Показательные уравнения.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Показательные уравнения.

   Специфика решения уравнений рассматриваемого класса по сравнению с алгебраическими состоит в расширении методов и формул преобразований, в частности добавляются две взаимно обратные операции – логарифмирование и потенцирование; в пополнении списка замен, целью которых, как правило, является сведение данного уравнения к алгебраическому; и наконец, в добавлении двух элементарных уравнений:

   Если вместо x в показателе степени стоит некоторая функция , т.е. уравнение имеет вид , то логарифмируя обе части этого уравнения, приходим к эквивалентному уравнению  .

Показательное уравнение вида , где

решается также путем логарифмирования обеих частей уравнения по основанию а. Эквивалентное ему уравнение  

Решение простейших показательных уравнений.

Некоторые показательные уравнения приводятся к виду (1) или (2) с помощью равенств: ,     ,      

=     

Пример 1. Решить уравнение :  .

Решение:  Приведем степень в правой части хранения к основанию  

  Исходное уравнение имеет вид

Логарифмируя по основанию ,  получим x= -4

Ответ: - 4.

Пример 2.  Решить уравнение:

Решение:  

;

      т.к.  

Логарифмируя по  основанию 3 получим.

Ответ: 0.

Примеры решения показательных уравнений.

 Пример 1.     .

Представим первую часть в виде произведения, получим

 ,равносильное данному

 .

Ссылаясь на монотонность показательной функции, получим ответ: x=2.

Пример 2.       .

Представив уравнение в виде   и, приравнивая показатели, приходим к уравнению  . Перепишем последнее уравнение в виде   .  Т.к.   , а  ,

То правая и левая части равны 3, откуда   и   .

Поэтому  .  Ответ:   n .

  Пример 3.  .

Область определения  x. Записав   и  , получим уравнение.

 .           Т.к. функция  монотонная, то равны показатели

 . Левая часть полученного уравнения  , следовательно, и правая часть   . Приходим к системе  равносильной исходному уравнению .    

Она сводится к системе    Решением служит х=24.

Ответ: х=24.

Пример 4.           . Перепишем в виде:

                               Положим t= и решим квадратное уравнение:   

Из двух его корней      и     условию    удовлетворяет лишь второй:   . Итак,   ,     Ответ:    

Пример 5.            т.к.      при любых  , разделим на  ;   Итак,  ,    т.е. ,   следовательно,       Ответ:                                

Пример 6.             Решить уравнение:   .  

Решение:  Перепишем данное уравнение в виде   

Используя свойство членов пропорции, имеем   ,    ,

Преобразуем  ,    ,   ,   .    Ответ: 4.

Пример 7.          .

Решение: обозначим       и, произведя замену переменных, получаем квадратное уравнение:                                                                      

   ,   ,    Значит  это уравнение решений

 ,    ,        не имеет т.к.   при всех допустимых значениях. Из первого уравнения получаем:  .

Уединяя радикал и возводя обе части уравнения в квадрат,  имеем                      

.   Приводя подобные члены, получаем единственный корень   .   Проверкой убеждаемся, что этот корень удовлетворяет исходному уравнению.    Ответ:   .

Пример 8.     Решить уравнение:     .

Решение                         

  .  Ответ:  .

Пример 9.  Решить уравнение:         

Решение:  Преобразуем  2-ое слагаемое  1.  

                       Подставим в (1), получим  2.  

                                                                         .

                                                                         = 4    

                                                                         ,  

                                                                          .          .

                                             Ответ:    ;   9 .  

Пример 10.    Решить уравнение:   .                  

Решение:  , корень может быть найден подбором, других решений уравнение не имеет, т.к.  монотонно убывает, а  монотонно возрастает и значит, графики функций могут пересечься не более одного раза.        Ответ:  .