Учебный проект Магические квадраты
творческая работа учащихся по алгебре (5 класс) на тему

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
Средняя общеобразовательная школа № 44 города Тюмени

имени героя Советского Союза Ивана Ивановича Федюнинского

Учебный проект

Магические квадраты

Автор:

 Коржукова Дарья Викторовна,

Класс: 5 б                                                                                                                                        Научный руководитель:  

Тимченко Олеся Александровна

г. Тюмень

2014

СОДЕРЖАНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ
2. Откуда пришли к нам квадраты
3. Виды магических квадратов и способы их заполнения

1. Магические квадраты нечетного порядка
2. Магические квадраты четно-четного порядка
3. Магические квадраты четно-нечетного порядка

4. Применение магических квадратов.
5. Вывод

Введение.

Актуальность темы  и проблемы исследования обусловлена  выявленными противоречиями. С одной стороны, еще учёные древности считали количественные отношения основой сущности мира, и многие выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам, а с другой стороны  эта тема не рассматривается в школьном курсе математики. С одной стороны, раньше многим были известны способы составления магических квадратов, например  Бенджамин Франклин писал: «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял магические квадраты», а  с другой стороны, как показал опрос моих одноклассников, сегодня практически никто составлять магические квадраты не умеет. А между тем, изучение магических квадратов, их свойств может помочь в развитии познавательного интереса к предмету математики, к истории её развития, развитии любознательности и логического мышления.

Цель данной работы -  выяснить различные варианты составления магических квадратов, изучив которые можно заполнить  квадрат любого размера, а так же рассмотреть возможные области их применения.

В ходе работы были использованы следующие методы:

• поисковый метод (использование справочной и учебной литературы, а также  информационных ресурсов глобальной сети Интернет);
• практический метод (составление магических квадратов на основе полученных знаний);
• исследовательский  метод (составление психологического портрета личности по квадрату Пифагора).

Гипотеза - изучение свойств магических квадратов позволит определить общие способы их построения.

Задачи исследования:

• изучить историю возникновения и развития магических квадратов;
• изучить  свойства магических квадратов;
• ознакомиться с основными методами построения магических квадратов;
• научиться строить магические квадраты любого порядка;
• оформить результаты исследования.

В работе исследуется происхождение и формулируется определение магических квадратов, рассмотрены различные виды квадратов, способы их составления, а так же показана область применения этих загадочных фигур.

В ходе работы над проектом, я не только расширила свои знания по данной теме и повысила свои вычислительные навыки,  но и научилась составлять магический квадрат Пифагора, с помощью которого можно познать характер человека, состояние его здоровья, потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки. 

 Сроки проведения работы: с января по апрель 2014 учебного года.

Этапы работы:

• 1 этап – изучение проблемы ;
• 2 этап – сбор информации по проблеме ;
• 3 этап – обработка и анализ информации ;
• 4 этап – оформление документации;
• 5 этап – презентация учебного проекта .

Гипотеза - изучение свойств магических квадратов позволит определить общие способы их построения.

Задачи исследования:

• изучить историю возникновения и развития магических квадратов;
• изучить  свойства магических квадратов;
• ознакомиться с основными методами построения магических квадратов;
• научиться строить магические квадраты любого порядка;
• составление психологического портрета личности по квадрату Пифагора;
• оформить результаты исследования.

Предполагаемые результаты: научиться строить магические квадраты любого порядка; выяснить возможность применения магических квадратов в деятельности человека, а так же в математике или её приложениях.

                                                                        Высшее назначение математики – находить

 порядок в хаосе, который нас окружает.

Норберт Винер

Откуда пришли к нам квадраты?

Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим.

Страна, в которой был впервые придуман магический квадрат, точно неизвестна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Первые упоминания о магических квадратах были у древних китайцев. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (около 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на (рис. 1). Подсчитав количество кружков каждой из фигур, получим магический квадрат 3*3.

Первый рисунок на панцире священной черепахи (рис. 2)

               Рис.1                                                                               Рис.2

   Квадрат, найденный в Кхаджурахо (Индия)

Самый ранний уникальный магический квадрат обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо:

Это первый магический квадрат, относящийся к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов. 

Из Китая магические квадраты распространились сначала в Индию, а затем и в другие страны. В начале XVI  века  знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на гравюре «Меланхолия». Дата создания гравюры (1514 год) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки.

Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»

В IX веке. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры. Получение магических квадратов считалось популярным развлечением среди математиков. Ими создавались огромные квадраты, например, 45*45,  содержащий числа от 1 до 2025, Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество магических квадратов данного размера.

В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений. За последнее столетие  значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачки, связанные с необычными квадратами.

Виды магических квадратов и способы их заполнения.

 Магический квадрат Ян Хуэя (Китай)        

В 13 в. Математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были потом продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37):

Квадрат Альбрехта Дюрера

Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»

Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве

Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+8+9+15 и 3+5+12+14), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.

Квадраты Генри Э. Дьюдени и Аллана У. Джонсона-мл.

Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат — нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные простыми числами (хотя 1 в современной теории чисел не считается простым числом). Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) — квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия:

Есть еще несколько подобных примеров:

Последний квадрат, построенный в 1913 г. Дж. Н.Манси, примечателен тем, что он составлен из 143 последовательных простых чисел за исключением двух моментов: привлечена единица, которая не является простым числом, и не использовано единственное чётное простое число 2.

Используем метод, описанный столетием позже, в 1612 году, французским математиком Клодом Баше де Мезириаком.

Магический квадрат удобно строить на бумаге в клетку. Пусть n – нечётное число, и нужно построить квадрат n х n с числами от 1 до n2. Действуем поэтапно. 

1. Все числа от 1 до n2 записываем в клеточки по диагонали (по n чисел в ряд), чтобы образовался диагональный квадрат. 

2. Выделяем в его центре квадрат n х n. Это и есть основа (ещё не все клетки заполнены) будущего магического квадрата.

3. Каждый находящийся вне центрального квадрата числовой «уголок» аккуратно переносим внутрь – к противоположной стороне квадрата. Числа этих «уголков» должны заполнить все пустые клетки.

Магический квадрат построен. Теперь можно проверить, что в таком магическом квадрате n х n из первых n2 натуральных чисел сумма чисел по каждой линии (строка, столбец, диагональ) в точности равна

В ходе своей работы, я пришла к выводу, что магических квадратов 2*2 не существует. Квадрат размером 2*2 должен был бы состоять из чисел 1,2,3,4, а его постоянная была бы равна 5. У такого квадрата по две строки, столбца и диагонали. Чтобы квадрат стал магическим, надо представить число 5 в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами, но это сделать не возможно! Ведь таких комбинаций всего две: 1+ 4 и 2+3. Как ни расставляй числа в клетках таблицы, их сумма будет равна 5 либо в каждой строке, либо в обоих столбцах, либо по диагоналям, но никак не одновременно.

Существует единственный магический квадрат 3*3, так как остальные магические квадраты 3*3 получаются из него либо перестановкой строк или столбцов либо путем поворота исходного квадрата на 900 или на 1800

Общий метод построения квадратов неизвестен. Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того, каков порядок квадрата. Квадраты могут быть:

- нечетными, то есть состоять из нечетного числа клеток,

- четно-четные, то есть порядок равен удвоенному четному;

- четно-нечетные, то есть порядок равен удвоенному нечетному.

Магические квадраты нечетного порядка.

Магические квадраты четно-четного порядка.

Магические квадраты четно-нечетного порядка.

Применение магических квадратов.

Когда я рассмотрела способы составления магических квадратов, меня заинтересовала область их применения. Она показалась мне довольно таки интересной. Сегодня очень актуальным становится вопрос о защите информации. Например, на уроке информатики изучают тему кодирование. С помощью магических квадратов так же можно закодировать информацию. Например, зашифровать текст. Расположив буквы согласно числам магического квадрата, получаем фразу «БУДУ В СЕМЬ» или «КЛЮЧИ ПОД КОВРИКОМ».

Так же очень популярна японская головоломка судоку, прародителем которой можно считать Магический квадрат. Она помогает нам развивать логическое мышление и вычислительные навыки. В настоящее время много  газет печатают эти головоломки вместе с кроссвордами и другими логическими задачами. Не меньшую популярность завоевали судоку и в сети Интернет.

Англичане используют площадку для игры в шаффлборд, размеченную в виде магического квадрата.

Ну, и, конечно же, в нумерологии. Еще великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате его рождения. Он создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально. Сейчас есть специальная программа, где вводится дата рождения человека, а на экран выводится готовый магический квадрат. 

Великий ученый Пифагор, основавший религиозно-философское учение, провозгласившее количественные отношения основой сущности вещей, считал, что сущность человека заключается тоже в числе – дате рождения. Поэтому с помощью магического квадрата Пифагора можно познать характер человека, степень отпущенного здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования.

Для того чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаем расчет. Составлю магический квадрат для себя.

 Возьмем дату рождения 31.10.1999г. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без нулей): 3+1+1+1+9+9+9=33. Далее складываем цифры результата: 3+3=6. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 33-6=27. И вновь складываем цифры последнего числа: 2+7=9. Получили числа 31.10.1999,33,6,27,9.

И составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки – в ячейку 2 и т.д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате квадрат будет выглядеть следующим возрастом.

 Ячейки квадрата означают следующее:

Ячейка 1 – целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.

1 – законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.

11 – характер, близкий к эгоистическому.

111 – «золотая середина», Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.

1111 – люди сильного характера, волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных – профессионалов, а женщины держат семью в кулаке.

11111 – диктатор, самодур.

111111 – человек жестокий, способный совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой-то идеи.

      Ячейка 2 – биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность. Количество ячеек определяет уровень биоэнергетики.

Двоек нет – открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.

2 – обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.

22 – относительно большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого бывают нервные стрессы.

222 – знак экстрасенса.

      Ячейка 3 – точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к  постоянному «восстановлению справедливости».

      Нарастание троек усиливает эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.

      Ячейка 4 – здоровье. Это связано с энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека.

4 – здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуется плавание и бег.

44 – здоровье крепкое.

444 и более – люди с очень крепким здоровьем.

     Ячейка 5 – интуиция, ясновидение, начинающее проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.

Пятерок нет – канал связи с космосом закрыт. Эти люди часто ошибаются.

5 – канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию, извлечь из нее максимальную пользу.

55 – сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии – юрист, следователь.

555 – почти ясновидящие.

5555 – ясновидящие.

      Ячейка 6 – заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка.

Шестерок нет – этим людям необходим физический  труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок.

6 – могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования.

66 – люди очень заземлены, тянуться к физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность, либо занятия искусством.

666 – знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в обществе центром внимания.

6666 – эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не представляют свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть девятки, им обязательно нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее образование.

      Ячейка 7 – количество семерок определяет меру таланта.

7 – чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.

77 – очень одаренные, музыкальные люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобразительному искусству.

777 – эти люди, как правило, приходят на землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность.

7777 – знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.

      Ячейка 8 – карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.

Восьмерок нет – у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.

8 – натуры ответственные, добросовестные, точные.

88 – у этих людей развито чувство долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким.

888 – знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов.

8888 – эти люди обладают парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным наукам.

      Ячейка 9 – ум, мудрость. Отсутствие девяток – свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.

9 – эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.

99 – эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко. Они наделены чувством юмора с ироничным оттенком, независимые.

999 – очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.

9999 – этим людям  открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих начинаний.

Итак ,решая магические квадраты, мы:

- учимся мыслить, совершенствуем математический счет ;

- можем предсказывать свою судьбу.

Вывод

В условиях отсутствия компьютеров и ограниченного пространства доступных числовых конструкций, магические квадраты десятки веков приводили людей в неописуемый, доходящий до экзальтации восторг, когда они как чуду внимали совершенству незатейливых суммирующих закономерностей.

Сегодня этим уже никого не удивишь. Человек научился строить магические квадраты самой разной природы и порядка. И то, что раньше казалось таинством, сегодня представляется ремеслом.

В моей работе представлены вопросы, связанные с историей развития одного из интересных вопросов математики, - магических квадратов. Рассмотрены некоторые способы их построения и описаны некоторые их свойства.

Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию многих разделов современной математики: теории групп, матриц, комбинаторного анализа.

Были решены поставленные задачи: я изучила историю возникновения и развития магических квадратов и изучила свойства магических квадратов. Ознакомилась с основными методами построения магических квадратов. Результаты исследования оформлены в виде текста исследовательской работы и слайд-презентации.

Была достигнута цель исследования: были определены  общие способы построения магических квадратов произвольного порядка.

Материалы данного исследования могут быть использованы при подготовке к олимпиадам по математике, на математических кружках и факультативах, при проведении внеклассных мероприятий с целью развития и расширения познавательного кругозора, развития логического мышления.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. - М.: Мир, 1971.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: Просвещение, 2007.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. -- М.: Просвещение, 2006.
4. История мировой культуры. - М.: Изобразительное искусство, 1983.
5. Климченко Д.В. Задачи для любознательных: Кн. для учащихся 5-6 кл.-М.: Просвещение, 1999.
6. Сарвина Н.М. Неожиданная математика // Математика для школьников 2005, №4
7. Трошин В.В.. Магия чисел и фигур. М.: - ООО «Глобус», 2007.
8. Файнштейн В. А. Заполним магический квадрат // Математика в школе, 2000, №3
9. Шарыгин И., Ф. Шевкин А. В. Подумай и реши: задачи на смекалку. - М.: ГАЛАС, 1993.
10. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика, 1985.
11. Энциклопедия для детей. – М.: Издательское объединение «Аванта», 2003.
12. http://www.klassikpoez.narod.ru/mojmetod.htm
13. http://nsportal.ru/shkola/raznoe/library