;
2. P4(x)=6x4-x3+ax2+bx+4;  Q2(x)=x2-4.

3. Разложить многочлен Pn(x) на множители, используя подбор корня и деление на выражение х-с, где с – корень многочлена:

1. P3(x)=x3+x2-4x+2;
2. P4(x)=x4-2x3+2x-1;
3. P5(x)=x5-2x4-8x3+16x2+16x-32;
4. P3(x)=8x3-36x2+54x-27;
5. P4(x)=6x4+5x3-95x2-80x-16;
6. P3(x)=x3+2x2-3;
7. P6(x)=x6-x4-x2+1.

4. Сократить дробь:

1)  ;   2)  ;   3)  ;  4)  ;

 5) .

5. Упростить выражение и вычислить, при данном значении переменной:

1. (1+х-1+х-2+х-3) : (1-х-1+х-2-х-3), при х=3,5;
2. , при m=0,003; n=0,007;
3. , при а=,  b=.

ЗАНЯТИЕ № 9

1. Упростить выражение:

     1) ;   2)  ;  3)  ;

     4) ;   5)  ;  6)  ;

      7)  ;

      8)  ;      9)  ;

      10)  ;   11)  ;

       12)  ;   13)  .

2. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

1)  

8)

12)  .

     3. Сравнить числа:  1) ;  2)    и   ;   3)  ;

          4) ;  5)  .