"Какие же они все разные" (методы решения иррациональных уравнений)
олимпиадные задания по алгебре (11 класс) на тему

                                                  …Математические сведения могут

                                                  применяться умело и с пользой только

в том случае, если они усвоены творчески,

                                                      так, что учащийся видит сам, как можно

                                                      было бы прийти к ним самостоятельно.

(А. Н. Колмогоров)

« Какие же они все разные»

Методы решения рациональных уравнений.

  В школьных  учебниках   на  тему  «Иррациональные уравнения» предлагается примерно следующие уравнения, которые без затруднения решит любой выпускник:

1)  х +;

  =2;

3)  х 2 = ;

4)  6 = 

Рассмотрим более сложные уравнения, которые встречаются в олимпиадных задачах.

№1.    +   = 1

№2.  +  = 2

№3. + + +   = 2

№4.   +  2

№5.    

№6.     х2     

№7.      + = 4 2 

№8.    +  =  у +5

 №9.   6 += 5

№10.        +   = 2 х

№11.       +    =  18

№12.      + х  =  

Предлагаю вашему вниманию решения этих  уравнений                               Уравнение  №1  +   = 1

  Его можно решить несколькими способами, но самый рациональный метод решения следующий:

  обозначим   =  а ,   = в;         откуда        х = а2,      х  =  в3  +1  

 Составим систему уравнений:    а  + в  = 1,          а = 1   в,                                           

                                        а2  = в3  +1          (1  в) 2  =  в3  +1  

Решив  второе уравнение системы  получим   1 2 в  + в2  в3  1 = 0 ,     получим:    в (в2  в  +2)   = 0 ,  откуда   в = 0 

и находим   х  = в3  +1      т. е.      х  = 1                              

                                                                                  Ответ: 1   

Уравнение  №2.  + = 2

 Заменим        на переменную -   а

 = а,  тогда   = а2  + 2;                                                                                      Тогда  уравнение  примет вид:     +   

       +  = 2  

               +    = 2 ,   это  уравнение  с модулем решим                    на интервалах:   (; 1)  ,    [;  3)  и [ 3; +.

На интервале   (; 1)  получим:      – ( –1) – ( – 3)  = 2,     –  +1  –   +3 = 2  –2 = –2,  а = 1, но  значение  1  не принадлежит интервалу(; 1).

На интервале  [;  3) получим:    –1 –  + 3  = 2,    0 =0,                                                         т. е.    – любое число из [;  3).

На интервале  [ 3; +( –1) + ( – 3)  = 2;  –1 +  – 3  = 2,                       2 =6,     = 3, значение 3 принадлежит  [ 3; +.

Значит:  1 ,  зная, что  х = а2  + 2 получим   12 +2   32 +2                                                                                  

3 11.          Ответ:   [3; 11].

Уравнение  № 3

 + + +   = 2

 Найдем область  допустимых значений переменной  х из условия, что выражение, стоящее под корнем четной степени должно быть неотрицательным.          0,

                                            0,      

 Методом интервалов решим первое неравенство системы:

                                                          +                                                            

1. 2                       [ 0;2]

  Решим второе неравенство системы:

+                  +                                          +                        

                - 1                              0                               2                                    

                     (- [2;+               Значит, решение системы неравенств:   = 0,   =2.   Подставив  в исходное уравнение,  убеждаемся, что  = 0 не является  решением, а   = 2   удовлетворяет.            Ответ: 2

Уравнение  № + 2

Это однородное  иррациональное уравнение, которое решается методом деления на одно из слагаемых:  + 2   = 8 

 1 + 2 = 8 ()2 ;   Пусть   =  t,  тогда  ()2  =  t2

 Решив уравнение  1 + 2 t = 8 t2,   получим  2 корня:   t = 0,5 и t  = 0,25.                      Вернемся  к переменной  ,    = 0,5   или   = 0,25.  Возведя   каждое из  этих уравнений  в куб, получим:

     ()3  = 0,53     или    ()3   = (0,25)3

           =           или       =  

    8 ( – 1) =  +1     или    64 ( – 1) =  ( +1)        

             =                  или         =                      Ответ:     

 Уравнение №5.

 Возведем обе части уравнения в куб.  В левой части уравнения куб суммы:      (а+в)3 = а3 + 3 а2 в + 3 а в2   +в3;          Получим:

( 3 + 3)2 ( +3) ()2 = ()3,

  +1 + 3  3х +1  =

                                                           -  дано

 3   =

3   =  ,                                                   =                                                                                                                      1) =  )3,

( 2  ) =  ( 3 + 3  2 + 3  + 1),

3  3   3  +  2 =  3  3  2  3                                                                          4 3  + 4 2  = 0,     откуда  = 0     или      =  1                                                                           Проверкой убеждаемся, что  = 0 не является корнем уравнения.  Ответ:  1

       Уравнение № 6. 2     , перепишем уравнение в виде:         2     

                       ( – 3)2  + (2    =  0,  сумма  неотрицательных чисел равна 0,  если одновременно равны нулю оба слагаемых, т. е.                                                                                                     - 3 =  0,              =  3,  

         = 0;        = 4;  но эта система уравнений противоречива.

                            Ответ:  уравнение  не имеет корней.                                                                                                                

Уравнение № 7.

   Решим это уравнение методом оценки  левой и правой частей уравнения:

   +  =  5  

Заметим  что,

     = 2   и    = 3

А правая часть 5  , при любом значении х  наоборот  меньше или равно (не больше)  5,   причем    наибольшее значение, равное    5 достигается при    =  1.  Таким образом,  равенство  возможно   при таком значении   х,   при   котором обе части   уравнения  будут  равны 5.       Значит,   =  1.               Ответ:   1  

Уравнение № 8.

  +  =  у +5.

Это  уравнение с двумя переменными,  найдем область допустимых значений переменных х и у .        4    2   0,

                                         1+ 4    0,                    

                                          4  16   0,

                                           2  + у 2   0.

Первое и третье  неравенства этой системы дают решение    2.      число х = 2  не удовлетворяет  второму неравенству системы. Годится  = 2.  Тогда,  подставив  в  исходное  уравнение   = 2, получим уравнение вида:     0      =  0 + 5  у,                               = 2   если  у  у  = 2  у  =  1,5.              Если   у  1,  то   1,   получим уравнение  0 у = 1,    которое  не имеет решения.       Ответ:    = 2,  у = 1,5.

Уравнение № 9.

.   6 += 5 ,   прежде всего, заметим,    что  (- [2;+

   Считая, что х                                                                         Это   однородное уравнение, метод решения однородных уравнений мы рассмотрели в примере 4.  Разделим  обе части уравнения на выражение ,    при  0 получим  6 + = 5)

Пусть   = t, t  6 + t2 = 5 t, откуда   t = 2 или t = 3

 Значит

Решая эти уравнения, находим           или    =  

 Ответ:; .

Уравнение № 10.   +   = 2 х

Решим методом « искусства».  Обе части уравнения разделим  на х,  х 0.              

 + = 2,  пусть  тогда  =,  0

 = 2,  2    2,  находим  =1,

  = х,    х2,,     

                                  х                     откуда   получим   х =5.   Ответ: 5

 Уравнение № 11. 

  +    =  18

  Преобразуем выражение = =

() х    +     = 18,  пусть     =  у,              тогда уравнение примет вид:   + у = 18,  решив это уравнение получим                  у = 9 +     или    у = 9  

  = 9 +    или 9  

         = 2                         или                                =   2             Ответ:    

Уравнение № 12.     +   =  

 Рассмотрим  два случая:    

1. Если     уравнение примет вид    +   =    

       ,  что невозможно.                                                                         2) Если     уравнение примет вид    +   =   ( 

   решив,   получим      = 0,625                                              

                                                                    Ответ:   0, 625

Гафарова Рузиля Талгатовна , учитель математики.