Статья: Системы тригонометрических уравнений.
статья по алгебре (10 класс) на тему

Эта статья поможет учителю при организации дополнительных занятий  по математике в 10 классе.

Скачать:


Предварительный просмотр:

Статья: Системы тригонометрических уравнений.

1.Системы вида

  (1)

Складывая и вычитая уравнения системное (1), получаем равносильную систему

  1.  (2).

Система (1), а затем и система (2), имеют решение в том и только случае, когда выполняются условия
|a+b|<=1, |b-a|<=1.

Если эти условия выполнены, то

  (3)

В формулах (3) к и п – любые целые числа, а знаки выбираются произвольно.

Полагая (a+b) = α, (b-a) = β,

получаем из (3).

 

 

 

 

Откуда находим четыре серии решений:

 

 

 

 

Аналогично можно получить решение системы

 

Контрольные задания

  1. Решить систему уравнений

а)

б) (МИФИ 1977)

в)  (МВТУ 1976)

г)         

е)

ж) 

Система вида

  a*b не=0

 a*b не=0

  a*b не=0

Сводятся к системам вида 1

  1. Система вида

 (4)

сводятся заменой неизвестных u=sinx, v=siny к алгебраической системе  (5)

(5)

и имеет решения (t1;t2), (t2;t1), где

t1= (a+\)/2  

t2=(a- )/2

Так как |u| <=1 и |v|<=1, то система имеет рашения в том и только в том случае, если выполняются условия а) b>=(a^2)/2 б) |t1|<=1, |t2|<=1

Если эти условия выполнены, то решению (t1;t2) cистемы(5) соответствуют уравнения sinx=t1, siny=t2, откуда

 

Аналогично, решению (t2;t1) системы (5) соответствует решения

 

К системам вида (4) сводятся системы

 

 

 

 

Контрольные задание

2.Решите систему  уравнений

а)

б)

в)  

г)

д)

3 Система вида

  (6)

Используя формулу для суммы синусов, запишем первые уравнение в виде 2*sin(x+y)/α cos(x-y)/α

так как x+y=α, то исходная система равносильно системе

 (7)

Рассмотрим два умножных случая

а) sin α/2 = 0 (т.е α=2Пт)

тогда y=2Пт-x (m принадлежит Z),  из первого уравнения системы (6) получаем sinx-sinx=a, т.е. a=0
Итак, если sin α/2 =0, то система разрешима лишь при a=0 и сводится к одному уравнению x+y=α

б) sin α/2 не=0

тогда система (7) равносильна системе

 (8)

Положим a/sinα/2 =b Если выполнено условие |b|=1, то из (8) получим

 

 

Если условие |b|<=1 не выполняется, т.е |b|>1,

то система решений не имеет.

Аналогично решаются системы вида

 

 

Контрольные задание

3.Решить систему уравнений

а)  

б)

в)

г)

д)

е)

4 Системы вида

 (9)

Заменим сначала, что система легко решается, если какие-либо из чисел a1,b1,a2,b2 равно нулю.

Пусть, например a1=0. Тогда из первого уравнения находим siny=c1/b1 , а затем из виторого определяем cosx.

Пусть теперь a1 b1 a2 b2 не= 0. Систему (9) естественно решать методом исключения одного из неизвестных, например x. с этой целью заменим систему (9)

(9)  (10)

Возводя уравнения системы (10) в квадрат и складывая, получаем уравнение вида

a*cosy+b*siny+c*sin^2y= (11)

Уравнение (11) подстановкой tg y/2=t

сводится к уравнению вида

α0*t^4+α1*t^3+α2*t^2+α3*t+α4=0

Таким образом, в общем случае нахождение решений системы (9), несмотря на кажущуюся простоту этот системы, является весьма трудной задачей.

Если же одно из чисел c1,c2 равно нулю, то в уравнение (11) либо a=0 , Либо b=0, и, сл-но, уравнение (11) сводится к квадратному относительно siny или cosy

Находя siny (или cosy) и подставляя найденное значение в систему (10), мы определим из этой системы sinx или cosx.

Заметим, что уравнение (11) с одним из уравнений системы (10) образуют систему, являющуюся следствием исходной системы.

поэтому возможно появление посторонних корней, которые выявляются проверкой (подстановкой в исходную систему).

Контрольные задания

4.Решить систему уравнений

а) 

б)

в)

г)

д)

Контрольные задания

5.Решите систему уравнений

а) (МГУ, экономический ф-т) Найти все решения системы уравнений

  Ответ:+-

б)(МГУ, экономический ф-т) Найти все решения системы уравнений

 

Удовлетворяющие условия

0<=x<=П/2 , -П<=y<=0

Ответ (П/6;-П);(П/6;-П/6);(П/6;0).

в) (МГУ, геологический ф-т). найти все решения системы уравнений

 

Ответ:

д) (Мгу, геологический ф-т) Найти все решения системы

 

Ответ:

е) (Мгу, физический ф-т. Решить систему уравнений

Ответ


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Задания по теме "Тригонометрические уравнения, системы и неравенства с параметром, 10-11 класс

Тригонометрия - важнейшая составная часть математики. В конспекте собраны уравнения, системы и неравенства с параметром...

методический материал "Система заданий по теме решние тригонометрических уравнений", 10 класс

Дидактический материал "Система заданий по теме "решение тригонометрических уравнений" составлен по 3-м урвням....

Системы тригонометрических уравнений

В работе рассмотрены различные способы решения четырех видов систем. Это системы уравнений, в которых одно уравнение- алгебраическое, а другое - сумма или разность тригонометрических функций. Второй в...

Урок-зачет в 10 классе по теме «Тригонометрические уравнения, неравенства, системы уравнений»

Цель урока: Проверить знания и умение применений формул для решения тригонометрических уравнений.Вид работы: «Смотр знаний», состоящий из 5 этапов, проводится в течение двух уроков. За каждый эт...

Конспект урока по теме: ”Тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a. “

Разобраны свойства функции sinx. Приведено решение уравнения sinx=a. Разобраны 4 примера....

Урок-зачет по теории и практике по теме "Тригонометрические уравнения, неравенства и системы уравнений"

В данном уроке представлены вопросы к зачету и практические задания....

Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы. Равносильность уравнений, неравенств, систем.

Уравнения и системы уравнений. Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы. Равносильность уравнений, неравенств, систем....