Методы решения иррациональных уравнений и неравенств
статья по алгебре (10, 11 класс) на тему
Иррациональные уравнения и неравенства часто встречаются на ЕГЭ. Разберем несколько примеров.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 247.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Методы решения иррациональных уравнений и неравенств
Иррациональные уравнения и неравенства встречаются в заданиях единого государственного экзамена. Задачи на эту темы есть как в первой части, так и во второй.
Разберем несколько примеров.
Задача 1. Решите уравнение:
Решение. Возведем обе части уравнения в третью степень:
Ответ: -10.
Задача 2. Найдите корень уравнения . Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
Решение. Возведем в квадрат:
Ответ: 8.
Задача 3. При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где м – длина покоящейся ракеты, км/с – скорость света, а – скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.
Решение. Найдем, при какой скорости длина ракеты станет равна 5 м. Задача сводится к решению уравнения , при заданном значении длины покоящейся ракеты м и известной величине скорости света км/с:
км/с. Если скорость будет превосходить найденную, то длина ракеты будет менее 4 метров, поэтому минимальная необходимая скорость равна 180000 км/с.
Ответ: 180 000.
Задача 4. Решите систему неравенств
Решение. Решим первое неравенство.
;
.
1 случай: , тогда или .
При этих выражение
имеет смысл, поэтому числа 0 и -7 являются решениями неравенства.
2 случай: .
Решаем неравенство
Получим: , или
Решением первого неравенства системы является:
, или .
Решим второе неравенство системы:
;
;
Учитывая, что , получаем:
.
Решением второго неравенства системы является: . , поэтому решением системы неравенств является: или .
Ответ: , .
Задача5. При каждом а решите систему уравнений
Решение. Запишем второе уравнение в виде
Геометрический смысл уравнения состоит в том, что сумма расстояний от точек до точек и равно . Поскольку расстояние между точками и тоже равно , это означает, что точка должна лежать на отрезке, соединяющем точки и .
Другими словами, она удовлетворяет уравнению и условию .
Таким образом, исходная система равносильна системе
Подставив в первое уравнение, получаем
.
Поскольку функция возрастающая (как сумма двух возрастающих), каждое значение она принимает ровно один раз. Поэтому решение — единственное, ему соответствует .
Ответ: если , то , при остальных нет решений.
Задача 6. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение имеет более двух корней.
Решение. Рассмотрим функции и . Исследуем уравнение .
На промежутке функция возрастает.
Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение имеет не более одного решения на промежутке , причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда, , то есть при .
При уравнение принимает вид . При левая часть этого уравнения отрицательна, следовательно, решений нет. При это уравнение сводится к квадратному уравнению
дискриминант которого,
,
поэтому при это уравнение не имеет корней; при уравнение имеет единственный корень, равный ; при уравнение имеет два корня.
Пусть уравнение имеет два корня,
и .
Тогда меньший корень всегда меньше , а больший корень не превосходит , если , то есть при .
По теореме Виета:
поэтому знаки корней и зависят от знаков выражений и .
Значит, при оба корня отрицательны, при один из корней отрицательный, а другой неотрицательный, при оба корня неотрицательны.
Таким образом, при уравнение не имеет корней при и , имеет один корень при и , имеет два корня при .
Итак, уравнение имеет следующее количество корней:
- нет корней при ;
- один корень при и ;
- два корня и ;
- три корня при .
Ответ: .
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Мастер-класс по математике "Методика решений иррациональных уравнений и неравенств"
Содержание:1.Пояснительная записка.2. Актуальность и перспективность мастер-класса.3.Теоретическая база.4. Новизна.5. Методы работы.6. Итоги и анализ проведения мастер-класса.7. Предполагаемые р...
![](/sites/default/files/pictures/2011/10/16/picture-24796.jpg)
Материал к теме: «Решение иррациональных уравнений и неравенств».
В помощь учителю - материал к теме «Решение иррациональных уравнений и неравенств» (10 класс)....
Решение иррациональных уравнений и неравенств 11 класс
Решение иррациональных уравнений и неравенств. данная работа содержит рекомендации выпускникам школ и абитуриентам технических вузов Особенностью моей работы является то, что в школьном кур...
решение иррациональных уравнений и неравенств методом замены переменной
способ решения иррациональных уравнений и неравенств методом замены переменной...
решение иррациональных уравнений и неравенств методом замены переменной
способ решения иррациональных уравнений и неравенств методом замены переменной...
![](/sites/default/files/pictures/2018/06/22/picture-197971-1529671332.jpg)
Открытый урок по алгебре и началам анализа в профильном 10А классе (физико-математическая группа) по теме: Решение иррациональных уравнений и неравенств.
На уроке рассматриваются сложные иррациональные уравнения и их решения.Решение неравенств рассматриваются двумя способами: методом интервалов и классическим.Урок подготовки к ЕГЭ-"С" часть....
![](/sites/default/files/pictures/2024/02/16/picture-1354041-1708091478.jpg)
Конспект урока для 11 класса по теме "Иррациональные уравнения и приемы преобразования уравнений. Методы решения иррациональных уравнений"
Конспект урока для 11 класса пр теме "Иррациональные уравнения и приемы преобразования уравнений. Методы решения иррациональных уравнений"...