самостоятельные работы 7 класс
учебно-методический материал по алгебре (7 класс) на тему

Треугольники

Вариант 1

1°. Изобразите треугольник DEF и все его медианы. Сколько их?

2°. Изобразите треугольник и его высоты таким образом, чтобы одна из них не лежала в треугольнике.

3. Найдите периметр треугольника, если две его стороны равны и каждая в 3 раза больше третьей стороны, равной 9 см.

4. Периметр треугольника равен 153 см, а стороны относятся как 2:3:4. Найдите стороны данного треугольника.

5*. Какой вид имеет треугольник, если две его медианы являются его биссектрисами?

6*. Одна из сторон треугольника равна 8 см. Медиана, проведенная из ее вершины, делит периметр треугольника на две части, одна из которых меньше другой на 2 см. Найдите две другие стороны треугольника, если известно, что они равны.

Треугольники

Вариант 2

1°. Изобразите треугольник NOP и все его биссектрисы. Сколько их?

2°. Изобразите треугольник, один угол которого прямой, проведите в нем высоты. В какой точке они пересекутся?

3. Найдите периметр треугольника, если у него одна сторона равна 15 см, вторая на 2,5 см больше, а третья в 4 раза меньше первой.

4. Периметр треугольника равен 156 см, стороны относятся как 3:4:5. Найдите стороны данного треугольника.

5*. Какой вид имеет треугольник, если две его медианы являются его высотами?

6*. Одна из сторон треугольника равна 12 см. Медиана, проведенная к ней, делит периметр треугольника на две части, одна из которых больше другой на 3 см. Найдите каждую из двух других сторон треугольника, если известно, что одна из них равна данной стороне.

 Первый признак равенства треугольников

Вариант 1

1°. На рисунке 11  AB=DF,  углы A и F равны и AB=FE. Будут ли данные треугольники равны?

2°. Отрезки GH и RS пересекаются в точке H и делятся в ней пополам. Найдите отрезок RH, если  SG=11,5 см.

3. На рисунке 12 найдите пары равных треугольников.

4. Докажите, что прямая, отсекающая от сторон угла равные отрезки, перпендикулярна его биссектрисе.

5*. На продолжении каждой стороны правильного треугольника ABC отложены равные отрезки, а именно AA1=BB1=CC1. Докажите, что треугольник A1B1C1 тоже правильный. Сделайте соответствующий рисунок.

6*. Треугольник, периметр которого равен 12 см, делится высотой на две части, периметры которых равны 7 см и 9 см. Найдите данную высоту.

Первый признак равенства треугольников

Вариант 2

1°. На рисунке 11 AB=EF, CB=DE и угол B равен углу E. Будут ли данные треугольники равны?

2°. Отрезки TU и VW пересекаются в точке X и делятся в ней пополам. Соедините концы отрезков и найдите равные треугольники.

3. На рисунке 13 найдите пары равных треугольников.

4. На сторонах угла G отложены равные отрезки GA, GC и проведена его биссектриса, на которой отмечена точка B. Докажите, что BG является биссектрисой угла ABC.

5*. На каждой стороне правильного треугольника XYZ отложены равные отрезки, а именно XX1=YY1=ZZ1. Докажите, что треугольник X1Y1Z1 тоже правильный. Сделайте соответствующий рисунок.

6*. Периметр треугольника CDE равен 21 см. Из вершины D выходят равные стороны. Медиана CM делит треугольник на два треугольника, причем один из них имеет периметр на 3 см больше, чем другой. Найдите стороны данного треугольника.

 Второй признак равенства треугольников

Вариант 1

1°. На рисунке 14 определите равные треугольники.

2°. Какие треугольники на рисунке 15 равны?

3. Есть ли на рисунке 16 равные треугольники?

4. На рисунке 17 угол 1 равен углу 2, угол 3 равен углу 4. Докажите равенство углов 5 и 6.

5*. Изобразите два неравных треугольника, у которых имеется по две равные стороны и одному равному углу.

6*. Проведите прямую, имеющую общие точки со всеми сторонами данного треугольника.

 Второй признак равенства треугольников

Вариант 2

1°. На рисунке 18 определите равные треугольники.

2°. Какие треугольники на рисунке 19 равны?

3. Есть ли на рисунке 20 равные треугольники?

4. Треугольники RST и R1S1T1 равны (рис. 21). Отрезки SQ и S1Q1 образуют равные углы со сторонами треугольников соответственно RS и R1S1. Докажите равенство отрезков TQ и T1Q1.

5*. Изобразите два неравных треугольника, у которых имеется по два равных угла и одной равной стороне.

6*. Докажите, что нельзя провести прямую таким образом, чтобы она пересекала все стороны треугольника по внутренним точкам.

 Равнобедренные треугольники

Вариант 1

1°. Основание равнобедренного треугольника равно 16,3 см. Найдите другие стороны треугольника, если его периметр равен 40,5 см.

2°. Боковые стороны равнобедренного треугольника каждая  больше в 2 раза его основания. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 44 см.

3. В треугольнике CDE (рис. 22) DH⊥CE, CH=EH. Докажите, что треугольник равнобедренный.

4. На рисунке 23 RT – основание равнобедренного треугольника SRT, ∠1=∠4 и SH⊥RT. Докажите: а) ∠6=∠7; б) RM=TN; в) ∠1=∠4.

5*. Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 44 см. Из вершины C его основания AC проведена медиана CM. Найдите стороны данного треугольника, если периметр треугольника BCM на 8 см меньше периметра треугольника ACM.

6*. Сколько равнобедренных треугольников изображено на рисунке 24, где A1A2A3A4A5 – правильный пятиугольник?

Равнобедренные треугольники

Вариант 2

1°. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а основание меньше ее на 0,85 см. Найдите периметр треугольника.

2°. Основание равнобедренного треугольника на 0,7 см больше его боковой стороны. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 25 см.

3. На рисунке 25 ∠1=∠2. Определите вид треугольника KLM.

4. На рисунке 23 SM=SN, SH⊥MN и RM=TN. Докажите: а) ∠2=∠3; б) ∠1=∠4; в) SR=ST.

5*. В равностороннем треугольнике ABC сторона AC продолжена за вершину C и на продолжении отложен отрезок CD. Точка D соединена с вершиной B треугольника. Найдите периметр данного треугольника, если известно, что периметр треугольника BCD на 15 см меньше периметра треугольника ABD.

6*. Сколько различных типов равных равнобедренных треугольников изображено на рисунке 24, где A1A2A3A4A5 – правильный пятиугольник?

 Третий признак равенства треугольников

Вариант 1

1°. Докажите, что на рисунке 26 ∠B=∠D.

2°. На рисунке 27 укажите пары равных треугольников.

3. На рисунке 28 укажите пары равных треугольников.

4. Докажите, что если в треугольнике высота делит сторону, к которой она проведена, пополам, то треугольник равнобедренный.

5*. На одной стороне угла P отложены отрезки PA и PB. На другой его стороне отложены отрезки PA1=PA и PB1=PB. Докажите, что прямые AB1 иA1B пересекаются в точке, принадлежащей биссектрисе данного угла P.

6*. Найдите в треугольнике XYZ на стороне XY или на ее продолжении точку M, одинаково удаленную от вершин X и Z. Отметьте особый случай.

Вариант 2

1°. Докажите, что на рисунке 29 ∠H=∠G.

2°. На рисунке 30 укажите пары равных треугольников.

3. На рисунке 31 укажите пары равных треугольников.

4. Докажите, что если в треугольнике медиана перпендикулярна к стороне, которую она делит пополам, то треугольник равнобедренный.

5*. Докажите, что перпендикуляры, проведенные к обеим сторонам угла на равных расстояниях от вершины, пересекаются на его биссектрисе.

6*. Каждая из точек X и Y одинаково удалена от точек S и T. Определите положение прямой XY по отношению к отрезку ST.