занятие факультатива "Решение задач на сплавы и смеси"
элективный курс по алгебре (10 класс) по теме

МОУ СОШ с. Алферьевка

Чурекова Н.Ю.

Старинный метод решения задач
и
не только.

(задачи на смеси и сплавы)

2006

    Правило смешения. Потребность в смешивании различных веществ появилась еще в древности. Люди опытным путем находили необходимое соотношение смешиваемых веществ. В результате длительной практической деятельности, отчасти путем математических рассуждений, были выработаны правила, которые стали использовать для решения задач и включать во все учебники по арифметике. Рассматриваемое правило смешения получило большое распространение, так как позволяло решать задачи на смеси и сплавы механически, записывая числа в соответствии с действующим правилом и выполняя простые вычисления.

Если смешивали два вещества концентрации (стоимости) а и b (а < Ь), то при этом получали смесь концентрации с (а < с < Ь), и данные числа записывали следующим образом: друг над другом а и Ь, слева от них посередине с. Меньшую концентрацию вычитали из концентрации смеси с - а и записывали справа от большей. Затем из большей концентрации вещества вычитали концентрацию смеси b - с и разность записывали справа от меньшей концентрации. Получали цепочку. Обозначив полученные результаты через х и у соответственно, находили, что для смешивания надо взять х частей концентрации а и у частей концентрации b.

Задача. У некоторого купца было для продажи масло двух сортов по цене 10 и 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Сколько частей каждого масла надо  взять?

Решение. Из схемы видно, что смешиваются 3 части дешевого масла и 1 часть дорогого, т. е.  всего 4 части.

В задачах, где раствор разбавляется водой, последнюю считают имеющей нулевую концентрацию, так как в ней данное вещество не содержится.

В том случае, когда требуется найти количество веществ, взятых для смешивания поровну с меньшей и большей, чем требуется, ценой, самую дешевую вещь смешивают с самой дорогой.

Пример 1. Смешали 5%-ный раствор соляной кислоты с 40%-ным и получили 140 гр. 30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение:                                        1) 10+25=35частей
     2) 140:35=4грамма-1 часть
     3)10∙4=40грамм-5% раствор
     4) 25∙4=100грамм-40% раствор
                      Ответ: 40 и 100г.

1. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 гр 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? (450 и 150г)
2. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5 и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с 30%-ным содержанием никеля? (100и 40г)
3. Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой 65%, сплавляют и получают слиток массой 20 г, содержащий 47% серебра. Какова масса каждого из этих слитков? (12 и 8г)
4. В колбу налили некоторое количество 60%-го раствора соли и некоторое количество 80%-го раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу? (14 и 21мл)
5. Для проведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4%-й раствор некоторого химического вещества и 10%-й раствор этого же вещества и получил 75 мл 8%-го раствора. Сколько миллилитров
   4%-го раствора и сколько 10%-го раствора было взято? (25 50 мл)
6. Смешали 10%-ный и 25%-ный растворы соли и получили 3 кг 20%-ного раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано? (1 и 2кг)
7. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получить 140 т стали   содержанием никеля в 30%? (100 и 40т)
8. Один раствор содержит 20% (по объему) соляной кислоты, а второй — 70%. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить  100 л. раствора, содержащего не менее 50 % соляной кислоты и не более 60%? ( 20%-го –не менее20л и не более40л)
9. Смешали 30%-ный и 20%-ный растворы соляной кислоты и  получили 800гр 25%-ного раствора. Сколько каждого раствора было использовано? (400 и 400г)
10. Свежие   фрукты   содержат    72%    воды,    а   сухие — 20%. Сколько сухих фруктов получается из 20 кг свежих?(7кг)

Пример 2.1. На складе хранятся ягоды 100кг, содержащие 99% воды. Сколько они будут весить, если после испарения, воды стало 98%?
Решение:                                        1) 1+1=2части

                                                2) 100:2=50кг-1часть

                                                Ответ: 50кг.

Пример 2.2. Имеется 50т руды. Из нее выплавили 20т металла содержащего 12% примесей. Какой процент примесей в руде?

Решение:

0,12∙20=2,4(т) – примеси в металле
30+2,4=32,4(т) – примеси в руде
32,4:50∙100=64,8%                        Ответ: 64,8%.

1. В сосуд с 20% раствором соли добавили воду и получили 200г 3% раствора. Сколько было воды? (170г)
2. В раствор объемом 8 л, содержащий 60% кислоты, начали вливать раствор, содержащий 20% кислоты. Сколько можно влить второго раствора в первый, чтобы смесь содержала кислоты не больше 40%, но не меньше 30%?
3. Свежие грибы содержат 90% воды (по массе), а сухие 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих и сколько надо собрать свежих грибов, чтобы получить 200 г сухих? (19,5кг)
4. Имеется кусок сплава меди с оловом общей  массой   12 кг, содержащий   45%   меди.    Сколько    чистого   олова    надо   добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый  сплав  содержал 40% меди? (1,5кг)
5. Сколько килограмм воды нужно выпарить из целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу, с содержанием 75%? (200кг)
6. На овощной базе имелся крыжовник, влажность которого составляла99%. За время хранения его влажность уменьшилась на 1%. На сколько процентов уменьшилась масса хранившегося крыжовника? (на 50%)
7.  Имеется брусок сплава меди с оловом массой 15 кг содержащий 40% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому бруску, чтобы получившийся новый сплав содержал не более 30 % и не менее 20 % меди? (не менее 5 и не более 15кг)
8. Свежие грибы содержат 90% воды (по массе), а сухие 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих грибов? (2,5кг)

Пример 3.1. Только что добытый уголь содержит 2% воды. После двух недель пребывания на воздухе он содержит уже 12% воды. На сколько килограмм увеличилась масса добытой тонны угля, после двухнедельного пребывания

на воздухе?
Решение: составляем
схему  для угля:        

 1) 980∙10:88=1114кг                  
2) 1114-98134кг        
                                                                      Ответ: 134кг.

Пример 3.2 Сплав меди и цинка содержит 82% меди. После добавления в сплав 18кг цинка процентное содержание меди понизилось до 70%. Сколько меди и цинка было в сплаве первоначально?

 Решение:      составляем схему по цинку 

18∙70:12=105 кг

         Ответ: 105 кг.

1. Морская вода содержит (по весу) 5% соли. Сколько   килограммов   пресной  воды  нужно   прибавить   к   40 кг  морской   воды, чтобы содержание соли в растворе составило 2%? (60кг)
2. В морской воде содержится 5% соли. Сколько нужно добавить пресной воды к 30л морской, чтобы процентное содержание соли составило 1,5%? (70л)
3. Пчелы, перерабатывая цветочный нектар в мед, освобождают его от значительной части воды. Исследования показали, что нектар обычно содержит  около 70% воды, а полученный из него мед содержит только 17% воды. Сколько  килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения 1 кг меда? (≈2,77кг)
4. Нектар содержит 70% воды, а мед-16% воды. Сколько нектара надо взять, чтобы получить 1 кг мёда? (2,8кг)
   
5. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы новый сплав содержал 60% меди? (13,5кг)
6. Сплав олова и меди, масса которого 16 кг содержит 55% олова, сколько килограмм олова нужно добавить в сплав, чтобы содержание олова повысить до 60%? (2кг)
   Сколько граммов воды надо добавить к 80 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 12%-й раствор? (20гр)
7. Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, концентрация сахара в котором 25%, чтобы получить сироп с концентрацией сахара 20% ? (45г)
8. Сколько граммов 25%-го сахарного сиропа надо добавить к 200 г воды, чтобы концентрация сахара в полученном растворе была 5% ? (50г)
9. Сколько надо добавить воды к 100 г сухого молока с содержанием воды 7%, чтобы получить молоко с содержанием воды 60%, и сколько надо взять молока с содержанием воды 60%, чтобы получить из него 250 г сухого молока с содержанием воды 7%? (132,5г, 331,25г)
10. Морская вода содержит (по весу) 5% соли. Сколько   килограммов   пресной  воды  нужно   прибавить   к   40 кг  морской   воды, чтобы содержание соли в растворе составило 2%?
11. Имеется 600гр сплава золота и серебра, содержащего эти металлы в отношении 1:5 соответственно. Сколько грамм золота необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержал 50%? (400гр)
12. В баке находится 30 кг  30% раствора соли. Сколько килограммов пресной воды надо добавить, чтобы получить 20% раствор соли? (15кг) 
13. К раствору, содержащему 8% соли и имеющему массу 40кг, добавили чистую воду и получили раствор с 5% содержанием соли. Сколько килограмм чистой воды добавили к первоначальному раствору? (24кг)

,    

                                                            где V-концентрация смеси,

                                                     V1-концентрация первого вещества,

                                                     W1-масса первого вещества.

Пример 4.1.  К 120гр раствора, содержащего 80% соли, добавили 480гр 20% раствора той же соли. Сколько % соли было в смеси растворов?

Решение:                   Ответ:32%

Пример 4.2. Из двух сплавов меди, первый весит 7кг, а второй 8кг, получили новый сплав, содержащий 18% меди. Каково процентное содержание меди в первом сплаве, если оно на 15% больше, чем во втором?

Решение:         

                          х=26                                               Ответ:26%

1. К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20% той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе? (32)
2. Бронза – сплав меди и олова. Из бронзы в древней Руси отливали колокола, если  в ней было 75% меди. К первому куску бронзы массой 500кг, содержащей 72% меди, добавили второй кусок бронзы массой 300кг, содержащей более высокий процент меди, и получили бронзу, необходимую для изготовления колокола. Определить процент содержания меди во втором куске бронзы? (80%)

Пример 5. Имеются два сплава меди и цинка. В первом сплаве меди в 2 раза больше, чем цинка, а во втором меди в 5 раз меньше, чем цинка. Во сколько раз больше надо взять второго сплава, чем первого, чтобы получить новый сплав, в котором цинка было бы в 2 раза больше, чем меди?

Решение: составляем схему  по цинку 2:1        1:5        1:2

        Ответ: в 2 раза.

1. В двух сплавах медь и цинк относятся как 5:2 и 3:4 (по весу). Сколько килограмм каждого сплава надо взять, чтобы после совместной переплавки получить 28кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка? (7 и 21кг)
2. Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количества этих металлов находятся в отношении 1:2, в другом — 2:3. Сколько граммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 19 г сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении 7:12? (9 и 10)
3. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в отношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 2:3. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17:27? (9 и 35)
4. Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 2:3, а в другом— в отношении  3:7.  Сколько  нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро были бы в отношении 5:11? (1кг. и 7 кг.)
5. Один сплав состоит из двух металлов входящих в него в соотношении 1:2, а другой содержит те же металлы в отношении 3:4. Сколько частей нужно взять, чтобы получить новый сплав, содержащий те же металлы в соотношении 15:22? (9 и 28 частей)

Пример 6.1. Имеются два сплава с разным процентным содержанием меди. Если сплавить 3кг первого и 9кг второго, то получим 32,5% сплав меди. Если же сплавить 7кг первого и 8кг второго, то получим 26% сплав. Каково процентное содержание меди в каждом сплаве?

Решение:            х%-1сплав, у%-2сплав.

Получим систему: 3х+9у=32,5∙12
                               7х+8у=26∙15                Ответ:10% и 40%.

Пример 6.2. Имеются два слитка с разным процентным содержанием меди. Число выражающее процентное содержание меди в первом слитке на 40% меньше, чем во втором. Затем оба эти слитка сплавили вместе и получили36% меди. Определить концентрацию меди в первом и втором слитках, если в первом сплаве меди 6кг, а во втором 12 кг.

        Решение:

           а∙(х-40)=0,06                      b∙х=0,12 , тогда        
          36%-18кг
         100%- (a+b)кг.            Значит a+b=100∙18:36=50кг.
          Получили систему:    (50- b)(х-40)=0,06
                                                bх=0,12                Ответ: 20%, 60%

1. Величины процентного содержания спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смещать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 2:3:4, то получится раствор, содержащий 32% спирта. Если же смешать их в отношении 3:2:1, то получится раствор, содержащий 22% спирта. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор? (12%, 24%, 48%)
2. Смешиваются некоторое количество 25%-го раствора кислоты и некоторое количество 50%-ного раствора кислоты и в результате получается 37,5%-й раствор. Если бы первого раствора было взято на 50% больше, то получилось
   бы 50 л 35%-го раствора. Сколько литров каждого раствора было взято первоначально для составления первой смеси? (20л и 20л)
3. Сплавили два сорта чугуна с разным процентным содержанием хрома. Если одного сорта взять в 5 раз больше другого, то процентное содержание хрома в сплаве вдвое превысит процентное содержание хрома в меньшей из сплавляемых частей. Если же взять одинаковое количество обоих сортов, то сплав будет содержать 8% хрома. Определить процентное содержание хрома в каждом сорте чугуна. (5% и 11%)

5.    Имеются два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг раствора кислоты разных концентраций. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 35% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом сосуде? (1,64 и 1,86 кг)

5.    Вычислить вес и процентное содержание серебра в сплаве с медью, зная, что  сплавив его с 3кг чистого серебра, получат сплав, содержащий 90% серебра, а сплавив его с 2кг сплава, содержащего 90% серебра, получат сплав, содержащий 84% серебра. (24кг, 80%)

6.    В двух сплавах медь и цинк относятся как 4:1 и 3:1. После совместной переплавки 10кг первого сплава и 16кг второго сплава, и нескольких килограмм чистой меди получили сплав, в котором медь и цинк относятся как 3:2. Определить вес нового сплава.

Пример 7.1. Сплав меди и цинка содержит на 640гр больше, чем цинка. После того, как из сплава выделили 6/7 содержащейся в нем меди и 60% цинка, масса сплава оказалась 200гр. Сколько весил сплав первоначально? (1040гр)

Решение:

Получим уравнение: (640+х):7+0,4∙х=200        
                                    х=200                             Ответ1040гр

Пример 7.2. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11кг больше, чем цинка. Этот кусок сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в которой 75% меди. Сколько килограмм меди было в куске первоначально?

Решение:

Концентрация 75%=3/4

Получим уравнение: (х+23) = 3
                                   (2х+23)  4
                                    х=11,5                        Ответ:33,5кг.

Пример 7.3. Два  раствора, из которых   первый содержит 0,8 кг, а второй 0,6 кг безводной  серной  кислоты, соединили вместе и получили 10 кг нового раствора серной кислоты. Вычислите вес первого и второго растворов в смеси, если известно, что безводной серной кислоты  содержится в первом растворе на 10% больше.

Решение:   х кг – 1 раствор, 10-х – 2 раствор, всего 10кг,  10% =0,1
       0,8:х – концентрация 1 раствора,     0,6:(10-х) – концентрация 2 раствора.

Тогда 0,8:х-0,6(10-х)=0,1                Ответ: 4 и 6 кг.

1. Имеются два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг раствора кислоты разных концентраций. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 35% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом сосуде? (1,64 и 1,86 кг)
2. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй — 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 30% цинка. Сколько килограммов олова содержится в полученном новом сплаве? (17кг)
3. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 60кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили со 100кг меди и получили латунь, в которой 70% меди. Определите процент содержания меди в первоначальном куске латуни. (60%)
4. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит цинка на 80кг меньше, чем меди. Этот кусок латуни сплавили со 120кг меди и получили латунь, в которой 75% меди. Определите массу в килограммах первоначального куска латуни. (280кг)
5. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили со 120кг меди и получили латунь, в которой 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске первоначально? (33,5 кг)

6.  Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845г больше, чем меди. Если к нему добавить некоторое количество чистого серебра, по массе равное 1/3 серебра, первоначально содержащегося в сплаве, то получится новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава? (3165г)

Пример 8.1. В колбе было 200г  80% спирта. Некоторое количество этого спирта провизор отлил из колбы и затем добавил воды столько, чтобы получить 60%-й спирт. Сколько грамм воды было добавлено.

Решение:              х гр - отлили, тогда    

                                    (200-х)∙0,8=200∙0,6
                                       160-0,8х=120
                                        0,8х=40
                                        х=50                        Ответ: 50грамм

Пример 8.2. Из емкости содержащей  64 литра спирта, отлили некоторое количество и добавили воды до прежнего объема. Затем отлили такое же количество смеси, после этого в емкости осталось 49 литров. Сколько литров было отлито в первый и второй раз?

Решение:
       х л – отлили в первый раз;            (64-х) – осталось.
     (64-х)/64 – концентрация спирта,  (64-х)∙х/64 – отлили второй раз.

Получили уравнение: (64-х)-(64-х)∙х/64=49
                                      х=8                        Ответ: 8л, 7л.  

1. Из  сосуда, до  краев наполненного чистым глицерином, отлили 2 л глицерина, а к оставшемуся глицерину долили 2 л воды. После перемешивания снова отлили 2 л смеси и долили 2 л воды. Наконец, опять после перемешивания, отлили 2 л смеси и долили 2 л воды. В результате этих операций объем воды в сосуде стал на 3 л больше  объема оставшегося в нем глицерина. Сколько литров глицерина и воды оказалось в сосуде в результате проделанных операций?
2. В сосуде находится 20л. В первый раз отлили несколько литров спирта, и сосуд долили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25% раствор спирта? (10л отливали каждый раз)
3. Из бутылки, наполненной 12%-ным (по массе) раствором соли, отлили 1 л и налили 1 л - воды, затем отлили еще 1 л и опять долили водой. В бутыли оказался 3%-ный (по массе) раствор соли. Какова вместимость бутыли? (19л)
4. Имеются два бака: первый бак наполнен чистым глицерином, второй — водой. Взяли два трехлитровых ковша, зачерпнули первым полный ковш глицерина из первого бака, а вторым - полный ковш воды из второго бака, после чего первый ковш влили во второй бак, а второй ковш влили в первый бак. Затем, после перемешивания, снова зачерпнули первым полный ковш смеси из первого бака, вторым - полный ковш смеси из второго бака и влили первый ковш во второй бак, а второй ковш -  в первый бак. В результате половину объема первого бака занял чистый глицерин. Найти объемы баков, если их суммарный объем в 10 раз больше объема первого бака. (10 и 90л)
   
5. Из сосуда, наполненного 96%-ным раствором кислоты, отлили 2,5 л и долили 2,5л 80%-ного раствора той же кислоты, затем еще   раз   отлили   2,5 л   и   снова  долили   2,5 л   80%-ного   раствора кислоты. После этого в сосуде получился 89%-ный раствор кислоты. Определить вместимость сосуда. (10л)
6. В сосуде было 20л чистого спирта. Некоторое количество спирта отлили, а сосуд долили водой. Затем отлили столько же литров, а сосуд долили водой. После этого в сосуде оказалось чистого спирта  втрое меньше, чем воды. Сколько спирта отлили в первый раз? (10л)
7. Из емкости содержащей 64 литра спирта отлили некоторое количество спирта и долили водой до прежнего объема. Затем отлили такое количество смеси, после чего в емкости осталось 49 литров спирта. Сколько литров смеси отливали каждый раз? (8л)

Литература:

1. Говоров В.М., Дыбов П.Т. Сборник конкурсных задач по математике.
2. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике.
3. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих.
4. Галицкий М. Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И.  Сборник задач по алгебре 8-9.
5. Сборник текстовых задач по математике для профильных классов 7-11.
6. Литвинова И.Н., Ткаченко Е.Н., Гаврилова М. А. Сборник задач на смеси, сплавы и проценты.  
7. «Математика». Приложение к газете «Первое сентября».

Старинный метод решения задач
(задачи на смеси и сплавы).

Учитель: Чурекова Наталья Юрьевна.

МОУ СОШ с. Алферьевка.

Потребность в  смешивании различных веществ появилась еще в древности. Люди опытным путем находили необходимое соотношение смешиваемых веществ. В результате длительной практической деятельности, отчасти путем математических рассуждений, были выработаны правила, которые стали использовать для решения задач и включать во все учебники по арифметике. Рассматриваемое правило смешения получило большое распространение, так как позволяло решать задачи на смеси и сплавы механически, записывая числа в соответствии с действующим правилом и выполняя простые вычисления.

Если смешивали два вещества концентрации (стоимости) а и b (а < b), то при этом получали смесь концентрации с (а < с < b), и данные числа записывали следующим образом: друг над другом а и b, слева от них посередине с. Меньшую концентрацию вычитали из концентрации смеси с - а и записывали справа от большей. Затем из большей концентрации вещества вычитали концентрацию смеси b - с и разность записывали справа от меньшей концентрации. Получали цепочку.

Стандартная  схема  решения задачи.

Задача №1. У купца было масло для продажи двух сортов по цене 10 и 6 гривен за кувшин. Захотелось ему сделать, смешав их, масло ценою 7 гривен. Сколько частей каждого масла надо взять для этого купцу?
Решение:
                                          Ответ: 1 часть по 10 гривен и 3 части по 6 гривен.

    Задача №2. Смешали30% раствор кислоты и 10% раствор той же кислоты. Получили при этом 600 грамм 15% раствора. Сколько грамм каждого раствора взяли?
Решение:
1) 5+15=20 – частей,
2) 600:20=30(гр) – весит 1 часть,
3) 5∙30=150(гр) - масса 10% раствора,
4) 15∙30=450(гр) – масса 30% раствора.

Задача №3. Имеется серебро 5, 11, 12 пробы. Сколько и какого серебра необходимо взять, чтобы получить 1 килограмм серебра 9 пробы?
Решение:

5 проба-5 частей,
11 проба-4 части,           Всего 13 частей.
12 проба-4 части.

1) 1:13=1/13(кг) – весит 1 часть,
2) 4∙1/13=4/13(кг) –весят 11 и 12 пробы,
3) 5∙1/13=5/13(кг) – весит 5 проба.
                                                                                  Ответ: 5/13кг, 4/13кг и 4/13кг.  

В задачах, где раствор разбавляется водой, последнюю считают имеющей нулевую концентрацию, так как в ней данное вещество не содержится.  В том случае, когда требуется найти количество веществ, взятых для смешивания поровну с меньшей или большей, чем требуется ценой (концентрацией), самую дешевую смешивают с самой дорогой.

Задача №4.  Из четырех сортов вина ценою 18, 20, 28 и 30 копеек за кувшин надо получить вино по 25 копеек. Сколько частей каждого следует взять?
Решение:

Всего 20 частей.
По 18 копеек – 5/20=1/4 часть,
по 20 копеек – 3/20 части,
по 28 копеек – 1/4 часть,
по 30 копеек – 7/20 части.                                                                                           Ответ: 1/4, 3/20, 1/4, 7/20.

При смешивании разного числа дешевых и дороги: веществ каждое дешевое смешивали с каждым дорогим и полученные результаты складывали. Под дорогой подразумевали вещь, цена которой больше, а под дешевой меньше требуемой.

Задача №5. Из вин по 16, 18, 20, 28 и 30 копеек за кувшин получить вино по 24 копеек. В каком отношении смешали эти вина?
Решение:

Ту же схему можно

оформить в таблице:


                        Ответ: в смеси 5/33 дешевого вина и по 9/33 дорогого вина.

      Задача №6. Имеется  два сплава золота и серебра. В первом сплаве отношение металлов 1:2, в другом 2:3. Сколько каждого нужно взять для 19 грамм нового сплава с соотношением 7:12?
Решение:

1) 3/95+2/57=19/285 – частей,
2) 19: 19/285=285(гр)- весит одна часть,
3) 3/95∙285=9(гр) – весит первый сплав,
4) 2/57∙285=10(гр) – весит второй сплав.
                                                                Ответ: 9гр и 10гр.

Рассмотрим случай, когда концентрации растворов не указаны, но дано отношение концентраций взятого вещества и полученной смеси.

 Задача №7. Сколько пресной воды надо добавить в 4 килограмма морской воды, чтобы уменьшить содержание соли в ней в 2,5 раза?
Решение: По условию концентрацию морской воды находить не надо, но после добавления в нее пресной воды содержание соли в растворе должно уменьшиться в 2,5 раза. Поэтому поступают следующим образом: берут наименьшие натуральные числа, для которых выполняется это отношение. Пусть 5 -концентрация морской воды, тогда 2 - концентрация смеси и 0 - концентрация воды.

В практической деятельности часто приходилось смешивать определенные количества веществ различной концентрации, но при этом не была известна концентрация полученной смеси.
 
Задача№8 (Задача Шридхары). Три слитка золота массой 9,5,17 и пробой 12, 10, 11 сплавили в один. Какой пробы получили золото?
Решение: Правило решения задач такого рода описывалось в сочинении Шридхары «Патиганита» (IX в.), которое можно представить в виде формулы
                                                      где V1- концентрация первого вещества,
                                                             W1- масса первого вещества,
                                                                         V- концентрация смеси.
                                                                                           Ответ: проба золота .