Математика. Реальная математика
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

О.А. Перман

Т.Ю. Ральникова

Математика

Модуль: Реальная математика

сборник заданий

 для учащихся школ I-II вида

Екатеринбург

2015

Содержание:

Введение…………………………………………………       3

1.Теория вероятностей……………………………………    4

2.Действия с формулами…………………………………    19

3.Текстовые задачи………………………………………     25

   3.1 Пропорция, части…………………………………..     25

   3.2 Проценты……………………………………………    30

   3.3 Концентрация вещества ……………………………   37

Введение

Итоговый письменный экзамен по математике сдают все учащиеся 9-ых классов. Учащиеся с нарушением слуха (школы  I и II вида) сдают экзамен в форме ГВЭ.

Особенности такого экзамена:

• состоит из двух частей;
• первая часть содержит 7 заданий базового уровня;
• вторая часть содержит 3 задания повышенного уровня;
• оценивание работы осуществляется баллами, переводимыми в отметку.

В данном пособии рассмотрены разделы математики, которые вызывают наибольшие затруднения у учащихся с нарушением слуха в силу их недостаточного речевого развития и ограниченного жизненного опыта. Большинство этих разделов можно объединить блоком «Реальная математика».

Учащимся с нарушением слуха требуется гораздо больше времени и наглядности для формирования умения решать текстовые задачи на проценты, части. Также задачи на теорию вероятности вызывают затруднения из-за их абстрактности и недостаточного времени отведённого на освоение. Эти разделы рассмотрены в данном пособии.

Данное пособие призвано помочь учащимся с нарушением слуха при подготовки к выпускному экзамену. Пособие можно использовать как на уроках повторения по определённым темам, так и при самостоятельной подготовке дома. Благодаря кратким теоретическим сведениям пособие даёт возможность родителям также участвовать в подготовке учащихся к экзамену.

                                 Теория вероятностей

                                 Основные сведения

Случайным называют событие, которое может произойти или не произойти (заранее предсказать невозможно) во время наблюдения или испытания.  

N-общее количество событий.

Речевой словарь: случайное событие,

                                 множество возможных исходов ,

                                 благоприятный исход.                                              

При проведении испытания (опыта) всегда наступает один из N равновозможных исходов (результатов).

Например:

• При подбрасывании монеты число всех возможных исходов (результатов) равно двум, либо “орел”, либо “решка”.

      N=2.

         “Орел”                      “Решка”

• При подбрасывании игрального кубика всего шесть возможных исходов (результатов) . (1,2,3,4,5,6)

N=6.

• В соревнованиях участвуют 20 спортсменов. Любой из них может занять первое место. Значит, количество исходов  будет равно двадцати.

N=20.

Благоприятный исход - событие, при котором получаем необходимый  результат.

(А- множество благоприятных исходов (результатов))

Например:

• Найдите благоприятный исход (результат) того, что при бросании монеты выпадет “орел” ?

            При бросании монеты она может упасть либо “орлом”,  либо    “решкой”, значит А = 1 (благоприятный исход).

• Найдите благоприятный исход (результат) того, что при бросании игрального кубика выпадет  число 2.

При бросании кубика может выпасть  числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Из них число 2 только один раз, значит А = 1 (благоприятный исход).

• Найдите благоприятный исход (результат) того, что в соревнованиях первое место займет какой-нибудь из спортсменов.

Первое место одно, значит А = 1 (благоприятный исход).

Вероятностью события (P) называют отношение числа благоприятных  исходов к общему числу всех возможных исходов.

Внимание!

0  ≤  A  ≤  N

0  ≤  P  ≤  1

Задачи с решениями

1. В магазине  из 100 фонариков 1 фонарик бракованный (сломанный). Найдите вероятность того, что фонарик, который купит Петя окажется бракованным.

а) Подчеркнем главные слова, чтобы лучше понять задачу.

б) Найдем число возможных исходов (результатов).

N = 100.

в) Найдем число исходов, благоприятствующих событию А.

Количество бракованных фонариков  = 1.

А=1.

  г) Подставим в формулу вероятности событий (Р),  найденные значения  А = 1,  N= 100.

P (A)=  =  0, 01

Ответ: 0,01

2. Из 1000 собранных на заводе телевизоров 5 штук бракованных (сломанных). Эксперт (человек) проверяет один наугад выбранный телевизор из 1000. Найдите вероятность того, что проверяемый телевизор окажется бракованным.

а) Подчеркнем главные слова, чтобы лучше понять задачу.

б) Найдем число возможных исходов (результатов).

N = 1000.

в) Найдем число исходов, благоприятствующих событию А.

Количество бракованных телевизоров = 5.

А=5.

г) Подставим в формулу вероятности событий (Р), подставив найденные значения  А = 5,  N= 1000.

P (A)=   =  0, 005

Ответ: 0,005

3. В коробке 9 красных, 6 желтых  и 5 зеленых шаров. Из коробки достают наугад один шар. Какова вероятность того, что из коробки достанут желтый шар?

а) Подчеркнем главные слова, чтобы лучше понять задачу.

б) Найдем число возможных исходов (результатов).

N = 9+6+5=20

в) Найдем число исходов, благоприятствующих событию А.

Количество желтых шаров = 6.

А=6.

г) Подставим в формулу вероятности событий (Р), подставив найденные значения  А = 6,  N= 20.

P (A)=   =  0, 03

Ответ: 0,03

4. В соревнованиях по метанию ядра участвуют 20 спортсменов. Из них 6 спортсменов из России, 4 из Японии, 5 из Польши, а остальные из Германии. Какова вероятность того, что  спортсмен выступающий последним, будет из Германии.

а) Подчеркнем главные слова, чтобы лучше понять задачу.

б) Найдем число возможных исходов (результатов).

N = 20

в) Найдем количество спортсменов из Германии.

Всего 20 спортсменов.

Количество спортсменов из России, Японии и Польши:

6+4+5=15

Количество спортсменов из Германии:

20- 15=5

в) Найдем число исходов, благоприятствующих событию А.

Количество спортсменов из Германии.

А=5.

г) Подставим в формулу вероятности событий (Р), подставив найденные значения  А = 5,  N= 20.

P (A)=  =  0, 25

Ответ: 0,25

Заполни таблицу  

!Немного полезной информации для любознательных

Событие A' (событие А штрих) называется событием, противоположным событию А, если оно происходит, когда не происходит событие А. 

Например:

1. Пусть событие А - выпадание орла при бросании монеты. Противоположным событием A' для события А будет выпадание решки.
2. Пусть событием А – будет выученный билет на экзамене. Противоположным событием A' для события А будет  невыученный  билет.
3.  Пусть событием А – будет выученный билет на экзамене. Противоположным событием A' для события А будет  невыученный  билет.
4. Пусть событием А – будет выбранный фонарик бракованный. Противоположным событием A' для события А будет  выбранный фонарик НЕ бракованный (рабочий).

Внимание!

Р (А) + Р (A') = 1

Заполни таблицу!  

Задачи с решениями

1. Из 30 билетов на экзамене школьник может ответить только на 27. Какова вероятность того, что школьник не сможет ответить наугад выбранный билет?

а) Подчеркнем главные слова, чтобы лучше понять задачу.

б) Найдем число возможных исходов (результатов).

N = 30.

в) Найдем число исходов, благоприятствующих событию А.

Событие А –это количество билетов, на которые школьник может ответить.

А= 27.

г) Найдем событие A'  (противоположное событию А ).

Событие A' –это количество билетов, на которые школьник не может ответить.

      A' = 30-27=3 .

д) Подставим в формулу вероятности событий (Р), подставив       найденные значения  

A'=3, N=30.

P (A')=   =  0, 1

Ответ: 0,1

1. В роте из 100 солдат двое имеют высшее образование. Какова вероятность того, что случайным образом выберут дежурить на кухне солдата без высшего образования.

а) Подчеркнем главные слова, чтобы лучше понять задачу.

б) Найдем число возможных исходов (результатов).

N = 100

в) Найдем число исходов, благоприятствующих событию А.

Количество солдат с высшим образованием.

А= 2.

г) Найдем событие A'  (противоположное событию А ).

Количество солдат без высшего образования.

A' = 100-2=98 .

д) Подставим в формулу вероятности событий (Р), подставив       найденные значения  

A'=98, N=100.

P (A')=   =  0, 98

Ответ: 0,98

2. Вероятность попадания в мишень стрелком равна  0,6 . Какова вероятность того, что он выстрелив промахнется?

а) Подчеркнем главные слова, чтобы лучше понять задачу.

б) Найдем число возможных исходов (результатов).

N = 100

в) Событие А –попадание в мишень. Противоположное событие A' – промах.

г)  Р(А) = 0,6.

P(A') = 1- 0,6=0,4  Количество солдат без высшего образования.

A' = 100-2=98 .

д) Подставим в формулу вероятности событий (Р), подставив       найденные значения  

A'=98, N=100.

      P (A') =   =  0, 98

Ответ: 0,98

Задачи для самостоятельного решения

I уровень:

1. Из 2000 собранных (сделанных) на заводе вентиляторов 6 штук бракованных (сломанных). Эксперт проверяет наугад выбранный вентилятор. Найдите вероятность того, что проверяемый вентилятор окажется бракованным.

2. На подносе 40 пирожков, из них 4 с капустой. Вася наугад берет с подноса один пирожок. Какова вероятность того, что взятый мальчиком пирожок будет с капустой.

3. В урне (ведро) 5 красных, 6 желтых и 7 зеленых шаров. Из урны наугад достают один шар. Какова вероятность того, что достанут желтый шар.

4. В фирме такси в данный момент свободно 10 машин: 5 черных, 1 желтая и 4 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему придет желтое такси.

5. В среднем из каждых 100 поступивших в продажу аккумуляторов 91 аккумулятор заряжен. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор будет НЕ заряжен.

6. В темном шкафу лежат 50 носков, из них 14 носков зеленого цвета. Какова вероятность того, что вытащенный на ощупь носок окажется зеленого цвета.

7. На детской карусели 20 мест, каждое сделано в виде какого-либо животного. Из этих мест только шесть сделаны в виде лошадки. Мальчик стоит рядом с работающей каруселью, которую остановят в некоторый зараннее неизвестный момент. Найдите вероятность того, что после остановки карусели ближайшее к мальчику место будет сделано в виде лошадки.

8. В соревнованиях по прыжкам в воду участвуют 50 спортсменов, из них 6 спортсменов из России. Порядок выступления определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, будет НЕ из России.

9. Для проведения лотереи было изготовлено 5000 билетов, из них 4975 билетов НЕ содержат выигрыша. Получив пенсию, Иван Иванович купил один билет. Найдите вероятность того, что он выиграет.

10. В соревнованиях по гимнастике участвуют 40 спортсменов, из них 8 спортсменов из России. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать спортсмен из России.

11. В девятом классе учатся 24 мальчика и 6 девочек. По жребию они выбирают одного дежурного в классе. Какова вероятность того, что это будет мальчик?

12. На подносе лежат одинаковые на вид пирожки: два с творогом, три с капустой , четыре с картошкой и один с мясом. Какова вероятность  того, что наугад взятый с подноса пирожок окажется с картошкой?

13. В соревнованиях по метанию копья участвуют 50 спортсменов, из них 7 спортсменов из России, 6 из Японии, 7 из Аргентины, а остальные из Америки. Порядок выступления определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что последним будет выступать спортсмен из Америки?

14. Для Новогодней лотереи подготовили 1400 билетов. В лотереи будут разыгрываться 2 машины, 18 путевок, и 50 денежных призов. Какова вероятность какого-либо выигрыша?

15. В начале занятия кружка рисования по жребию выбирают дежурного. Сегодня занимаются 3 мальчика, 7 девочек и 15 взрослых. Какова вероятность , что это будет взрослый?

16. Из слова “МАТЕМАТИКА” случайным образом выбирается одна буква. Найдите вероятность того, что эта буква окажется гласной.

17. На научной конференции будут выступать 3 докладчика из Германии, 2 из России и 5 из Японии. Найдите вероятность того, что четвертым будет выступать докладчик из России, если порядок выступления определяется жребием.

18. На тарелке 12 слоек (булочек): 9 с фруктовой начинкой, 2 с картофельной и 1 с печенью. Миша наугад выбирает одну слойку. Найдите вероятность того что, она окажется с фруктовой начинкой.

19. Миша с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе тридцать кабинок, из них 3- синие, 18-зеленые, а остальные- красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Миша прокатится НЕ в красной кабинке.

20. Из 1000 продающихся батареек в среднем 90 разряжены. Какова вероятность того, что случайно выбранная батарейка исправна?

21. На экзамене по математике 50 билетов. Андрей НЕ выучил 17 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

22. Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что игру будет начинать девочка.

23. У бабушки 10 чашек: 7 с красными цветами, а остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это чашка будет с синими цветами.

II уровень:

1. Маша решила покататься на карусели. Всего на карусели сорок лошадок, из них 4-синие, 24-зеленые, остальные –желтые. Лошадки по очереди подходят для посадки. Найдите вероятность того, что Маша прокатиться на желтой лошадке.

2. В магазине 250 ваз: 30 с красными узорами, остальные –с синими. Иван Петрович покупает случайно выбранную вазу. Найдите вероятность того, что это будет ваза с синими узорами.

3. Завхоз закупил 25 ежедневников для подарков сотрудникам на профессиональный праздник, из них 14 с коричневой обложкой и 11 –с бордовой. Найдите вероятность того, что Михаилу Аристарховичу достанется ежедневник с коричневой обложкой.

4. Из букв слова ВЕРЕТЕНО наугад выбирают одну букву. Найдите вероятность того, что будет выбрана буква Е.

5. На восьми карточках написаны числа 17, 23, 70, 124, 12, 78, 77, 44. Вася берет наудачу (наугад) одну из карточек. Найдите вероятность того, что число на выбранной карточке начинается на цифру 7.

6. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 100.

7. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало нечетное число очков.

8. В каждой пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя НЕ найдет приз в своей банке.

9. На экзамене по математике в билетах есть задачи по алгебре и по геометрии. Вероятность того, что в билете будет  задача по геометрии равна 0,3. Найдите вероятность того, что на экзамене ученику достанется билет с задачей по алгебре.

10. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 50.

11. Стас выбирает случайное  трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 48.

12. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел нечетна.

13. В магазине канцтоваров продается 100 ручек, из них 37 красные, 8 зеленые, 17 фиолетовые, еще есть синие и черные, их поровну. Найдите вероятность того, что при случайном выборе одной ручки будет выбрана красная или черная ручка.

14. Известно, что в некотором регионе вероятность того, что родившийся младенец окажется мальчиком, равна 0,52. На  сколько вероятность рождения девочек меньше, чем вероятность рождения мальчиков?

Самостоятельная работа

I уровень

Вариант 1

1.  Среди 35 книг стоят 7 учебников. Артем наугад берет одну из книг. Найдите вероятность того, что ему попадется учебник.

2. В мебельном магазине находятся 64 дивана, из которых 7 красного цвета, 9 синего цвета, а остальные - зеленого. На один из диванов случайным образом бросают подушку. Найдите вероятность того, что подушка будет брошена на диван зеленого цвета.

3. В среднем на 800 принтеров приходится двенадцать неисправных. Найдите вероятность купить исправный принтер, если покупать один принтер.

4.  В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок , в котором спортсмены стартуют , определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Бразилии.

Вариант 2

1. В кладовке среди 48 банок стоят 36 с яблочным вареньем. Даша берет наугад одну из банок. Найдите вероятность того, что ей попадется банка с яблочным вареньем.

2. У бабуси 24 гуся, восемь белых, один серый остальные – черные. Бабуся послала внука послать какого-нибудь гуся наугад. Найдите вероятность того,  что внук поймает черного гуся.

3. В среднем на 200 карманных фонариков приходится десять неисправных.   Найдите вероятность купить работающий фонарик.

4.  В соревнованиях по толканию ядра участвуют 10 спортсменов из Аргентины, 13 спортсменов из Бразилии, 7 спортсменов из Парагвая и 5 – из Уругвая. Порядок , в котором выступают спортсмены , определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Бразилии.

Действия с формулами

                                 Основные сведения

Выражение, содержащее числа, знаки арифметических действий

(+,-,*,:),буквы, которыми обозначены некоторые числа, называют буквенными выражениями. Подставив вместо буквы некоторое число, получим значение буквенного выражения, при указанном значении буквы.

3*X+2*Y – буквенное выражение

Найдем значение буквенного выражения

при Х=4; Y=5  подставив данные значения

3*4+2*5=12+10=22

Правило, записанное в виде равенства двух буквенных выражений называют формулой.

Например:

Математические формулы:

S=a*b (формула площади прямоугольника)

S= П R2   (формула площади круга)

Физические формулы:

S=V*t (формула для вычисления расстояния)

F=m*g   (формула для вычисления силы тяжести)

Речевой словарь: формула,

                                 буквенное выражение,

                                  значение буквенного выражения

Задачи с решениями

1. В одной из фирм стоимость поездки такси рассчитывается по формуле  С=12(t-5)+130, где t- длительность поездки (мин.). Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость семнадцатиминутной поездки.

а) Подчеркнем главные слова, чтобы лучше понять задачу.

б) Запишем формулу из задачи: С=12(t-5)+130

в) Запишем все известные величины.

t= 17 мин. (семнадцатиминутная - равна семнадцати минутам)

г) Определим, что нужно найти:

 С= ? (стоимость поездки)

 д) Подставим в формулу С=12(t-5)+130 , известные значения.

С=12*(17-5)+130=274 (руб.)

Ответ: 274 рубля стоимость поездки.

2. Расстояние s (в метрах) до места удара молнии можно приближенно вычислить по формуле s=330t, где t – количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома. Определите, на каком расстоянии от места удара молнии находится наблюдатель, если t=7. 

а) Подчеркнем главные слова, чтобы лучше понять задачу.

б) Запишем формулу из задачи: s=330t

в) Запишем все известные величины.

t=7  

г) Определим, что нужно найти:

 S= ?  (на каком расстоянии… )

 д) Подставим в формулу , известные значения.

s=330t

S= 330*7=2310 метров

Ответ: на расстоянии 2310 метров.

3. Зная длину своего шага, человек может приближенно подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s=nl , где n – число шагов,

 l – длина шага. Какое расстояние прошел человек, если l=60 см, n=1200?

а) Подчеркнем главные слова, чтобы лучше понять задачу.

б) Запишем формулу из задачи: s=nl

в) Запишем все известные величины.

l=60 см, n=1200

г) Определим, что нужно найти:

 S= ?  (какое расстояние… )

 д) Подставим в формулу , известные значения.

s=nl 

S= 330*7=2310 метров

Ответ: на расстоянии 2310 метров.

4. В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле , где  — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 5 колец.

а) Подчеркнем главные слова, чтобы лучше понять задачу.

б) Запишем формулу из задачи:

в) Запишем все известные величины.

Необходимо найти стоимость колодца из 5 колец. Так как n- число колец, то n=5.

г) Определим, что нужно найти:

С = ?  (рассчитайте стоимость… )

 д) Подставим в формулу , известные значения.

С=6000 + 4100*n

С=6000 + 4100*5=6000 + 20500= 26500 руб.

Ответ: стоимость колодца равна 26500 рублей.

5. Период колебания математического маятника (в секундах) приближённо можно вычислить по формуле , где l — длина нити в метрах. Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 8 секунд.

а) Подчеркнем главные слова, чтобы лучше понять задачу.

б) Запишем формулу из задачи:

в) Запишем все известные величины.

T-период колебания математического маятника

Период колебаний составляет 8 секунд, значит  T= 8 секунд.

г) Определим, что нужно найти:

 l= ?  (найдите длину нити… )

 д) Подставим в формулу , известные значения.

T=2 √l

8=2*√l

Решаем уравнение.

√l=8:2

√l=4

 l=2 (отрицательный корень откидываем, как посторонний)

Ответ: длина нити маятника равна 2 метрам.

Задачи для самостоятельного решения

I уровень:

1. Объем пирамиды вычисляют по формуле  , где  

         площадь основания пирамиды,  — ее высота. Объем пирамиды равен , высота равна . Чему равна площадь основания пирамиды?  

2. Расстояние s в метрах, которое пролетает тело за t секунд при свободном падении, можно приближенно вычислить по формуле: s = 5t2. На каком расстоянии от земли будет камень, упавший с высоты 60 м, через 3 секунды после начала падения?

3. Расстояние s (в метрах) до места удара молнии можно приближенно вычислить по формуле: s = 330t, где t – количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома. Определите, на каком расстоянии от места удара молнии находится наблюдатель, если t = 13 с. Ответ дайте в километрах, округлив его до целых.

II уровень:

1221463. Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле , где  — сила тока (в амперах),  — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление  (в омах), если мощность составляет 147 Вт, а сила тока равна 3,5 А.

1221464. Закон всемирного тяготения можно записать в виде , где  — сила притяжения между телами (в ньютонах),  и  — массы тел (в килограммах),  — расстояние между центрами масс тел (в метрах), а  — гравитационная постоянная, равная  Нм2/кг2. Пользуясь этой формулой, найдите массу тела  (в килограммах), если  Н,  кг, а  м.

1221465. Закон Джоуля-Ленца можно записать в виде , где  — количество теплоты (в джоулях),  — сила тока (в амперах),  — сопротивление цепи (в омах), а  — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите время  (в секундах), если  Дж,  A,  Ом.

1221466. Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле , где  — угловая скорость (в с), а  — радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите расстояние  (в метрах), если угловая скорость равна 8,5 с, а центростремительное ускорение равно 505,75 м/с2.

1221467. Перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта позволяет формула F = 1,8C + 32, где С – градусы Цельсия, а F – градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует 63 градусам по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.

1221468. Площадь треугольника можно вычислить по формуле   , где  и  — стороны треугольника,  — угол между этими сторонами. Пользуясь этой формулой, найдите , если , , .

1221469. Высоту  (в м), на которой через  секунд окажется тело, свободно падающее с некоторой высоты  (в м), можно приближенно вычислить по формуле . На какой высоте окажется тело через  секунды полёта с — метровой высоты?

                                           Текстовые задачи

1.Пропорции, части

Речевой словарь : отношение 

                частное,

                  5 (пять) относится к 3 (трём) также как 25 (двадцать пять)   относится к 15 (пятнадцати)

Основные сведения

Отношение двух чисел – это частное от деления одного из них на другое.

5 : 3 =  = 1

Пропорция – это равенство двух отношений.

5 : 3 = 25 : 15

5 и 15 – крайние члены (край)

3 и 25 – средние члены (середина)

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

5 * 15 = 3 * 25

Задачи с решениями

1. Масса холодильника 45 кг, а масса упаковки 3 кг 600 г. Найдите отношение массы холодильника к массе упаковки.

Словарь: масса – вес

                  упаковка – коробка

     а) Подчеркнём главные слова, чтобы лучше понять задачу.

     б) Вспомним определение отношения.

     в) Переведём массы в одинаковые единицы измерения (в граммы):

45 кг = 45000 г

3 кг 600г = 3600 г

     г) Найдём отношение: 45000 : 3600 =  =  = 12,5

     Ответ: 12,5

2. В стоимость путёвки входит проживание и проезд. Стоимость проезда  - 5400 руб., а стоимость проживания – 30600 руб. Какую часть от всей стоимости путёвки составляет проживание?

а) Подчеркнём главные слова.

б) Составим схему:                             Путёвка

                                             Проезд                   Проживание

                                               5400 руб.                   30600 руб.

в) Найдём стоимость всей путёвки:

5400 + 30600 = 36000 (руб.)

г) Часть стоимости проживания от стоимости всей путёвки – это отношение стоимости проживания к стоимости всей путёвки.

Вспомним определение отношения.

д) Найдём отношение: 30600 : 36000 =  = 0,85

Ответ : 0,85

3. За 5 кг фруктов заплатили 820 рублей. Сколько следует заплатить за 3 кг таких фруктов?

а) Подчеркнём главные слова.

б) Составим схему:              5 кг – 820 руб

                                                  3 кг – х руб

   Меньше фруктов, значит меньше денег, т.е это прямая пропорциональность.

в)  Составим пропорцию:     5 : 3 = 820 : х

                                                5 * х = 3 * 820

                                (основное свойство пропорции)

                                                    5 * х = 2460

                                                    Х = 2460 : 5

                                                    Х = 492 руб

3 кг фруктов стоят 492 рубля.

Ответ: 492.

4. С помощью 5 одинаковых труб бассейн заполняется водой за 48 минут. За сколько минут можно заполнить бассейн с помощью 8 таких труб?

а) Подчеркнём главные слова.

б) Составим схему:                      5 труб – 48 мин

                                                        8 труб – х мин

Чем больше труб, тем быстрее заполнится бассейн (меньше времени), т.е. это обратная пропорциональность.

в) Составим пропорцию:        5 : 8 = х : 48                                      

                                                   8 * х = 5 * 48

                                     (основное свойство пропорции)

                                                       8 * х = 240

                                                       Х = 240 : 8

                                                       Х = 30 мин

8 труб наполнят бассейн за 30 минут.

Ответ: 30.

5. Угол в 140◦ разделён на 4 части, градусные меры которых относятся как 2 : 3 : 4 : 5. Найдите градусную меру меньшего из полученных углов.

а) Подчеркнём главные слова.

б)   Составим  схему:                    

                                       2 доли

 4 части                         3 доли           140◦

                                      4 доли

                                      5 долей

в) Пусть х◦ - величина одной доли. Тогда 1 часть – 2х  (2 доли), 2 часть – 3х  (3 доли), 3 часть – 4х  (4 доли), 4 часть – 5х  (5 долей).

г) Составим уравнение: 2х +3х + 4х + 5х = 140

                                              14х = 140

                                               Х = 140 : 14

                                               Х = 10      (1 доля)

д) Найдём меньший угол:

Меньший угол – 2 доли, значит 2 * 10 = 20◦

Ответ: 20◦

Задачи для самостоятельного решения

1. Ширина комнаты 3,2м, а длина – 480 см. Найдите отношение ширины комнаты к её длине.

2. В школе 240 старшеклассников, из них 80 человек учатся в 10 классах. Какую часть всех старшеклассников составляют десятиклассники?

3. Масса колбасы 4 кг, а масса сосисок – 600г. Найдите отношение массы сосисок к массе колбасы.

4. Из 13,2м шёлка сшили 4 сарафана. Сколько таких сарафанов можно сшить из 23,1м ткани?

5. Для строительства стадиона 5 бульдозеров расчистили площадку за 2 ч 20 мин. За какое время 7 таких бульдозеров расчистят эту площадку?

6. Для переноса мебели в школу 6 ребятам потребовалось 1 час 12 минут. Сколько времени потребуется 9 ребятам для переноса той же мебели в школу?

7. Тетради в количестве 126 штук разделили между двумя классами в отношении 10 : 11. Сколько тетрадей составляет большая часть?

8. За 50 рублей купили 3,2 кг баклажанов. Сколько кг баклажанов можно купить на 65 рублей?

9. Сварили джем из малины, красной смородины и чёрной смородины массой 3 кг. Найдите массу малины в джеме (в кг), если массовые доли ингредиентов джема в указанном порядке относятся как 2 : 1 : 3.
10. За  ч велосипедист проезжает 3,6 км. Какое расстояние он проедет за  ч, двигаясь с той же скоростью (в км)?

11. Две трубы наполняют бассейн за 5,3 часа. За какое время наполняют бассейн 5 таких труб (в ч)?

2.Проценты

Речевой словарь : процент

                 сотая часть

                  пропорция

                  основное свойство пропорции

             повышение (больше)

             понижение (меньше),

             скидка (стало меньше),

                   наценка (стало больше)

                                Основные сведения

Процент числа – это сотая часть числа.

1% - 0,01

50% - 0,5

25% - 0,25

Задачи на проценты делятся на три вида:

• нахождение процентов от числа (или части от числа)

Найти 35% от числа 600.

Составим краткую запись:

600   -   100%

Х        -   35%

Это прямая пропорциональность.

Составим пропорцию:

600 : х = 100 : 35

100х = 600*35

(основное свойство пропорции)

100х = 21000

Х = 21000 :100

Х = 210

Ответ: 210

• нахождение числа по его процентам (или числа по его части)

Найти число, 12% которого равны 30.

Составим краткую запись:

12%    -   30

100%  -   х

Это прямая пропорциональность.

Составим пропорцию:

12 : 100 = 30 : х

12х = 100 * 30 (основное свойство пропорции)

12х = 3000

Х = 3000 : 12

Х = 250

Ответ: 250

• нахождение процентного отношения чисел

Сколько процентов составляет 24 от 300?

Составим краткую запись:

300  -  100%

24   -   х

Это прямая пропорциональность.

Составим пропорцию:

300 : 24 = 100 : х

300 х = 24 * 100 (основное свойство пропорции)

300х = 2400

Х = 8

Ответ: 8%

 Задачи с решениями

1. Цена изделия составляла 5500 рублей и была снижена  на 15%. Какой стала цена товара?

 а) Подчеркнём главные слова.

б) Составим схему:

  5500 р   -  100%

  Х р   -  100% - 15%

5500 р   -  100%

      Х р   -  85 %

в) Составим пропорцию:

    5500 : х = 100 : 85

    100х = 5500 * 85

 (основное свойство пропорции)

    100х = 467500

     Х = 467500 : 100

     Х = 4675 рублей

Ответ: 4675.

2. Цена изделия составляла 1000 рублей и была снижена сначала на 10%, а затем ещё на 20%. Какова окончательная (стала) цена товара?

 а) Подчеркнём главные слова.

б) Составим схему:

  1000 р   -  100%

       Х р   -  100% - 10%

1000 р   -  100%

       Х р   -  80%

в) Составим пропорцию:

    1000 : х = 100 : 90

    100х = 1000 * 90

 (основное свойство пропорции)

    100х = 90000

     Х = 90000 : 100

     Х = 900 р

г) Составим новую схему:

    900 р  -  100%

    Х р  -  100% - 20%

    900 р  -  100%

       Х р  -  80%

д) Составим пропорцию:

     900 : х = 100 : 80

     100х = 900 * 80

     100х = 72000

     Х = 72000 : 100

     Х = 720

Ответ: 720 рублей.

3. В доме 160 двухкомнатных и 240 трёхкомнатных квартир. Сколько процентов от всех квартир составляют трёхкомнатные?

а) Подчеркнём главные слова.

б) Составим схему:

2-х комн – 160                  ?

3-х комн - 240

% - ? 3-х комн от  

1. Сколько всего квартир в доме?

160 + 240 = 400 квартир

2. Сколько процентов от всех квартир составляют трёхкомнатные?

Составим схему:

400 – 100 %

240 – х %

Составим пропорцию:

400 : 240 = 100 : Х

400 * Х = 240 * 100

(основное свойство пропорции)

400 * Х = 24000

Х = 24000 : 400

Х = 60

Ответ: 60 %

3. Когда рабочий сделал 2484 детали, то оказалось, что он выполнил 46% месячной нормы. Сколько деталей составляет месячная норма рабочего?

а) Подчеркнем главные слова.

б) Составим схему:

2484 – 46%

     Х – 100%

в) Составим пропорцию:

2484 : Х = 46 : 100

(основное свойство пропорции)

46 * Х = 2484 * 100

46 * Х = 248400

Х = 248400 : 46

Х = 5400

Ответ: 5400 деталей

1. Расчёт дохода по вкладу, расчёт кредита

Речевой словарь:    вклад (деньги принесённые в банк)

                     … % годовых (сумма, на которую увеличивается вклад  через год)

                     срок вклада (время, на которое деньги помещаются в

                     банк)

                      кредит под … %

Задачи с решениями

1. Клиент открыл в банке счёт и положил на срочный вклад 2000 рублей. Определите сумму вклада через 2 года, если банк начисляет ежегодно проценты по ставке 12 % годовых и дополнительных вложений не поступало.

а) Подчеркнём главные слова.

б)Человек положил в банк 2000 рублей. Так как банковский процент – 12 % годовых, то эта сумма увеличится через год на 12%.

Составим схему:

2000 – 100 %

     Х – (100 + 12) %

2000 – 100 %

     Х – 112 %

Составим пропорцию:

2000 : Х = 100 : 112

(основное свойство пропорции)

100 * Х = 2000 * 112

100 * Х = 224000

Х = 224000 : 100

Х = 2240 рублей

Так как банк начисляет 12% каждый год, то второй год 12% начисляется на 2240 рублей.

Составим новую схему:

2240 – 100 %

Х – 112 %

Составим пропорцию:

2240 : Х = 100 : 112

(основное свойство пропорции)

100 * Х = 2240 * 112

100 * Х = 250880

Х = 250880 : 100

Х = 2508,8

Ответ: 2508,8 рублей.

2. Банк предоставляет клиентам кредит под 20% годовых. Найдите какую сумму заплатит клиент за кредит в 300000 рублей через год.

а) Подчеркнем главные слова.

Б) Составим схему:

300000 – 100%

Х – 120% (100 + 20)

Составим пропорцию:

300000 : х = 100 : 120

100 * Х = 300000 * 120

(основное свойство пропорции)

100 * Х = 36000000

Х = 36000000 : 100

Х = 360000

Ответ: 360000 рублей

3.Концентрация  вещества

Речевой словарь:      масса раствора,

                       масса сплава (вес)

                       концентрация вещества (отношение массы вещества к массе раствора)

                       раствор (вода + вещество)

Основные сведения:

М – масса раствора

Р – концентрация вещества по массе, выраженная в процентах

Х – масса чистого вещества

Задачи с решением:

1. Смешали два раствора уксуса: первый массой 200г, второй – 300г. Концентрация первого раствора 9%, второго – 12%. Какова концентрация полученного раствора?

а) Подчеркнём главные слова.

Б) 1. Найдём массу уксуса в первом растворе.

        Х =  * 200 = 18(г)

2. Найдём массу уксуса во втором растворе.

        Х =  * 300 = 36 (г)

3. Найдём массу уксуса после того как их смешали.

        18 + 36 = 54 %

4. Найдём массу всего нового раствора.

200 + 300 = 500(г)

5. Найдём концентрацию уксуса в новом растворе.

Р =  * 100 = 10,8 %

Ответ : 10,8 %

2. Какую массу воды нужно добавить к 100г 40%-ного раствора щелочи, чтобы получить 10%-ный раствор?.

а)Подчеркнем главные слова.

Б)1.Найдём массу щёлочи в 1 растворе (эта же масса уксуса и в новом растворе, т.к добавляют только воду)

    Х =  * 100 = 40 (г)

   2.Найдём массу нового раствора.

     М =  = 400 (г)

   3.Сколько воды добавили?

     400 – 100 = 300 (г)

Ответ: 300 грамм

Задачи для самостоятельного решения

I уровень:

1. Цена ковра со скидкой 10% равна 4500 рублей. Найдите стоимость ковра без скидки.

2. Какую сумму заплатит покупатель, купив товар стоимостью 500 рублей с 7% скидкой?

3. Магазин бытовой техники проводит распродажу товаров. Какая была первоначальная стоимость телевизора, если после 30% скидки он стал стоить 35000 рублей?

4. Флакон шампуня стоит 210 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?

5. Банк предоставляет клиентам кредиты под 15,6% годовых. Найдите, какую сумму заплатит клиент, если он расплатится за кредит в 150 000 рублей через год.

6. Банк начисляет на срочный вклад 12,4% годовых. Вкладчик положил на счёт 700000 рублей. Какая сумма будет на счёте через 2 года, если счёт пополняться не будет?
7. Банк предоставляет клиентам кредит под 19%. Найдите, на какую сумму взял кредит клиент, если через год он выплатил 297500 рублей?

8. Банк начисляет на срочный вклад 15% годовых. На счёте вкладчика через год оказалось 172500 рублей. Какую сумму вкладчик положил на счёт?

9. Смешали три раствора сахара массой по 200 г каждый. Концентрация первого – 14%, второго – 16%, третьего – 30%. Какова концентрация полученного раствора?

10.  Площадь садов фермерского хозяйства распределена так: яблонями занято 7 га, грушами – 24 га. Сколько примерно процентов площади садов занимают груши?  (результат округлите до целых)

11. Смешали 4 л 18%-го водного раствора некоторого вещества с 6 л 8%-го раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.

12. Сколько литров воды надо добавить к 20 литрам 10%-го раствора соли, чтобы получить 5%-ый раствор?

II уровень:

1. Семья из двух взрослых людей и трёх детей отправились в путешествие по реке на теплоходе. Билет для взрослого стоит 3000 рублей, для ребёнка делается скидка 25%. Найдите стоимость всех билетов. Ответ дайте в рублях.

2. Билет на новогоднее представление для ребёнка стоит 1000 рублей, для взрослого – 1200 руб., а если покупается ещё и подарок за 600 руб., то фирма делает скидку 15%  от общей суммы, если она превышает 5000 рублей. Найдите стоимость посещения представления для группы, состоящей из двух взрослых и пяти детей, если для каждого ребёнка куплен подарок.

3. В период распродажи магазин снижал цены два раза: в первый раз на 20%, во второй раз – на 15%. Сколько рублей стал стоить вентилятор после второй уценки, если первоначальная его стоимость была 10250 рублей?

4. Цена холодильника сначала повысилась на 13 %, потом понизилась на 20% от новой цены, после чего составила 11300 рублей. Найдите первоначальную цену холодильника (в рублях).

5. Цена книги 125 рублей. У покупателя имеется 3000 рублей. Какое максимальное количество книг он сможет купить, если цена уменьшится на 15%?

6. Имеется два раствора соли разной концентрации. Первый раствор с концентрацией 30%, второй – 55%. В каком отношении надо взять первый и второй растворы, чтобы получить новый раствор соли с концентрацией 40%?

7. Яблоки подешевели на 20%. Сколько яблок можно теперь купить на те же деньги, на которые раньше покупали 2,8 кг?

8. Сумма вклада в банке увеличилась с 2000 рублей до 2420 рублей. Под какой процент годовых были положены деньги в банк?

9. В смеси спирта и воды спирта в 4 раза меньше, чем воды. Когда к этой смеси добавили 20 литров воды, получился раствор концентрации 12%. Сколько воды было в смеси первоначально?

10. После истечения двух лет сумма банковского вклада, положенного под 3% годовых, выросла на 304,5 рублей. Найдите первоначальную сумму вклада.