Стереометрия 11 класс
проект по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 1

Тема урока: Решение уравнений Девиз урока : Математика, друзья, Абсолютно всем нужна На уроке работай старательно, И успех тебя ждёт обязательно !

Слайд 2

1) х + 17 = 6 6) 24 – (у + 12) =9 2) а – 51 = 65 7) (85 – х) + 7 = 13 3) 117 = у + 53 8) (36 + р) – 54 = 17 4) 43 – с =19 9) 99 = 54 + (п – 29) 5) 62 = 80 – к 10) (46 + х ) + 35 =118

Слайд 3

Математическая разминка Устный счёт: 1)15х6 2)100-19 3)60-11 4)88-19 :18 :3 :7 :23 х19 +23 х15 х15 +6 х4 -26 +55 ____ ____ ____ ____ ? ? ? ?

Слайд 4

Фронтальная работа Найдите значение выражения удобным способом : 1) 4716 – (2716 +300) = 2) (1614 +244) + 56 = 3) (847 + 816) – 716 = 4) 9111 – ( 590 + 8111) = 5) (227 + 358) – (127 + 258) =

Слайд 5

Угадай – ка: Какие из чисел 4; 2; 8 являются корнями уравнения: 16:х = 10 - х

Слайд 6

Самостоятельная работа (комбинаторная задача) № 323 на стр.52 в учебнике: I вариант : Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, если цифры в записи числа не повторяются ? II вариант : Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, если цифры в записи числа повторяются ?

Слайд 7

Домашнее задание: 1) Из С-10 дидактического сборника Решить задание №1 из варианта Б1 2)Каталымов, Савельева, Орлова М, Фольк, Кузнецов – №1 и №2 варианта Б1 из С-10

Слайд 8

Спасибо за урок !

Слайд 1

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Расстоянием между двумя не пересекающимися прямыми в пространстве называется длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым.

Слайд 2

Первый способ сводится к нахождению расстояния от точки до плоскости Идея заключается в построении: а) двух параллельных плоскостей, каждая из которых проходит через одну из скрещивающихся прямых, параллельно другой скрещивающейся прямой. Расстояние между этими плоскостями будет искомым. б) в построении плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых, параллельно другой. Расстояние от любой точки второй прямой до построенной плоскости будет искомым.

Слайд 3

Если одна из двух данных прямых лежит в плоскости, а другая – параллельна этой плоскости, то расстояние между данными прямыми равно расстоянию между прямой и плоскостью.

Слайд 4

Второй способ нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми основан на методе ортогонального проектирования. Расстояние между скрещивающимися прямыми от точки, являющейся проекцией одной из данных прямых на перпендикулярную ей плоскость до проекции другой прямой на эту плоскость. Угол между второй прямой и указанной ей проекцией дополняет до 90 ° угол между данными скрещивающимися прямыми.

Слайд 5

Если ортогональная проекция на плоскость переводит прямую a в точку A ’ , а прямую b в прямую b ’ , то расстояние AB между прямыми a и b равно расстоянию A ’ B ’ от точки A ’ до прямой B ’ .

Слайд 6

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и B 1 C 1 .

Слайд 7

Ответ: . Продолжим стороны B 1 C 1 и A 1 F 1 до пересечения в точке G . Треугольник A 1 B 1 G равносторонний. Его высота A 1 H является искомым общим перпендикуляром, длина которого равна . Решение.

Слайд 8

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и C 1 D 1 .

Слайд 9

Ответ : . Искомым общим перпендикуляром является отрезок A 1 C 1 . Его длина . Решение.

Слайд 10

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1 .

Слайд 11

Ответ : . Искомым расстоянием является расстояние между параллельными плоскостями ADD 1 и BCC 1 . Расстояние между ними равно . Решение.

Слайд 12

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CD 1 .

Слайд 13

Ответ : . Искомым общим перпендикуляром является отрезок AC . Его длина равна . Решение.

Слайд 14

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и DE 1 .

Слайд 15

Ответ : . Искомым общим перпендикуляром является отрезок A 1 E 1 . Его длина равна . Решение.

Слайд 16

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BD 1 .

Слайд 17

Искомым общим перпендикуляром является отрезок AB . Его длина равна 1 . Ответ: 1. Решение.

Слайд 18

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CE 1 .

Слайд 19

Ответ : . Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью CEE 1 . Оно равно . Решение.

Слайд 20

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BE 1 .

Слайд 21

Ответ : . Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью BEE 1 . Оно равно . Решение.

Слайд 22

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и CF 1 .

Слайд 23

Ответ: . Искомым расстоянием является расстояние между прямой AA 1 и плоскостью CFF 1 . Оно равно . Решение.

Слайд 24

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между прямыми: AB 1 и DE 1 .

Слайд 25

Решение. Ответ : . Искомым расстоянием является расстояние между параллельными плоскостями ABB 1 и DEE 1 . Расстояние между ними равно .

Слайд 26

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между прямыми: AB 1 и CF 1 .

Слайд 27

Ответ: Искомым расстоянием является расстояние между прямой AB 1 и плоскостью CFF 1 . Оно равно . Решение.

Слайд 28

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между прямыми: AB 1 и BC 1 .

Слайд 29

Пусть O , O 1 –центры граней призмы. Плоскости AB 1 O 1 и BC 1 O параллельны. Плоскость ACC 1 A 1 перпендикулярна этим плоскостям. Искомое расстояние d равно расстоянию между прямыми AG 1 и GC 1 . В параллелограмме AGC 1 G 1 имеем AG = ; AG 1 = . Высота, проведенная к стороне AA 1 равна 1. Следовательно , d = . Ответ : Решение.

Слайд 30

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB 1 и BD 1 .

Слайд 31

Рассмотрим плоскость A 1 B 1 HG , перпендикулярную BD 1 . Ортогональная проекция на эту плоскость переводит прямую BD 1 в точку H , а прямую AB 1 – в прямую GB 1 . Следовательно искомое расстояние d равно расстоянию от точки H до прямой GB 1 . В прямоугольном треугольнике GHB 1 имеем GH = 1; B 1 H = . Следовательно, d = . Ответ: Решение.

Слайд 32

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AB 1 и BE 1 .

Слайд 33

Рассмотрим плоскость A 1 BDE 1 , перпендикулярную AB 1 . Ортогональная проекция на эту плоскость переводит прямую AB 1 в точку G , а прямую BE 1 оставляет на месте . Следовательно искомое расстояние d равно расстоянию GH от точки G до прямой BE 1 . В прямоугольном треугольнике A 1 BE 1 имеем A 1 B = ; A 1 E 1 = . Следовательно, d = . Ответ : Решение.

Слайд 1

Геометрия в Заданиях ЕГЭ

Слайд 2

Результаты ЕГЭ по математике 2013 В этом году экзамен сдавали 860 840 человек. 754 776 из них – выпускники текущего года. То есть, 106 064 человека сдавали ЕГЭ повторно, либо впервые – для поступления в вуз. Всего было проведено 2 888 104 «человек-экзаменов» (если расценивать присутствие одного человека на экзамене как отдельный экзамен). Таким образом, было сдано 1 166 424 человек-экзамена по выбору.

Слайд 3

Средний тестовый балл по математике в России 48,7. 538 выпускников сдали ЕГЭ по математике на 100 баллов. 7 человек из Саратовской области получили 100 баллов. 43% выпускников не приступили к части С с развернутым решением. Результаты ЕГЭ по математике 2013

Слайд 4

Согласно результатам пересдач и апелляций, 2,24 % учеников (16 635 человек) не получили аттестат о среднем (полном) общем образовании. В том числе, около 500 человек были лишены права пересдать ЕГЭ в текущем году за нарушение правил сдачи ЕГЭ. Более того, в Якутии возбуждено 5 дел об административном правонарушении. Результаты ЕГЭ по математике 2013

Слайд 5

Если говорить об образовательных тенденциях, то, как отмечают организаторы ЕГЭ, они не самые радужные. К сожалению, говорить о росте образованности пока не приходится, особенно в точных науках. К примеру, задание B1 – про таблетки – не выполнили 150 000 учащихся (около 17 %). Один из учащихся даже предложил в ответе дать ребёнку 31 500 таблеток. В целом экзамен по математике показал незначительный – на 4 тестовых балла – рост общероссийского среднего балла ЕГЭ. Результаты ЕГЭ по математике 2013

Слайд 6

Результаты ЕГЭ по математике 2013 Всего в Саратове над тестами и задачками размышляли более четырех тысяч выпускников. Из них почти две сотни, 197 человек, провалили этот экзамен - школьники набрали меньше 24 баллов (тот минимальный порог, который нужно преодолеть ). А вот отличниками стали всего четверо саратовских одиннадцатиклассников - точная наука явно далась школьникам сложнее, чем родной язык. На ЕГЭ по русскому, напомним, максимальный балл набрали 24 ученика.

Слайд 7

Результаты ЕГЭ по математике 2013 Тем не менее этот результат все равно лучше прошлогодних: для сравнения, в 2011 году ЕГЭ по математике в Саратове на сто баллов написал лишь один ученик, а в 2012 году и вовсе никому не удалось не сделать ни одной ошибки. Средний балл по городу также увеличился и составил 54,3, тогда как в 2012 году школьники набирали 42,6.

Слайд 8

Расстояние от точки до плоскости

Слайд 9

C 2. Радиус основания конуса равен 5, а его высота равна 12. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 6. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения. Сечение конуса плоскостью, содержащей его вершину S и хорду - треугольник ASB. В равных прямоугольных треугольниках SOA и SOB, где О — центр основания конуса, откуда Пусть SH — высота и медиана равнобедренного треугольника ASB, Тогда отрезок ОН — высота и медиана равнобедренного треугольника AOB, Плоскость SOH перпендикулярна плоскости ASB, так как прямые SH и OH перпендикулярны прямой АВ. Поэтому расстояние от точки О до плоскости ASB равно высоте ОМ прямоугольного треугольника SOH, проведенной к гипотенузе

Слайд 10

Расстояние от точки до прямой

Слайд 11

C 2. Длины ребер AB, AA 1 и AD прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равны соответственно 12, 16 и 15. Найдите расстояние от вершины A 1 до прямой BD 1 . Из вершины А 1 опускаем перпендикуляр на В D 1 . Так как А 1 D 1 перпендикулярна плоскости АА 1 В, то А 1 D 1 перпендикулярен А 1 В. Следовательно А 1 Е- высота прямоугольного треугольника А 1 BD 1 . Ответ:12.

Слайд 12

Задачи на сечение

Слайд 13

C 2. Точка Е — середина ребра ВВ 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Найдите площадь сечения куба плоскостью D 1 AE , если ребра куба равны 4 . Прямая АЕ пересекает прямую А 1 В 1 в точке К, а прямая D 1 K пересекает С 1 В 1 в его середине , точке F . Искомое сечение – плоскость D 1 FEA. Из подобия треугольников AD 1 K и EFK следует, что М Высота КМ= h , ее длину находим из треугольника АМК Ответ:18 .

Слайд 14

C 2. В правильной треугольной пирамиде SABCD с основанием ABC сторона основания равна 8, а угол ASB равен 36°. На ребре SM взята точка M так, что AM- биссектриса угла SAC. Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через точки A , M и B. Нужное сечение — треугольник AMB . Рассмотрим треугольник ASC. Он равнобедренный, , поэт o му Зна­чит,

Слайд 15

Рассмотрим теперь треугольник CAM . Сумма его углов 180 0 , значит, угол АМС равен 72 0 . Следовательно, треугольник САМ равнобедренный, и поэтому АМ=АС=8. Аналогично находим, что ВМ=8. Таким образом, треугольник АМВ равносторонний со стороной 8. Его площадь равна

Слайд 16

C 2. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 6, боковые рёбра равны 4. Изобразите сечение, проходящее через вершины A, B и середину ребра A 1 C 1 .Найдите его площадь . Обозначим через М и N середины ребер А 1 С 1 и В 1 С 1 соответственно. По теореме о средней линии треугольника так что прямые MN и AB лежат в одной плоскости . Значит сечением призмы является равнобокая трапеция AMNB. Основания АВ=6, М N =3.

Слайд 18

Угол между прямыми

Слайд 19

C 2 . Точка E - середина ребра куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Найдите угол между прямыми AE и CA 1 . Примем ребро куба за единицу. Тогда Проведём через точку A 1 прямую, параллельную AE . Она пересекает продолжение ребра BB1 в точке F , причём Искомый угол равен углу CA 1 F (или смежному с ним). В прямоугольном треугольнике A 1 B 1 F с прямым углом B 1

Слайд 20

В прямоугольном треугольнике CBF с прямым углом B В треугольнике CA 1 F

Слайд 21

C 2 . В правильном тетраэдре ABCD найдите угол между высотой DH тетраэдра и медианой BM боковой грани BCD . Пусть длина ребра тетраэдра равна a , угол ВМК искомый, тогда имеем:

Слайд 22

C 2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми SB и CD . Вместо прямой CD рассмотрим параллельную ей прямую BE . Искомый угол равен углу SBE . Треугольник SBE равносторонний, поскольку большая диагональ правильного шестиугольника вдвое больше его стороны: ВЕ=2С D Следовательно, угол CBE=60 0 . Ответ: 60 0

Слайд 23

Угол между плоскостями

Слайд 24

C 2 . В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точка M - середина ребра SA, точка K - середина ребра SB. Найдите угол между плоскостями CMK и ABC, если SC=8, BC=6. Проведем перпендикуляр CQ к MK, так как треугольник CMK равнобедренный, то Q - середина MK. Из точки Q опустим перпендикуляр QP на плоскость основания. Точка P лежит на медиане CL треугольника ABC. Прямая MK параллельна прямой пересечения плоскостей CMK и ABC, QP перпендикулярен MK и CQ перпендикулярен MK. Следовательно, угол QCP — линейный угол искомого угла между плоскостями.

Слайд 26

C 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны ребра: AB=6, AD=8, CC 1 =16. Найдите угол между плоскостями ABC и A 1 DB. Плоскости ABC и A 1 DB имеют общую прямую BD. Проведем AH перпендикуляр к BD. По теореме о трех перпендикулярах A 1 H перпендикулярен BD . Значит, линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и A 1 DB — это угол A 1 HA. Из прямоугольного треугольника BAD находим:

Слайд 27

Из прямоугольного треугольника A 1 AH находим: Значит, искомый угол равен

Слайд 28

Угол между прямой и плоскостью

Слайд 29

C 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны AB=2, AD=AA 1 =1. Найдите угол между прямой AB 1 и плоскостью ABC 1 . Плоскости ABC 1 и BCC 1 перпендикулярны . Перпендикуляр из точки B 1 к плоскости ABC 1 лежит в плоскости BCC 1 и пересекает прямую BC 1 в точке E . Значит, искомый угол равен углу B 1 AE .

Слайд 30

В прямоугольном треугольнике B 1 AE катет гипотенуза Поэтому

Слайд 31

C 2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер AS и BC. Пусть M и N — середины ребер AS и AN соответственно. AN- медиана правильного треугольника ABC, следовательно, находится по формуле Прямая AS проецируется на плоскость основания и прямую AN. Поэтому проекция точки M- точка M 1 лежит на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN, следовательно, угол MNM 1 искомый.

Слайд 32

Поскольку MM 1 параллелен SO , где О- центр основания, MM 1 средняя линия треугольника SAO Из прямоугольного треугольника MM 1 N находим

Слайд 33

Спасибо за внимание!

Слайд 1

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на данную плоскость. Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой плоскостью прямой угол.

Слайд 2

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой и плоскостью AA 1 и A B 1 C 1 . Ответ : 45 o .

Слайд 3

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой и плоскостью AA 1 и BC 1 D . Ответ:

Слайд 4

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой и плоскостью AB 1 и BCC 1 . Ответ: 45 o .

Слайд 5

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой и плоскостью AB 1 и ABC 1 . Ответ: 30 o .

Слайд 6

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой и плоскостью AB 1 и BC 1 D . Ответ: 0 o .

Слайд 7

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой и плоскостью AB 1 и BB 1 D 1 . Ответ: 30 o .

Слайд 8

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой и плоскостью AC 1 и BCC 1 . Ответ:

Слайд 9

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой и плоскостью AC 1 и BB 1 D 1 . Ответ:

Слайд 10

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прям ой и плоскостью AC 1 и BA 1 D . Ответ: 90 o .

Слайд 1

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ В ПРОСТРАНСТВЕ Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

Слайд 2

В кубе A … D 1 найдите у гол между прямыми: A 1 C 1 и B 1 D 1 . Ответ: 90 o .

Слайд 3

В кубе A … D 1 найдите у гол между прямыми: AA 1 и BC . Ответ: 90 o .

Слайд 4

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прямыми: AA 1 и BC 1 . Ответ: 45 o .

Слайд 5

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прямыми: AA 1 и BD 1 . Ответ:

Слайд 6

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прямыми: AB 1 и BC 1 . Ответ: 60 o .

Слайд 7

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прямыми: AB 1 и CD 1 . Ответ: 90 o .

Слайд 8

В кубе A … D 1 найдите уг ол между прямыми: AB 1 и BD 1 .

Слайд 9

Ответ: 90 o . Ортогональная проекция BD 1 на плоскость ABB 1 есть прямая A 1 B , перпендикулярная AB 1 . По теореме о трех перпендикулярах, прямая BD 1 также будет перпендикулярна AB 1 , т.е. искомый угол равен 90 о . Решение.