Решение текстовых "задач на работу" в ОГЭ и ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Решение текстовых «на работу» в ОГЭ и ЕГЭ

(из опыта работы)

При изучении математики в средних классах самым трудным для ученика является решение текстовых задач, а также оформление этого решения. Одна из причин затруднений , как мне кажется, состоит в том, что учитель старается обучить решению каждого типа задач в отдельности , а не сформировать у ученика способности анализировать любую задачу, вне зависимости от ее разновидности.  

Эту проблему, с моей точки зрения, помогают решить семь вопросов , которые дают верное направление решению любой задачи. Причем если задача простая , то некоторые вопросы упрощаются или вовсе опускаются.

Разберем несколько типов задач. Большинство из них - задачи из  открытого банка заданий по подготовке выпускников к Итоговой Аттестации по математики. Цель этого разбора – показать , как в процессе ответа на одни и те же вопросы «почти сами» решаются самые разные задачи , так как такое задание есть в  экзаменационной  работе  9 класса (вторая часть 22 задание  -2балла) и  11 класса (11 задание 1 балл).

Прочитав любую текстовую задачу , ученик начинает отвечать на вопросы, постепенно оформляя на черновике краткое условие задачи в виде таблицы.

Вопросы к задаче:

1.О каком процессе в задачи идет речь? Какими величинами характеризуется этот процесс ? ( Их количество определяет число строчек в таблице .)

2.Сколько процессов в задаче ? (Их количество равно числу столбиков в таблице.)

3.Какие величины известны и что нужно найти ?(Таблица заполняется данными задачи и ставится знак вопроса.)

4.Как связаны величины в задаче ?(Выписать формулы и уясняются связи величин в таблице.)

5.Какую величину удобно обозначить, например, переменной x? (Анализируется, удобно ли за x взять величину , о которой спрашивается в задаче , или лучше какую-либо другую. Затем остальные неизвестные величины выражаются через   х , каждой из них соответствует пустая  клетка в таблице.)

6.Какое условие нужно использовать для составления уравнения ?( Это то условие, которое не использовалось для выражение неизвестных через  х . Ученик записывает условие составления уравнения и само уравнение.)

7.Легко ли решить полученное уравнение? (Отвечая на этот вопрос, ученик должен подумать , не следует ли ввести буквенное обозначение в другую строчку таблицы и для составления уравнения использовать другую связь между величинами.)

Примеры решения задач

Рассмотрим сначала несколько задач «на работу», потом «на движение» и т.д.

        Задачи «на работу»  сложны тем, что в них абстрактное понятие работа приобретает различное конкретное содержание. В задачах  работа выражается в виде площади вспаханной земли, представляется количеством выполненной продукции (станки, машины), выступает в весьма непривычном образе – как масса перевезенного груза.

Задача №1. По плану тракторная бригада должна была вспахать поле за 14 дней. Бригада вспахивала ежедневно на 5 га больше , чем намечалось по плану , и потому закончила пахоту за 12 дней. Сколько гектаров было вспахано? Найдите площадь поля.

Ученик, прочитав задачу, начинает отвечать на вопросы примерно так:

1)Речь идет о процессе работы. Он характеризуется тремя величинами :вся работа (А)- это измеряемая в гектарах площадь поля; работа в единицу времени, т.е. производительность труда (N) , и время (t)- число дней , затраченное на работу. Значит,  в таблице нужны 3 строчки  (А, N, t).

2)В задаче упомянуты два процесса работы : по плану и фактический, значит, в таблице будут два столбика.

3)Теперь остается начертить таблицу с тремя строками и двумя столбцами и заполнить все ее клетки заданными соотношениями. Получаем таблицу.

 4) Формула  A=N*t  определяет связь между этих величин в столбиках краткого условия. Связи величин в строчках наглядно отражены в таблице : I связь, II связь.

5) Вопрос: «Какую величину удобно обозначить буквой ?» Если ученик сразу не видит, что для введения x удобнее выбрать II связь, то он сначала должен попробовать обозначить через x ту величину, о которой спрашивается в задаче. Свои  пробы ученик должен записать на черновике. Например, он обозначил

.

6)Тогда не использованная до сих пор  используется при составлении уравнения, т.е.

7) Это уравнение содержит дроби, а их можно избежать , поэтому ученик должен проверить ,  не удобнее ли будет ввести х во II строку таблицы, тогда  I связь  станет условием составления уравнения.

Если   ,  то . Тогда в соответствии с условием  приходим к уравнению:

Уравнение , которое получилось , легче  для ученика чем  первое с дробями. Значит , нужно осуществить второй способ решения , несмотря на то что площадь, о которой спрашивается в задаче, будет найдена не сразу , а только после решения уравнения.

Решение. Пусть  х - производительность бригады по плану, тогда (х+5)  фактическая производительность бригады. Работа по плану составляет   (га) , а фактическая работа   (га) . По условию площадь поля    (га) и   (га) , в обоих случаях одинакова , поэтому можно составить уравнение :

, отсюда

Производительность по плану составляет 30 .  Тогда площадь поля 14*30=420(га).

Ответ : площадь поля 420 га.

Замечание :  Поскольку поиск плана решения осуществляется с помощью таблицы, то и само решение можно записать в табличной форме. Важно только не забыть о том, что не обходимо пояснить логику составления уравнения. Рассмотрим это на следующем примере .

Задача №2. Завод по плану должен был изготовить 180 станков к определенному сроку. Перевыполняя дневную норму  на 2 станка, завод выполнил задание на 1 день раньше срока. За сколько дней завод выполнил план?

Проводя анализ задачи в черновике, в чистовик записываем следующую таблицу:

Решение. Обозначим фактическое число дней , затраченных на выполнение задания через  х , где . Разность между фактическим выпуском станков в день и планируемым  составляет :     , а по условию она равна 2  значит, можно составить уравнение:

Умножим на ,   ОДЗ: .

 разделим на 2 уравнение

По теореме Виета :

Значит , , , но  не удовлетворяет условия задачи . Значение  входит в ОДЗ.

Ответ: завод выполнил план за 9 дней.

Задачи «на работу» сложны тем , что в них абстрактное понятие работа приобретает различное конкретное содержание. В первой задаче работа выражалась в виде площади вспаханной земли, во второй задаче работа стала более зримой, т.е. представилась количеством выполненной продукции (станки). В следующей задаче работа выступает в весьма непривычном образе – как масса перевезенного груза.

Задача №3.  Вместо одной грузовой машины, в связи с ее занятостью на другой работе, для перевозки груза массой 45т взяли другую машину , грузоподъемность которой на 2 т меньше первой. Поэтому было сделано на 6 рейсов больше, чем предполагалось. Какой грузоподъемности машина была намечена для перевозки груза?

Отвечая на все те же стандартные вопросы , ученик уясняет , что речь идет о процессе работы , который в данной задаче характеризует тремя величинами :

1. М (т) –масса всего перевозимого груза;
2. m (т/рейс)- грузоподъемность машины, т.е. масса, которую машина может перевести за 1 рейс;
3. k (рейс )-число рейсов машины .

Значит , в таблице нужны 3 строчки с соответствующими обозначениями. Поскольку в задаче речь идет о том , что с перевозкой сначала справлялась одна машина , а затем другая, значит, речь идет о двух процессах перевозки , т.е. в таблице кроме столбца «Величины»  нужны еще два столбца . Таблица заполняется данными задачи. За x удобно принять грузоподъемность I машины.

Связь величин: .

Решение. Обозначим грузоподъемность I машины  через  , где  .

Тогда грузоподъемность II машины будет -2)  . Значит , I машина должна была сделать     рейсов, а II сделала  рейсов. Разность между числом рейсов  II и I машины составила   рейсов , а по условию она равна 6 рейсам.

Следовательно, можно составить уравнение :

Решая это уравнение, получим :

ОДЗ: .

По теореме Виета :

Значит , , , но  не удовлетворяет условия задачи . Значение   входит в ОДЗ.

Ответ:  перевозки груза была намечена машина грузоподъемностью 5т.

В отличие от всех предыдущих задач , в которых сравнивались  два процесса , действовавшие автономно , ниже представлена задача на совместную работу , т.е. выделяемые процессы в ней как-то связаны . Поэтому нужно очень внимательно разобрать с учащимися ответы на приведенные в начале вопросы1-7.

Задача №4. Бассейн наполняется двумя трубами , действующими одновременно , за 2ч . За сколько часов может наполнить бассейн первая труба, если она , действуя одна, наполняет бассейн на 3 ч быстрее, чем вторая?

Решение.

Итак, о какой работе здесь идет речь? О работе по наполнению бассейна, объем которого обозначим через V условных единиц. Этот объем заполняется каждый час на (усл. ед) , т. е. N -  работа в единицу времени. Через  t обозначим число часов , необходимых для заполнения бассейна . Значит , в таблице нужны 3 строчки.

А о скольких процессах упоминается в условии? Речь идет о том ,что обе трубы могут выполнить работу (наполнить бассейн объемом  V усл. ед) одновременно- это один процесс. Далее сравниваются показатели по наполнению бассейна сначала I трубой, а затем  II трубой –это  еще два разных процесса. Таким образом , в составляемой таблице нужно отразить не два процесса, как было в ранее решенных задачах, а три.

Какие же величины нам известны, а какие нужно найти? Нужно найти, за сколько часов наполнит бассейн одна I труба. Обозначим эту величину через x. Это естественно. Если последующие обозначения приведут к неудобному уравнению , мы сможем рассмотреть вариант , когда через x обозначена какая-то другая величина. Обратим внимание, что только время измеряется понятными единицами – часами. В каких единицах измеряется объем бассейна , не сказано. Значит, для решения это несущественно , и мы вместо условных единиц и обозначения V может принять любое число . Возьмем самое удобное – 1.

Как же связаны величины в задаче ?  Для ответа на этот вопрос заполняем таблицу.

Замечание :  Ученики должны хорошо понимать, что  совместная работа, выполненная за 1 ч, равна сумме работ  I и II трубы за тот же час , иначе говоря, . Но нельзя то же самое сказать о времени совместной работы , которое будет меньше времени работы , которое будет меньше времени работы каждой трубы в отдельности  (). Связь  удобно тоже отметить прямо в таблице, чтобы обе связи между величинами были наглядно отражены, используем эту связь для составления уравнения:

Решая это уравнение, получим :

ОДЗ: .

По теореме Виета , получаем корни , , но  не удовлетворяет условия задачи .

Ответ:  I труба наполняет бассейн за 3 часа.