Метод проектов на уроках математики
проект по алгебре (8 класс) на тему

Опубликовано 20.09.2016 - 21:00 - Колесникова Ирина Леонидовна

В традиционной модели образования хорошим учеником считается послушный и исполнительный ученик, выполняющий все задания учителя без лишнего обсуждения и раздумывания, по инструкции и в срок. В таком режиме работать значительно проще и учителю и ученику.

Но условия современной жизни ставят перед образованием другие задачи и инициативность предпочтительнее, чем исполнительность. Эта черта личности сегодня скорее гарантирует успех в жизни, мобильность и готовность к решению проблем различного характера.

Мечтой большинства педагогических работников является наиболее полное раскрытие возможностей и способностей каждого ученика, развитие его неповторимой индивидуальности. В связи с этим необходимо преобразовать авторитарный процесс обучения в процесс сотрудничества учителя и ученика по самообразованию, саморазвитию каждого школьника.

Скачать:

Вложение	Размер
proekt_kak_metod_obucheniya.docx	83.39 КБ

Предварительный просмотр:

Метод проектов на уроках математики

Умение учащихся самостоятельно добывать знания и совершенствовать очень важно, потому что современному обществу, производству нужны работники и руководители, способные быстро и правильно решать постоянно возникающие конкретные задачи, вести диалог с коллегами и партнерами, самостоятельно принимать решения. Поэтому на уроках используются технологии, отвечающие современным требованиям. Одной из таких технологий является “технология проектов”. Суть и идея ее заключается в организации самостоятельной, поисковой, творческой деятельности учащихся.

В основу «технологии проектов» положена идея о направленности учебно-познавательной деятельности школьников на результат, который получается при решении той или иной практической или теоретической значимой проблемы. Внешний результат можно увидеть, осмыслить, применить в реальной практической деятельности. Внутренний результат – опыт деятельности – становится достоянием учащегося, соединяя в себе знания и умения, компетенции и ценности.

Проектная деятельность учащихся дает наилучшие результаты в старших классах. Но подготовка к серьезной проектной деятельности начинается еще в 5-8 классах.

Пример проектной работы.

Тема проекта: «Виды уравнений и способы их решений».

Участники проекта: ученики 8 класса.

Сроки реализации проекта: две недели.

Результат: защита проектов, а затем оказание помощи одноклассникам, испытывающим затруднения по данному учебному материалу.

Задания для групп (в каждой группе 2-3 человека):

Задание для группы 1.

Сбор информации по теме «Линейные уравнения, методы их решения» (использование материалов учебников алгебры 7-8, справочников, Интернета).
Подбор15-30 уравнений по данной теме (вместе с решением).
Оформление отчёта о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).
Подготовка к защите проекта.
Защита проекта (презентация).

Задание для группы 2.

Сбор информации по теме «Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, методы их решения» (использование материалов учебников алгебры 7-8, справочников, Интернета).
Подбор15-30 уравнений по данной теме (вместе с решением).
Оформление отчёта о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).
Подготовка к защите проекта.
Защита проекта (презентация).

Задание для группы 3.

Сбор информации по теме «Дробно-рациональные уравнения, методы их решения» (использование материалов учебников алгебры 7-8, справочников, Интернета).
Подбор15-30 уравнений по данной теме (вместе с решением).
Оформление отчёта о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).
Подготовка к защите проекта.
Защита проекта (презентация).

Задание для группы 4.

Сбор информации по теме «Уравнения высших порядков, методы их решения» (использование материалов учебников алгебры 7-8, справочников, Интернета).
Подбор15-30 уравнений по данной теме (вместе с решением).
Оформление отчёта о проделанной работе: теория + практические задания («бумажный» вариант).
Подготовка к защите проекта.
Защита проекта (презентация).

Результаты проекта:

Для учеников работа над учебными проектами — это возможность максимального раскрытия их творческого потенциала. Это деятельность, позволяет проявить себя индивидуально или в группе, попробовать свои силы, приложить свои знания, принести пользу, показать публично достигнутый результат. Это деятельность, направленная на решение интересной проблемы, сформулированной зачастую самими учащимися в виде задачи, когда результат этой деятельности — найденный способ решения проблемы — носит практический характер, имеет важное прикладное значение и, что весьма важно, интересен и значим для самих открывателей.

Приложение 1.

Линейные уравнения.

Определение:

Уравнение вида ax + b = 0, где a , b – некоторые числа x – переменная, называется линейным уравнением.

Алгоритм решения линейного уравнения

Если a ≠ 0, то линейное уравнение имеет единственный корень x = -

Пример: 2x – 3 + 4(x -1) = 5

2x – 3 + 4x – 4 = 5

6x = 5 + 4 + 3

6x = 12

x = 12 : 6

x = 2

Ответ: 2

Если a = 0; b ≠ 0, то линейное уравнение не имеет решений.

Пример: 2x – 8 – 2( x – 2 ) = 0

2x – 8 – 2x + 4 = 0

-4 = 0

Ответ: решений нет!

Если a = 0; b =0, то x – любое число.

Пример: 3x + 6 – 3( x + 2 ) = 0

3x + 6 – 3x – 6 = 0

0 = 0

Ответ: x – любое число.

Примеры и решения линейных уравнений.

6х – 12 = 5х + 4 2. -9а + 8 = -10а – 2

6х – 5х = 12 + 4 -9а + 10а = -8 - 2

1х = 16 1а = -10

х = 16 : 1 а = -10 : 1

х = 16 а = -10

Ответ: 16 Ответ: -10

3. 7m + 1 = 8m + 9 4. 4 + 25y = 6 + 24y

7m – 8m = 9 – 1 25y – 24y = 6 - 4

-1m = 8 1y = 2

m = 8 : (-1) y = 2 : 1

m = -8 y = 2

Ответ: -8 Ответ: 2

5. 11 – 5z = 12 – 6z 6. 4k + 7 = -3 + 5k

-5z + 6z = 12 – 11 4k – 5k = -3 - 7

1z = 1 -1k = -10

z = 1: 1 k = -10 : (-1)

z = 1 k = 10

Ответ: 1 Ответ: 10

7. -40 * ( -7x + 5 ) = -1600 8. ( -20x – 50 ) * 2 = 100

280x – 200 = -1600 -40 – 100 = 100

280x = -1600 + 200 -40 = 100 + 100

280x = -1400 40x = 200

x = -1400 : 280 x = 200 : 40

x = -5 x = 5

Ответ: -5 Ответ: 5

9. 2.1 * ( 4 – 6y ) = -42 10. -3 * ( 2 – 15x ) = -6

8.4 – 12.6y = -42 -6 + 45x = -6

-12.6 = -42 – 8.4 45x = -6 + 6

-12.6 = -50.4 45x = 0

y = -50.4 : ( -12.6 ) x = 0 : 45

y = 4 x = 0

Ответ: 4 Ответ: 0

11. 13 – 5x = 8 – 2x 12. 5x + ( 3x – 7 ) = 9

-5x + 2x = 8 – 13 5x + 3x – 7 = 9

-3x = -5 8x = 16

x = -5 : ( -3 ) x = 16 : 8

x = 1, 2/3 x = 2

Ответ: 1, 2/3 Ответ: 2

13. 4y + 15 = 6y + 17 14. 3y – (5 – y) = 11

4y – 6y = 17 – 15 3y – 5 + y = 11

-2y = 2 4y = 16

y = 2 : ( -2 ) y = 16 : 4

y = -1 y = 4

Ответ: -1 Ответ: 4

15. -27x + 220 = 5x 16. -2x + 16 = 5x - 19

-27x + 5x = - 220 -2x – 5x = -19 - 16

-22x = -220 -7x = -35

x = -220 : ( -22 ) x = -35 : ( -7 )

x = -10 x = 5

Ответ: -10 Ответ: 5

17. 25 – 3b = 9 – 5b

-3b + 5b = 9 – 25

2b = 16

b = -16 : 2

b = -8

Ответ: -8

18. 3 * (4x – 8 ) = 3x – 6

12x – 24 = 3x – 6

9x = 18

x = 18 : 9

x = 2

Ответ: 2

19. -4 * ( -z + 7) = z + 17

-4z – 28 = z + 17

-5z = 45

z = 45 : ( -5 )

z = -9

Ответ: -9

20. c -32 = ( c + 8 ) * ( -7 )

c – 32 = -7c – 56

8c = 24

c = 24 : 8

c = -3

Ответ: -3

21. 12 – 2 * ( k + 3 ) = 26

12 – 2k – 6 = 26

-2k = 20

k = 20 : ( -2 )

k = -10

Ответ: -10

22. -5 * ( 3a + 1 ) – 11 = -16

-15a – 5 – 11 = -16

-15a = 0

a = 0 : ( -15 )

a = 0

Ответ: 0

23. -5 * ( 0.8z – 1.2 ) = -z + 7.2

-4z + 6 = -z + 7.2

-3z = 1.2

z = 1.2 : ( -3 )

z = -3.6

Ответ: -3.6

24. -20 * ( x – 13 ) = -220

-20x + 260 = -220

-20x = -480

x = -480 : ( -20 )

x = 24

Ответ: 24

25. ( 30 – 7x ) * 8 = 352

240 – 56x = 352

-56x = 112

x = 112 : ( -56 )

x = -2

Ответ: -2

26. ( 2.8 – 0.1x ) * 3.7 = 7.4

10.36 – 0.37x = 7.4

-0.37x = -2.96

x = -2.96 : ( -0.37)

x = 8

Ответ: 8

27. ( 3x – 1.2 ) * 7 = 10.5

21x – 8.4 = 10.5

21x = 18.9

x = 18.9 : 21

x = 0.9

Ответ: 0.9

28. 6x + 12 – 42x = 0

6x – 42x = -12

-36x = -12

x = - 36 : ( -2 )

x = -3

Ответ: -3

29. 3( y – 5 ) – 2( y – 4 ) = 8

3y – 15 – 2y – 8 = 8

3y – 2y = 8 + 8 + 15

1y = 31

y = 31 : 1

y = 31

Ответ: 31

30. -5( 5 – x ) – 4x = 18

-25 + 5x – 4x = 18

5x – 4x = 18 + 25

1x = 43

x = 43 : 1

x = 1

Ответ: 1

Приложение 2.

Квадратные уравнения

Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2+bx+c=0, где коэффициенты a,b,c- любые действительные числа, причем а≠0.

Многочлен ax2+bx+c называют квадратным трехчленом.

Определение 2. Корнем квадратного уравнения ax2+bx+c=0 называют всякое значение переменной x, при котором квадратный трехчлен ax2+bx+c обращается в нуль; такое значение переменной x называют также корнем квадратного трехчлена.

Квадратные уравнения с коэффициентами a, b, c могут иметь от 0 до двух корней, либо вообще не иметь корней в зависимости от значения дискриминанта.

Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить ,что корней нет.

Определение 3. Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и c отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один коэффициентов b,c равен нулю. Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором а=1.

Определение 4. Для приведенного квадратного уравнения x2+px+q=0 сумма корней равна

-p, а произведение корней равно q.

Формулы

Решим квадратные уравнения:

2x2-x-1=0

D=9

x1=1 x2=-1 ∕2

2x2+3x-5=0

D=49

x1=1 x=-5∕2

x2+3x-4=0

D=25

x1=1 x2= -4

Запишем результаты в таблицу

Уравнение	Коэффициенты			Результаты вычислений
Уравнение	а	b	c	а+b+c	c/a	x1	x2
2x2-x-1=0	2	-1	-1	0	-1/2	1	-1/2
2x2+3x-5=0	2	3	-5	0	-5/2	1	-5/2
x2+3x-4=0	1	3	-4	0	-4	1	-4

Вывод:

Если a+b+c=0, то один из корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0 равен 1, а второй корень вычисляется по формуле c/a .

3x2+2x-1=0

D=16

x1= -1 x2= 1/3

2x2+x-1=0

D=9

x1=-1 x2=1/2

x2-3x-4=0

D=25

x1=-1 x2=4

Уравнение	Коэффициенты			Результаты вычислений
Уравнение	а	b	c	a-b+c	-c/a	x1	x2
3x2+2x-1=0	3	2	-1	0	1/3	-1	1/3
2x2+x-1=0	2	1	-1	0	1/2	-1	1/2
x2-3x-4=0	1	-3	-4	0	4	-1	4

Если a-b+c=0, то один из корней квадратного уравнения равен 1, а второй вычисляется по формуле –с/а .

Примеры на решение:

1. 10x2+5x=0

12x2+3x=0

25-100x2=0

4-36x2=0

x2-16=0

x2-x-30=0

x2+5x+2=0

x2+7x-4=0

x2+x-42=0

x2-7x+6=0

x2-3x-2=0

x2+8x-3=0

x2+5x-3=0

3x2+2x-1=0

8x2+4x-4=0

2x2-x-1=0

2x2+3x-5=0

3x2-2x-1=0

2x2+x-1=0

Домашнее задание

3x2+5x=2

7x2-10x+3=0

2x2+3x-5=0

x2-2x+1=0

11x2-8x-3=0

2x2+3x+5=0

5x2+16x+11=0

Выбрать уравнения, которые

А) имеют корень равный 1

Б) имеют корень равный -1

В) не имеют корней

Приложение 3.

Дробно-рациональные уравнения.

Если равенство, содержащее переменную величину, (которую обычно обозначают одной из последних букв латинского алфавита, например x) является истинным не при всех допустимых значениях этой переменной, оно называется уравнением (с одним неизвестным).

Решение дробно-рационального уравнения сводится в конечном итоге к замене исходного уравнения целым уравнением, которое равносильно исходному уравнению или является его следствием.

Определение. Уравнение f (x) = g (x) называется дробно-рациональным, если f (x) и g(x) являются дробно-рациональными функциями.

1. 2.

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений:

При решении дробных рациональных уравнений поступают следующим образом:

1.находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;общий знаменатель(x+5)(3-x)

3.решают получившееся целое уравнение;

4.исключают из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

или

Приложение 4.

Уравнения высших степеней

Уравнения высших степеней, приводимые к квадратному.

Биквадратное уравнение. Кубическое уравнение.

Некоторые виды уравнений высших степеней можно решить, используя квадратное уравнение. Иногда можно разложить левую часть уравнения на множители, каждый из которых является многочленом не выше второй

степени. Тогда, приравнивая каждый из них к нулю и решая все эти квадратные и / или линейные уравнения, мы получим все корни исходного уравнения.

П р и м е р . Решить уравнение: 3x 4 + 6x 3 – 9x 2 = 0 .

Р е ш е н и е . Разложим левую часть этого уравнения на множители:

x 2 ( 3x 2 + 6x – 9 ) .

Решим уравнение: x 2 = 0; оно имеет два корня: x1 = x2 = 0 .

Теперь решим уравнение: 3x 2 + 6x – 9 = 0, и получим:

x3 = 1 и x4 = – 3 .

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня:

x1 = x2 = 0 ; x3 = 1 ; x4 = – 3 .

Если уравнение имеет вид:

ax2n + bxn + c = 0 ,

оно приводится к квадратному уравнению заменой:

xn = z ;

действительно, после этой замены получаем: az 2+ bz + c = 0 .

П р и м е р . Рассмотрим уравнение:

x 4 – 13 x 2 + 36 = 0 .

После замены: x 2 = z получим уравнение:

z 2 – 13 z + 36 = 0 .

Его корни: z1 = 4 и z2 = 9. Теперь решаем уравнения:

x 2 = 4 и x 2 = 9 . Они имеют соответственно корни:

x1 = 2 , x2 = – 2 , x3 = 3 ; x4 = – 3 . Эти числа являются

корнями исходного уравнения ( проверьте, пожалуйста! ).

Любое уравнение вида: ax 4 + bx 2 + c = 0 называется биквадратным.

Оно приводится к квадратному уравнению заменой:

x2 = z .

П р и м е р . Решить биквадратное уравнение: 3x 4 – 123x 2 + 1200 = 0 .

Р е ш е н и е . Заменяя: x 2 = z , и решая уравнение:

3z 2 – 123z + 1200 = 0, получаем:

отсюда, z1 = 25 и z2 = 16. Используя нашу замену, получим:

x 2 = 25 и x 2 = 16, отсюда, x1 = 5, x2 = – 5, x3 = 4, x4 = – 4.

Кубическое уравнение – это уравнение третьей степени вида:

ax3 + bx2 + cx + d = 0 .

Известные формулы Кардано для решения уравнений этого типа очень сложны и почти не применяются на практике. Поэтому мы рекомендуем другой путь для решения уравнений третьей степени.

1).

Сначала путём перебора найдём один из корней уравнения. Дело в том, что кубические уравнения всегда имеют по крайней мере один действительный корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами является делителем свободного члена d. Коэффициенты этих уравнений обычно подобраны так, что искомый корень лежит среди небольших целых чисел, таких как: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Поэтому мы будем искать корень среди этих чисел и проверять его путём подстановки в уравнение. Вероятность успеха при таком подходе очень высока. Предположим, что этот корень x1 .

2).

Вторая стадия решения – это деление многочлена ax 3+ bx 2+ cx+ d на двучлен x – x1. Согласно теореме Безу, это деление без остатка возможно, и мы получим в результате многочлен второй степени, который надо приравнять к нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет!) оставшиеся два корня.