Учебные презентации учащихся к урокам алгебры и геометрии
презентация к уроку по алгебре (10, 11 класс) на тему
При закреплении каждой темы учащиеся старших классов выполняют презентации. Это могут быть индивидуальные презентации или презентации, выполненные творческой группой класса.
Особо отмечаю работы, выполненные к семинарским занятия по темам: "Производная и её применение" и "Интегральные исчисления".
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Пусть точка движется с переменной скоростью по закону S ( t ) В момент времени t тело прошло путь S ( t ). В момент времени ( t +D t ) тел о прошло путь S ( t +D t ). За время D t тело прошло путь D S . D S = S ( t +D t )- S ( t ). Средняя скорость точки за время D t : .
Если t 0, то средняя скорость приближается к некоторому числу, которое называется мгновенной скоростью и обозначается, . Физический смысл производной состоит в том, что производная функции в точке равна мгновенной скорости изменения функции в этой точке.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Угловой коэффициент прямой Пусть функция y = f ( x ) задана графически. Точка М принадлежит графику функции y = f ( x ) и имеет координаты М ( x ; f ( x )) МТ - касательная к графику функции МN - секущая. Дадим аргументу приращение D x . Точка N принадлежит графику функции y = f ( x ) и имеет координаты N ( x +D x ; f ( x +D x )). -это угол между касательной МТ и положительным направлением оси OX .
-это угол между секущей MN и положительным направлением оси OX ; из . Если x 0,то N M и Вывод : Если график y = f ( x ) в точке ( x ; f ( x )) имеет касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то функция y = f ( x ) имеет в этой точке производную. Верно и обратное утверждение.
Тангенс угла . Значит, геометрический смысл производной состоится в том, что значение производной функции y = f ( x ) в точке x равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x : Тангенс угла называется угловым коэффициентом касательной. Обозначается: .
История дифференциальных исчислений О происхождении терминов и обозначений. Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций называется дифференциальным исчислением. Приращения вида , представляющие собой разности , играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia ( разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей. Термин производная ввел Лагранж в 1797 году. Производная определяется во всех руководствах именно как предел. Пишут f (хо) = lim вместо принятого выше обозначения Обозначение lim - сокращение латинского слова limes ( межа, граница); уменьшая, например, , мы устремляем значения к «границе» Г (хо). Термин предел ввел Ньютон. Примером бесконечно малой может служить функция от , поскольку —>0. Вообще, если lim (х) =0, говорят, что - бесконечно малая. Бесконечно малые играют важную роль в математическом анализе, который поэтому часто называют также анализом бесконечно малых. Заметим наконец, что слово « экстремум»№ происходит от латинского extremum ( крайний). Мах imum переводится как наибольший, а minimum - наименьший.
Из истории дифференциального исчисления. 1) Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н. Тартальи-здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. И. Кеплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса. К рассмотрению касательной и нормали( так называется прямая, перпендикулярная касательной и проведенная в точке касания) Декарт пришел в ходе изучения оптических свойств линз. С помощью методов аналитической геометрии и изобретенного им метода неопределенных коэффициентов он сумел решить задачи о построении нормалей к ряду кривых, в том числе эллипсу. В 1629 г. П. Ферма предложил правила нахождения экстремумов многочленов. Систематическое учение о производных развито Лейбницем и Ньютоном, который сформулировал две основные проблемы анализа: 1. Длина проходимого пути постоянно (т.е. в любой момент времени ) дана; требуется найти скорость движения в предложенное время. 2. Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденного в предложенное время пути. Первая проблема задает программу развития дифференциального исчисления. Вторая относится к интегральному исчислению А. Лопиталь, который учился у Бернулли, издал уже 1696 году первый печатный курс исчисления «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий», способствовавший распространению новых методов. С числовыми и функциональными рядами работал не только Ньютон, но и его предшественники, и поэтому несколько несправедливо название формула Тейлора ( Б. Тейлор (1685-1731)- английский математик, опубликовавший ее в 1715 году.), принятое для следующего замечательного соотношения: ( здесь (х)- значение полученное n -кратным дифференцированием функции f в точке х0, а n !=1 2...п.
Основная трудность состояла в том , что точные определения таких ключевых понятий, как предел, непрерывность , действительное число , отсутствовали( соответственно и рассуждения содержали логические пробелы, а иногда были даже ошибочны. Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы прошлого , века французским математиком О. Коши (1789-1857), предположившим точные определения пределов функции и последовательности и на их основе доказавшим многие фундаментальные теоремы анализа. Несколько раньше (1821г.) определения предела и непрерывности , целый ряд других замечательных результатов ( в том числе знаменитый пример функции, непрерывной на промежутке, но не имеющий производной ни в одной его точке) получил чешский математик Б. Больцано (1781-1848), но его работы стали известны много позднее. Определение предела функции по Коши формулируется так: «Число А называется пределом функции f ( x ) при х, стремящемся к а (т.е. lim f ( x )= A ), если для любого числа 0 , можно подобрать такое число,что f ( x )- A для всех х, удовлетворяющих неравенству Опираясь на это определение, уже нетрудно дать определение непрерывности в точке: функция f непрерывна в точке хо если lim f ( x )= f ( xo ). Число А является пределом последовательности , если для любого существует номер N , такой, что при всех n N верно неравенство. Яркие характеристики глубины переворота а математике, происшедшего bXVII в., дали Карл Маркс и Фридрих Энгельс. Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции , бесконечно малых величин, пределов и производных, был охарактеризован Марксом как « Мистический» .
ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ Лагранж, Жозеф Луи (1736–1813), французский математик и механик. Родился 25 января 1736 в Турине. Отец хотел, чтобы сын стал адвокатом, и определил его в Туринский университет. Однако там все свое время Жозеф отдавал физике и математике. Рано проявившиеся блестящие математические способности позволили ему в 19 лет стать профессором геометрии в Артиллерийской школе Турина. В 1755 Лагранж послал Эйлеру свою эпохальную математическую работу об изопериметрических свойствах, положенных им впоследствии в основу вариационного исчисления, а 1756 он по представлению Эйлера стал иностранным членом Берлинской академии наук. Принимал участие в организации в Турине научного общества (впоследствии ставшего Туринской академией наук). В 1764 Парижская академия наук объявила конкурс по проблеме движения Луны. Лагранж представил работу, посвященную либрации Луны, которая и была удостоена первой премии. В 1766 он получил вторую премию Парижской академии за исследование, посвященное теории движения спутников Юпитера, а до 1778 был удостоен еще трех премий этой академии. В 1766 по приглашению Фридриха II Лагранж переехал в Берлин, где стал президентом Берлинской академии наук вместо Эйлера. Берлинский период (1766–1787) был самым плодотворным в жизни Лагранжа. Здесь он выполнил важные работы по алгебре и теории чисел, а также по проблеме решения дифференциальных уравнений в частных производных.
В Берлине была подготовлена его знаменитая Аналитическая механика (Mecanique analytique), опубликованная в Париже в 1788. Эта работа стала вершиной научной деятельности Лагранжа. В ней описано огромное число новых подходов. В основу всей статики положен т.н. принцип возможных перемещений, в основу динамики – сочетание этого принципа с принципом Д'Аламбера. Введены обобщенные координаты, разработан принцип наименьшего действия. Этой работой Лагранж превратил механику в общую науку о движении тел разной природы: жидких, газообразных, упругих. В 1787, после кончины Фридриха II, Лагранж переехал в Париж и занялт один из постов в Парижской академии наук. Во время Французской революции он принял участие в работе комиссии, занимавшейся разработкой метрической системы мер и весов и введением нового календаря. В 1797, после создания Политехнической школы, вел активную преподавательскую деятельность, читал курс математического анализа. В 1795, после открытия Института Франции, заменившего Королевскую академию наук, стал главой его физико-математического класса. Лагранж внес существенный вклад во многие области чистой математики, включая вариационное исчисление, теорию дифференциальных уравнений, решение задач на нахождение максимумов и минимумов, теорию чисел (теорема Лагранжа), алгебру и теорию вероятностей. В двух своих важных трудах – Теория аналитических функций (Thorie des fonctions analytiques, 1797) и О решении численных уравнений (De la rsolution des quations numriques, 1798) – он подытожил все, что было известно по этим вопросам в его время, а содержавшиеся в них новые идеи и методы нашли воплощение в работах многих выдающихся математиков 19 в. Умер Лагранж в Париже 10 апреля 1813.
ВЕЙЕРШТРАСС Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815-1897) В детстве Карл интересовался лирикой, стремился изучать музыку, но у него был плохой слух. Уже в гимнастические годы он увлекался математикой. Сверх школьной программы изучил интегральное исчисление, геометрические работы Я. Штейнера. Математика помогала вносить свой вклад в семейный бюджет: с 15 лет он начал вести приходно-расходные книги у одной из торговок ветчиной и маслом. Карл окончил гимназию и, подчиняясь воле отца, поступил на юридический факультет боннского университета, хотя он сам предпочитал изучение математики. он вскоре перестал ходить на лекции и начал самостоятельно изучать математические работы. Ему попалась короткая запись лекций по теории эллиптических функций Х. Гудермана. Продолжить дальнейшее обучение не позволяло материальное положение семьи. В 1839г. он зачислен в Мюнстерскую академию, где слушал лекции только Гудермана. После сдачи письменных экзаменов состоялись устные и пробные лекции в различных старших классах гимназии. После блестяще сданных экзаменов 25-летний Вейерштрасс получил право на преподавания в гимназиях.
В католической прогимназии небольшого городка Дрейч-Крон он получил должность штатного учителя. Кроме математики приходилось преподавать физику, ботанику, географию, историю, немецкий язык, чистописание и гимнастику. Осенью 1848г. его перевели в гимназию Браунсберге. Учебная нагрузка была большой, и научными исследованиями Вейерштрасс занимался по ночам. В центре его исследований была теория абелевых функций. Постоянные умственные перегрузки привели к тому, что Вейерштрасс в 1850г. серьезно заболел. Отдыхая, он подготовил статью "К теории абелевых функций". Она была признана лучшей работой в этой области. Философский факультет Кенигсбергского университета присудил Вейерштрассу 31 марта 1854г. степень почетного доктора без защиты диссертации. Имя Вейерштрасса становилось все более популярным. 14 июня его утвердили профессором Промышленного института в Берлине. Наконец, Вейерштрасс получил возможность пользоваться хорошей математической библиотекой и общаться с людьми, увлеченными наукой.
11 ноября 1856г. Вейерштрасса назначили на должность экстраординарного профессора. В 1861г. избрали членом Баварской академии наук. 16 декабря 1861г. во время лекции у него был такой сильный приступ головокружения, что он был вынужден прервать ее. Больше никогда Вейерштрасс не мог читать лекции, стоя у доски. Он читал их сидя, а кто-либо из хороших студентов писал на доске. В 1868г. его избрали членом-корреспондентом Парижской академии наук. В 1870г. у 55-летнего Вейерштрасса появилась ученица из России- двадцатилетняя С.В. Ковалевская. В 1873г. Вейерштрасса избрали ректором университета. Он продолжал руководить работой Ковалевской, которую она готовила для получения звания доктора. В1874г. Вейерштрасса представили к особому ордену за "Заслуги в области науки и искусств". В1881г. его избрали членом Лондонского королевского общества. В конце 1886г. Парижская академия объявила конкурс на премию Бордена, которая в 1888г. будет присуждена тому, кто усовершенствует в каком-нибудь важном пункте теорию движения твердого тела. В конкурсе решила принять участие Софья Васильевна. Она исследовала задачу о вращении твердого тела около неподвижной точки. В декабре 1888г. комиссия единодушно присудила премию Ковалевской. Ее победа очень обрадовала Вейерштрасса. В 1889г. был очень тяжелым. В феврале Вейерштрасс сильно заболел, только лежа он не чувствовал недомогания. 10 февраля 1891г. в возрасте 41 года С.В. Ковалевская умерла. Вейерштрасс был так потрясен известием о кончине своей ученицы, что родные стали беспокоиться за его жизнь. Среди венков, возложенных ан гроб Ковалевской, был венок из белых лилий с короткой надписью "Соне от Вейерштрасса". В период 1892-1896гг. Вейерштрасс занимался изданием своих трудов. В начале 1897г. он заболел гриппом, который перешел в воспаление легких. 19 февраля 1897г. он скончался.
БЕРНУЛЛИ Иоганн I Бернулли Иоганн I (1667-1748) Род Бернулли ведет сове начало из Фландрии. В конце 16 в. Бернулли покинули родной Антверпен из-за религиозных гонений и после неудачной попытки осесть во Франкфурте - на - Майне, оказались в Базеле. Отец Бернулли занимал в городе заметное положение, был членом городского суда и членом Большого городского совета. У старшего брата, Якова, был сын художник. У Иоганна было пять сыновей, но научной деятельностью занимались только три старших - Николай, именуемый обычно Николаем II, Даниил I и Иоганн II. Все три сына Иоганна I ыли профессорами математики. У Иоганна II было два сына математика - Иоганн III, академик Берлинской академии наук, и Яков II- математик Петербургской академии наук, утонувший в Неве в тридцатилетнем возрасте. После Иоганна III и Якова II в семье Бернулли математиков не было, но крупные деятели в других областях культуры, например историки, музыканты, художники, искусствоведы и т.д., появляются непрестанно. Любопытно, что в течение свыше 250 лет в Базельском университете всегда были профессора Бернулли, а кафедрой математики Бернулли заведовали более ста лет- с 1687г. (Яков I) по 1790г. (Иоганн III). Кресло иностранного члена Парижской академии Бернулли занимали в течение 91 года. Иоганн, впоследствии называвшийся Иоганном I, родился 27 июля 1667г. В 1682г. после окончания школы, он был отправлен отцом в Невшатель для торговой практики и совершенствования во французском языке (Невшатель расположен в той части Швейцарии, где говорят на французском языке). Через год Иоганн возвратился домой, но никакой склонности к торговой практике не обнаружил. Он поступил в университет и вскоре защитил диссертацию (написанную латинскими стихами) на степень бакалавра В1685г. он защитил еще одну диссертацию, на этот раз написанную греческими стихами, и получил степень магистра искусств. В том же 1685г. по совету брата он начинает заниматься математикой. За два года изучены труды древних и новых математиков, включая "Геометрию" Декарта; Иоганн сравнивается с братом, и статью Лейбница они изучают сообща. Они не только поняли все, что содержалось в статье, но и продвинули исчисление значительно дальше. Иоганн успешно изучает еще и медицинские науки, так что уже в 1690г. защитил диссертацию на степень лиценциата медицины.
В 1690г. Иоганн отправляется в путешествие. После Женевы он едет в Париж. В литературном салоне известного тогда философа Мальбранша он знакомится с Лопиталем. Завязывается оживленная беседа на математические темы и Лопиталь просит Бернулли прочитать ему несколько лекций по новому исчислению и получает согласие. В 1692г. Иоганн возвратился в Базель. Яков в это время успешно разрабатывал новые отделы дифференциального исчисления. 1691-1696 годы отличаются большим числом и важностью полученных братьями результатов. Иоганн продолжает изучать медицину и в 1694г. он успешно защитил диссертацию на степень доктора медицины. Через несколько дней после защиты Иоганн женился и вместе с семьей в 1695г. уехал в Гронинген, где прожил десять лет. Он читал там математику и экспериментальную физику. В 1705г., после смерти Якова Бернулли, Иоганн возвращается в Базель и занимает там кафедру математики. Главный предмет его занятий - это приложение анализа к различным вопросам механики, физики и т.д. Осенью 1747г., когда Иоганну исполнилось восемьдесят лет, его здоровье стало сдавать. Но такова была привычка к труду, что он продолжал работать ежедневно до полуночи. 1 января 1748г. он скончался. К его портрету Вольтер написал четверостишие: Его ум видел истину, Его сердце познало справедливость. Он - гордость Швейцарии И всего человечества.
КОШИ, ОГЮСТЕН ЛУИ Французский математик. Родился 21 августа 1789 в Париже. Первым учителем мальчика был его отец, который занимался со своими сыновьями историей и древними языками, заставляя их читать античных авторов в подлиннике. В 1802 Коши поступил в Центральную школу в Париже, где изучал главным образом древние языки. В 1805 сдал вступительный экзамен в Центральную школу общественных наук Пантеона (переименованную впоследствии в Политехническую школу). Профессорами были лучшие ученые того времени; многие выпускники школы рано начали карьеру и стали знаменитыми учеными (например, Пуансо, Био, Араго). Окончив школу, Коши поступил в Институт путей сообщения, затем работал в Шербуре инженером на строительстве порта. С 1813 Коши начал публиковать работы по математике. В 1816 был назначен членом Парижской Академии наук вместо Г.Монжа, уволенного по политическим причинам. В том же году мемуар Коши по теории волн на поверхности тяжелой жидкости получил первую премию на конкурсе по математике, и его автор был приглашен в качестве преподавателя сразу в три учебных заведения – Политехническую школу, Сорбонну и Коллеж де Франс. После революции 1830 Коши, верный королю Карлу X, уехал за границу, давал уроки математики, физики и химии внуку короля – герцогу Бордоскому. Во Францию Коши вернулся лишь в 1838, когда ему предложили занять кафедру в Политехнической школе, не требуя присягать на верность новому королю – Филиппу Орлеанскому. С тех пор ученый жил в Париже, занимаясь математикой. Научные работы Коши посвящены арифметике, теории чисел, алгебре, математическому анализу, дифференциальным уравнениям, механике, математической физике и т.д. Всего Коши написал свыше 800 работ, полное собрание его сочинений содержит 27 томов.
Коши впервые дал четкое определение основным понятиям математического анализа – пределу, непрерывности функции, сходимости ряда и т.д. Он установил точные условия сходимости ряда Тейлора к данной функции и провел различие между сходимостью этого ряда вообще и его сходимостью к данной функции. Ввел понятие радиуса сходимости степенного ряда, дал определение интеграла как предела сумм, доказал существование интегралов от непрерывных функций. Нашел выражение аналитической функции в виде интеграла по контуру (интеграл Коши) и вывел из этого представления разложение функции в степенной ряд. Таким образом, он развил теорию функций комплексного переменного: используя интеграл по контуру, нашел разложение функции в степенной ряд, определил радиус сходимости этого ряда, разработал теорию вычетов, а также ее приложения к различным вопросам анализа и т.д. В теории дифференциальных уравнений Коши впервые поставил общую задачу о нахождении решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями (называемую с тех пор задачей Коши), дал способ интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Коши занимался также геометрией (теорией многогранников, поверхностями 2-го порядка), алгеброй (симметрическими многочленами, свойствами определителей), теорией чисел (теоремой Ферма о многоугольных числах, законом взаимности). Ему принадлежат исследования по тригонометрии, механике, теории упругости, оптике, астрономии. Коши был членом Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и ряда других академий Европы.
ЛОПИТАЛЬ де Гиймон Франсуа Гиймон Франсуа Антуан Лопиталь родился в 1661г. в Париже в богатой и знатной семье. О последнем свидетельствует то, что он носил звание маркиза (де Сен-Мэм) и графа (Антрмон). В его детских занятиях математика не играла никакой роли. Известно, что он делал слабые успехи в латинском языке, предмете, который относился в то время к числу важнейших. Истинное его призвание обнаружилось почти случайно, когда ему в руки попал учебник геометрии. Он сначала заинтересовался чертежами и, что называется, "заглянул" в книгу, чтобы понять, для чего эти чертежи служат. Это первое знакомство с геометрией быстро переросло в настоящую страсть. Хорошего учителя юному математику почему-то не удалось найти, и он изучил любимый предмет самостоятельно. По обычаю родовитой знати все мужчины в семье Лопиталей были военными. Служил капитаном кавалерии и Гийом Франсуа. Сильная близорукость вынудила его оставить военную службу. Он получил возможность посвятить себя любимой математике. Есть сведения, что 1688г. он начал изучать работы Лейбница. Успехи, по-видимому, оставляли желать лучшего, во всяком случае к моменту знакомства с молодым Иоганном Бернулли Лопиталь сознавал себя не более чем начинающим учеником. Он просил нового знакомого прочитать ему курс лекций. Летом 1692г. в своем имении близ Вандома Лопиталь в течение четырех месяцев усиленно занимался с Иоганном Бернулли. Занятия были успешными. В 1693г. Лопиталь уже свободно владел новой отраслью. Он переписывается с Лейбницем и решает задачу, предложенную Бернулли: найти кривую, обладающую тем свойством, что длина касательной должна находиться в постоянном отношении к длине отрезка оси абсцисс, заключенного между точкой пересечения оси с касательной и точкой пересечения оси с кривой. Одновременно с Лопиталем опубликовали решения Якова Бернулли, Лейбниц, Гюйгенс. В 1693г. Лопиталя избрали членом Парижской академии наук. В 1696г. вышло из печати главное творение его жизни - "Анализ бесконечно малых для познания кривых линий". В 1703г., 43 лет от роду Лопиталь скончался от апоплексического удара.
“ Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консулата города Бомона ,крещен 20 августа 1601 г. Крестный отец – Пьер Ферма, купец и брат названного Доминика, крестная мать – Жанна Казнюв, и я”. Подпись отсутствует, но предыдущая запись подписана: “Дюма, викарий”. Этот документ искали полтора века и обнаружили лишь в 1846 г. благодаря усилиям адвоката Топиака. До этого считалось, что Ферма родился и умер в Тулузе, где 34 (!)года исправно служил чиновником кассационной палаты Тулузского парламента. Маленький городок Бомон на левом берегу Гаронны вблизи Монтабане-на-Тарне(во Франции более 30 Бомонов) и все его пять тысяч жителей по сей день не в силах осознать значимость находки дотошного адвоката. Здесь родился великий Ферма, последний математик-алхимик, решавший праздные задачи грядущих столетий, тишайший судейский крючок, лукавый сфинкс, замучивший человечество своими загадками, осторожный и благонравный чинуша, подтасовщик, интриган, домосед, завистник, гениальный компилятор, один из четырех титанов математики нового времени. Ферма почти не выезжал из Тулузы, где осел после женитьбы на кузине своей матери Луизе де Лон, дочери советника того-самого парламента. Благодаря тестю он дослужился до звания советника и приобрел вожделенную приставку “де”. Сын третьего сословия, практичный отпрыск богатых кожевников, нашпигованный латынью и францисканским благочестием, он не ставил перед собой грандиозных задач в реальной жизни. Он имел пятерых чад ,в последствии ставших судейскими чиновниками и священниками. Две дочери Ферма приняли монашество. В свой бурный век он прожил основательно и тихо. Он не писал философских трактатов, как Декарт, не был наперсником французских королей, как Виет, не воевал, не путешествовал, не создавал и не посещал математические кружки, не имел учеников и почти не печатался при жизни. Чиновникам провинциальных судов предписывалось вести замкнутую жизнь, избегая любых проявлений публичности. Вероятно Ферма, считая себя солидным человеком, стеснялся своей страсти к формальным досужим играм. На склонелет наш герой пишет: “Так как, говоря откровенно, я считаю геометрию самым высоким упражнением для ума, но одновременно столь бесполезным, что я делаю мало различия между человеком, который занимается только геометрией, искусным ремесленником. Я называю геометрию самой прекрасной профессией в мире, но все же только профессией, и я часто говорю, что она хороша для пробы сил, но не для того, чтобы вкладывать в нее все силы...”. Он изменил себе лишь перед смертью, опубликовав в Тулузе далеко не самые блестящие из своих находок в небольшом трактате “О сравнении кривых линий прямыми”. Не обнаружив никаких сознательных претензий на место в истории, Ферма умирает в Кастре близ Тулузы 12 января 1665.
В 1636 г. он пишет первое письмо Его преподобию Марену Мерсенну:”Святой отец! Я Вам чрезвычайно признателен за честь, которую Вы мне оказали, подав надежду на то, что мы сможем беседовать письменно;... Я буду очень рад узнать от Вас о всех новых трактатах и книгах по Математике, которые появилась за последние пять-шесть лет.... Я нашел также много аналитических методов для различных проблем, как числовых, так и геометрических, для решения которых анализ Виета недостаточен. Всем этим я поделюсь с Вами, когда Вы захотите, и притом без всякого высокомерия, от которого я более свободен и более далек, чем любой другой человек на свете”. Интерес к математике обозначился у Ферма как-то неожиданно и в достаточно зрелом возрасте. В 1629 г. в его руки попадает латинский перевод работы Паппа, содержащий краткую сводку результатов Аполлония о свойствах конических сечений. Ферма, полиглот, знаток права и античной филологии,вдруг задается целью полностью восстановить ход рассуждений знаменитого ученого. С таким же успехом современный адвокат может попытаться самостоятельно воспроизвести все доказательства в монографии по алгебраической топологии. Однако, немыслимое предприятие увенчивается успехом. Более того, вникая в геометрические построения древних, он совершает удивительное открытие: для нахождения максимумов и минимумов площадей фигур не нужны хитроумные чертежи. Первый систематический прием для отыскания экстремумов (от лат. extremum «крайнее») Ферма изложил в своей работе «Метод исследования максимумов и минимумов». Эта работа была частично опубликована в 1642-1644 гг., а полностью - в 1779г., после смерти ее автора. Из писем Ферма стало, однако, известно, что своим методом он владел уже в 1629г. Этот метод, имеющий инфинитезимальный характер (т.е. основанный на рассмотрении бесконечно малых), Ферма впервые применил к функции(1)1 Пусть есть бесконечно малое приращение независимой переменной; тогда новое значение функции (1) будет (2)Для выражения «принципа остановки», т.е. того факта, когда функция, достигая максимума или минимума, как бы останавливается в своем изменении(на современном языке - скорость изменения, т.е. производная, равна 0),Ферма приравнивает (1) и (2): (3)Раскрывая скобки и сокращая на h. Ввиду того что бесконечно малое h исчезает перед конечным (по существу это молчаливый предельный переход при [pic]), то Он быстро продвинулся дальше. Он нашел достаточные условия существования максимумов, научился определять точки перегиба, провел касательные ко всем известным кривым второго и третьего порядка. Еще несколько лет, и он находит новый чисто алгебраический метод нахождения квадратур для парабол и гипербол произвольного порядка (то есть интегралов от функций вида yp = Cxq и ypxq = С), вычисляет площади, объемы, моменты инерции тел вращения. Это был настоящий прорыв. Чувствуя это, Ферма начинает искать общения с математическими авторитетами того времени. Он уверен в себе и жаждет признания.
Презентацию готовили: Сахаровский Евгений Николаев Максим Шлюбович Василий Силин Дмитрий Усенко Елена
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Криволинейная трапеция Фигура, ограниченная снизу осью абсцисс, сверху графиком функции, а по бокам прямыми x=a x=b , называется криволинейной трапецией
Примеры криволинейных трапеций
Теорема Ньютона-Лейбница Пусть функция f неотрицательна, непрерывна на отрезке [a;b] и имеет на нём конечное число экстремумов. Обозначим через S(x) площадь криволинейной трапеции, расположенной над отрезком от [a;x] , где x принадлежит отрезку [a;b] , ограниченной сверху графиком функции. Тогда S(x) является первообразной для f(x) , т.е: S(x)=f(x)
Определённый интеграл Разность значений первообразной для функции f в точках a и b называют определённым интегралом от a до b и обозначают :
История интеграла Символ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integero, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. (Действительно, операция интегрирования “восстанавливает” функцию, дифференцированием которой получена подынтегральная функция.) Возможно происхождение слова интеграл иное: слово integer означает целый. В ходе переписки И. Бернулли и Г. Лейбниц согласились с предложением Я. Бернулли. Тогда же , в 1696г., появилось и название новой ветви математики - интегральное исчисление (calculus integralis), которое ввел И. Бернулли. Другие известные вам термины, относящиеся к интегральному исчислению, появились значительно позднее. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее “примитивная функция”, которое ввел Лагранж (1797 г.).
Методы интегрирования Табличное Замена переменной Геометрическая интерпретация Интегрирование по частям
Таблица интегрирования
Интегрирование по частям Интегрирование по частям — один из способов вычисления интеграла, состоящий в представлении интеграла от выражения вида u(x)dv(x) через интеграл от v(x)du(x). Для определенного интеграла формула интегрирования по частям имеет вид Аналогом этой формулы для неопределенного интеграла является соотношение
Замена переменной Сущность интегрирования методом замены переменной (способ подстановки) заключается в преобразовании интеграла ∫f(x)dx в интеграл ∫F(u)du, который легко вычисляется по какой - либо из основных формул интегрирования.
Применение интеграла
Свойства определённого интеграла
Ученые, внесшие вклад в развитие интеграла Готфрид Лейбниц 1646-1716. Великий немецкий учёный. Философ, математик, физик, юрист, языковед. Создатель (наряду с Ньютоном) математического анализа. Основоположник большой математической школы. Идеи Лейбница оказали значительное влияние на развитие математической логики.
Исаак Ньютон
Пьер Ферма 1601-1665. Французский математик, один из создателей аналитической геометрии и дифференциального исчисления. Открыл правило нахождения экстремума с помощью производной. Автор многих теорем теорий чисел. Знаменитая теорема Ферма из теории чисел , которую Ферма сформулировал без доказательства, не доказана до сих пор.
Жозеф Луи Лагранж Жозеф-Луи, 1736-1813, знаменитый французский математик. С 1766 по 1787 был в Берлине директором Академии, с 1787 в Париже принимал участие в установлении метрической системы. Первоклассные труды в разных областях математики.
Над презентацией работали Шапошников Георгий, Чебыкина Юлия, Ерохин Иван, Абдулаев Эльдар Силкин Александр Учитель математики-Зайцева Г.А. 2006 – 2007 учебный год
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
“ Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое распространение” Ф. Клейн.
I Комплексным числом называется число вида a + bi , где a и b весчественные числа, символ i мнимая единица, причём i ² = -1 Z = a + bi - алгебраическая форма записи комплесного числа. a = Re z – действительные b = I'm z – мнимые Числа для которых b не равно 0 называется мнимыми числами, bi – чисто мнимые числа. Два комплексных числа называется равными, если равны их действительные и мнимые части. z1 = a + bi z2 = c + di z1 = z2 , если a = c , b = d
II Действия с комплесными числами. Сложение и вычитание z1 = a + bi ± z2 = c + di z1 ± z2 = a ± c + ( b ± d )i 2) Умножение z1 × z2 = ( a + bi ) × ( c + di ) = ac + a × di + bic + bdi² = ac – bd + ( ad +bc )I Комплексные числа в алгебраической форме можно складывать и умножать как двухчленны учитывая , что i² = - 1 4) Деление Zi ( a + bi ) ( a + bi ) 1 ( a + bi ) c – di ac – adi + bci + b × d = = × = × = Zi c + di c + di c² + d² c² + d² ac + bd bc – ad Вывод чтобы выполнить деление надо домножить и = + ×I разделить на сопряжённые делители. c + d c + d
1) комплексные числа коммутативны по сложению и по умножению. 2) комплексные числа ассоциативны по сложению и по умножению . 3) комплексные числа дистрибутивны. Для комплексных чисел операция деления определена как операция обратная операции умножения. Если , то z является решением уравнения . Решим это уравнение, домножив левую и правую часть на и разделив обе части на квадрат модуля. Получим, что III Свойства комплексных чисел
История Пифагор учил, что “… элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики . Пифагор
Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы . В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни: . Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень ( ), а если оно имеет три действительных корня ( ), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число.
Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-й степени имеет n корней. В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом. Руффини Галуа Эварист
Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что Кардано называл такие величины “ чисто отрицательными ” и даже “ софистически отрицательными ”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины . Кардано Джераломо
В 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “ мнимые числа ” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт В 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Декарт Рене Леонард Эйлер
. Термин “ комплексные числа ” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus ) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n- ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707) : С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : , которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Карл Фридрих Гаусс Абрахам де Муавр
В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами. “ Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно. Лагранж Жозеф Луи Карно Лазар Никола Маргерит Лаплас
После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел - чисел с несколькими “ мнимыми” единицами. Такую систему вида ,где У. Гамильтон, который назвал их “кватернионами”. Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, , а Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата, поэтому я лишь упоминаю об их существовании. Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля. , построил в 1843 году ирландский математик
Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число точкой на координатной плоскости. Удобнее изображать число не самой точкой M , а вектором , идущим в эту точку из Вектор При этом и число z принимает вид , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число называют аргументом z и обозначают ArgZ . Заметим, что если , значение ArgZ не определено, а при оно определено с точностью до . Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать кратного число z в виде начала координат.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Принцип Кавальери Принцип Кавальери. Если при пересечении двух фигур Ф 1 и Ф 2 в пространстве плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях получаются фигуры F 1 и F 2 одинаковой площади, то объемы исходных пространственных фигур равны.
Объем обобщенного цилиндра Теорема. Объем обобщенного цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.
Объем наклонного параллелепипеда 1 Объем наклонного параллелепипеда равен произведению площади S грани параллелепипеда на высоту h , проведенную к этой грани, т.е. имеет место формула
Объем наклонного параллелепипеда 2 Если ребро параллелепипеда равно c и образует с гранью площади S угол , то объем параллелепипеда вычисляется по формуле
Объем наклонного параллелепипеда 3 Пусть ребра параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны a , b , c . Ребра a и b образуют угол , а ребро c наклонено к плоскости ребер a и b под углом Тогда объем V параллелепипеда выражается формулой
Упражнение 1 Две противоположные грани параллелепипеда – квадраты со стороной 1. Соединяющее их ребро равно 1 и наклонено к плоскостям этих граней под углом 60 о . Найдите объем параллелепипеда. Ответ:
Упражнение 2 Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 о . Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол 60 о и равно 1. Найдите объем параллелепипеда. Ответ:
Упражнение 3 Три грани параллелепипеда, имеющие общую вершину, являются ромбами со сторонами 1 и острыми углами при этой вершине 60 о . Найдите объем параллелепипеда. Ответ: Решение. Площадь грани ABCD равна Высота A 1 E грани ABB 1 A 1 равна В треугольнике AEH угол A равен 30 о , AE = 0,5. Значит, EH = и, следовательно, высота A 1 H равна Таким образом, объем равен
Упражнение 4 В параллелепипеде две грани имеют площади S 1 и S 2 , их общее ребро равно a , и они образуют между собой двугранный угол 150 о . Найдите объем параллелепипеда. Ответ: Решение. Пусть площади граней ABCD и BCC 1 B 1 равны S 1 и S 2 , ребро BC равно a . Тогда высота параллелограмма BCC 1 B 1 равна S 2 / a . Высота параллелепипеда, проведенная к грани ABCD , равна Следовательно, объем параллелепипеда равен
Упражнение 5 В параллелепипеде две грани являются прямоугольниками с площадями 20 см 2 и 24 см 2 . Угол между их плоскостями равен 30 о . Еще одна грань этого параллелепипеда имеет площадь 15 см 2 . Найдите объем параллелепипеда. Ответ: 60 см 3 . Решение. Пусть площади граней ABCD и ADD 1 A 1 равны 20 см 2 и 24 см 2 . Тогда площадь грани ABB 1 A 1 равна 15 см 2 , а угол A 1 AB равен 30 о . Пусть AD = x . Тогда AB = 20/ x , AA 1 = 24/ x . Имеем равенство Откуда находим x = 4 см. Высота, проведенная к грани ABCD равна половине ребра AA 1 и равна 3 см. Следовательно, объем параллелепипеда равен 60 см 3 .
Упражнение 6 Могут ли площади всех граней параллелепипеда быть меньше 1, а объем параллелепипеда быть больше 100? Ответ: Нет, объем будет меньше 1.
Упражнение 7 Могут ли площади всех граней параллелепипеда быть больше 100, а объем параллелепипеда быть меньше 1? Ответ: Да.
Упражнение 8 * Какой наибольший объем может иметь параллелепипед, сумма длин ребер которого, выходящих из одной вершины, равна 1? Решение. Обозначим длины ребер, выходящих из одной вершины a , b , c . Воспользуемся тем, что среднее геометрическое трех положительных чисел не превосходит их среднего арифметического, т.е Из этого неравенства следует, что наибольший объем равен в случае, если параллелепипед – куб со стороной . Ответ: .
Упражнение 9* В пространстве даны три параллелепипеда. Как провести плоскость, чтобы она разделила каждый параллелепипед на две части равного объема? Ответ: Плоскость, проходящая через центры симметрии параллелепипедов.
Объем наклонной призмы 1 Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т.е. имеет место формула где S – площадь основания призмы, h – ее высота.
Объем наклонной призмы 2 Если боковое ребро призмы равно c и наклонено к плоскости основания под углом , то объем призмы вычисляется по формуле где S – площадь основания призмы.
Объем наклонной призмы 3 Если боковое ребро призмы равно c , а сечением призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру, является многоугольник площади S , то объем призмы вычисляется по формуле Действительно, если призму разрезать по сечению, и нижнюю часть параллельно перенести, поставив на верхнюю, то получим прямую призму с основанием площади S и боковым ребром c .
Упражнение 1 Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. В каком отношении эта плоскость делит объем призмы? Ответ: 1:3.
Упражнение 2 Треугольная призма пересечена плоскостью, которая проходит через боковое ребро и делит площадь противолежащей ему боковой грани в отношении m : n . В каком отношении эта плоскость делит объем призмы? Ответ: m : n .
Упражнение 3 В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней равна Q , а расстояние от нее до противоположного ребра равно d . Найдите объем призмы. Ответ: Решение. Пусть площадь грани BCC 1 B 1 равна Q . Расстояние от этой грани до прямой AA 1 равно d . Достроим призму до параллелепипеда A … D 1 . Его объем равен Qd . Объем призмы составляет половину объема параллелепипеда, т.е. искомый объем равен
Упражнение 4 Основанием наклонной призмы является равносторонний треугольник со стороной 3. Одна из боковых граней перпендикулярна основанию и является ромбом, у которого меньшая диагональ равна 2. Найдите объем призмы. Ответ: Решение. Проведем диагональ AB 1 . Имеем: AO = , площадь ромба ABB 1 A 1 равна , высота A 1 H равна Следовательно, объем призмы равен .
Упражнение 5 В наклонной треугольной призме две боковые грани перпендикулярны и имеют общее ребро, равное a . Площади этих граней равны S 1 и S 2 . Найдите объем призмы. Ответ: Решение. Достроим призму до параллелепипеда A … D 1 . Его объем равен Объем призмы составляет половину объема параллелепипеда, т.е. искомый объем равен
Упражнение 6 Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 см, а расстояния между ними равны 26 см, 25 см и 17 см. Найдите объем призмы. Ответ: 3060 см 3 . Решение. Проведем сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру. Используя формулу Герона найдем площадь сечения. Она равна 204 см 2 . Объем призмы равен 3060 см 3 .
Упражнение 7 Основанием призмы является параллелограмм со сторонами 1 , 2 и острым углом 30 о . Боковые ребра равны 3 и составляют с плоскостью основания угол 45 о . Найдите объем призмы. Ответ:
Упражнение 8 Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны 1, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 30 о . Ответ:
Упражнение 9 Все ребра правильной шестиугольной призмы равны 1. Одна из боковых граней является прямоугольником и наклонена к плоскости основания под углом 30 о . Найдите объем призмы. Ответ:
Упражнение 10 В основаниях призмы квадраты. Верно ли, что любая плоскость, проходящая через центры квадратов, делит призму на две равновеликие части? Ответ: Да.
Объем наклонного цилиндра Объем кругового цилиндра, высота которого равна h и радиус основания R , вычисляется по формуле V =π R 2 · h .
Упражнение 1 Диаметр основания цилиндра равен 1. Образующая равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 60 о . Найдите объем цилиндра. Ответ:
Упражнение 2 Верно ли, что любая плоскость, проходящая через центры оснований кругового цилиндра, делит его на равновеликие части? Ответ: Да.
Упражнение 3 Два цилиндра имеют равные высоты, а площадь основания одного в два раза больше площади основания другого. Как относятся их объемы? Ответ: 2:1.
Обобщенный конус Пусть F - фигура на плоскости π , и S - точка вне этой плоскости. Отрезки, соединяющие точки фигуры F с точкой S , образуют фигуру в пространстве, которую мы будем называть обобщенным конусом . Фигура F называется основанием обобщенного конуса, точка S - вершиной обобщенного конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания, называется высотой обобщенного конуса. Ч астным случаем обобщенного конуса является конус и пирамида. Теорема. Если два обобщенных конуса имеют равные высоты и основания равной площади, то их объемы равны .
Упражнение 1 Верно ли, что две пирамиды, имеющие общее основание и вершины, расположенные в плоскости, параллельной основанию, равновелики? Ответ: Да.
Упражнение 2 Два конуса имеют равные высоты, а площадь основания одного в три раза больше площади основания другого. Как относятся их объемы? Ответ: 3:1.
Упражнение 3 Верно ли, что любая плоскость, проходящая через вершину и центр основания кругового конуса, делит его на равновеликие части? Ответ: Да.
Упражнение 4 В основании пирамиды квадрат. Верно ли, что любая плоскость, проходящая через вершину пирамиды и центр основания, делит пирамиду на две равновеликие части? Ответ: Да.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Порядок роста и убывания функции Функция – это основной математический инструмент для изучения связей, зависимостей между различными величинами. Чем большим запасом функций мы располагаем, тем шире и богаче наши возможности математического описания окружающего нас мира. В 8-9 классах мы подробно изучали квадратичные зависимости. Так, путь при равноускоренном движении квадратично зависит от времени ; энергия падающего тела квадратично зависит от его скорости ; количество теплоты, выделяемое током, текущим по проводнику, квадратично зависит от силы тока и.т.д. Степенные зависимости более высокого порядка также встречаются на практике. Например, по закону Стефана-Больцмана излучательная способность абсолютно чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его температуры. Масса шара является кубической функцией его радиуса.
Функция вида y= x k Графики степенной функции показывают рост различных процессов, чем больше Коэффициент k , тем быстрее растут эти функции. Простейшая убывающая функция задается обратно пропорциональной зависимостью. Чем больше степень, тем быстрее убывают эти функции при больших значениях Х.
В естествознании и технике встречаются процессы, рост или затухание которых происходят быстрее, чем у любой степенной функции. С примерами быстро растущих функций человек столкнулся уже давно. В древней легенде об изобретателе шахмат говорится, что он потребовал за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, а за каждую следующую – вдвое больше, чем за предыдущую. Человеку трудно представить себе порядок величины 264 -1 (общее число зёрен – плату за изобретение шахмат). Если грубо заменить 210=1024 на 103, то 264=24 ∙ 260≈16∙1018=1,6∙1019 Достаточно сказать, что расстояние от Земли до Солнца в миллиметрах приблизительно равно 1,5∙1014, так что, считая диаметр зерна равным 1мм, можно этим зерном 100000 раз уложить путь от Земли до Солнца. Поразительное явление быстрого роста членов геометрической прогрессии, т.е. числа вида cq ⁿ, отражено о многих старинных задачах. Однако лиши с конца XVII в. Стали систематически рассматриваться зависимости y = cq ⁿ, в которых переменная x принимает не только целые значения. Такие функции называются показательными.
Показательные функции обладают замечательными свойствами: скорость их роста пропорциональна значению самой функции. Они как костёр, который, чем больше разгорается, тем больше в него надо подкладывать дров. Необходимость изучения функции, у которой производная пропорциональна самой функции, возникла в обнаружением различных законов естествознания, таких, как законы размножения, законы радиоактивного излучения.
Показательная функция Исследование показательных уравнений Некоторые наиболее часто встречающиеся виды трансцендентных функций, прежде всего показательные, открывают доступ ко многим исследованиям. Л. Эйлер Определение: Показательной функцией называется функция вида y = a x , где a – заданное положительное число, a≠1 . Если a =0, то функция получается постоянной.
Свойства: Область определения – множество R всех действительных чисел. Множество значений – множество всех положительных чисел. Монотонность: при a>1 функция строго возрастает ; при a<1 функция строго убывает . Всегда проходит через точку (0 ;1) Чем больше a ,тем быстрее рост функции. Чем больше a, тем медленнее рост функции
Число ℮ ℮ - иррациональное, трансцендентное число (не алгебраическое) Число ℮ можно представить как сумму: ℮ =1+1 /1+1/1 ∙ 2+1/1 ∙ 2 ∙ 3+…+1/1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n+…. (n!=1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n) ℮ =2,71828182459045… y= ℮ x – экспоненциальная функция, экспонента. y=expx ℮ - неперово число Показательная функция может быть разложена в степенной ряд:
Джон Непер (16-17 вв.) Шотландский математик, изобретатель логарифмов. Учился в Эденбургском университете. В построении «Удивительной таблицы логарифмов» (1916г.) изложил принципы вычисления таблиц.
Понятен ли вам смысл распространённых выражений? «Численность бактерий растёт по экспоненте» «Сила тока затухает по экспоненте» «Его успехи растут по экспоненте»
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
История Одно из древнейших упоминаний о правильных многоугольников находятся в трактате Платона (427-347 до н. э.) “ Тимаус ” Платон ассоциировал их с четырьмя “ земными ” элементами: вода, огонь, воздух. И с “ неземным ” элементом- небо.
ОГОНЬ ТЕТРАЭДР ВОЗДУХ ОКТАЭДР ВОДА ИКОСАЭДР
ЗЕМЛЯ ГЕКСАЭДР (КУБ) небо ДОДЕКАЭДР
Тетраэдр Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Элементы симметрии: Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и 6 плоскостей симметрии. Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности: Объем тетраэдра: Радиус описанной сферы :
Октаэдр Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер. Элементы симметрии: Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности: Объем октаэдра:
Икосаэдр Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. Таким образом икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер. Элементы симметрии : Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии. Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности: Объем икосаэдра:
Гексаэдр (куб) Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Элементы симметрии: Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии. Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности куба: V=a3 S=a2 Объем куба:
Додекаэдр Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Элементы симметрии: Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии. Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности: Объем додекаэдра:
Теорема Эйлера Леонард Эйлер (1707 - 1783) Теорема Эйлера Важнейшим свойством выпуклого многогранника является следующее, выражаемое теоремой Эйлера: Число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум В-Р+Г=2.
Правильные многогранники в искусстве Надгробный памятник в кафедральном соборе Солсбери. Титульный лист книги Ж. Кузена “ Книга о перспективе ” .
Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре ''Меланхолия ''.на переднем плане изобразил додекаэдр.
РОЖДЕНИЕ ИИСУСА ХРИСТА Эта картина Суламифи Вулфинг изображает Младенца Христа внутри икосаэдра , что очень уместно, потому что икосаэдр символизирует воду , ... а Христос был крещен в воде , что символизировало начало нового сознания .
Архитектура и многогранники Великая пирамида в Гизе . Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.
СТРОИТЕЛЬСТВО ПИРАМИД Пирамиды стоят на древнем кладбище в Гизе, на противоположном от Каира, столицы современного Египта, берегу реки Нил. Некоторые археологи считают, что, возможно, на строительство Великой пирамиды 100 000 человек потребовалось 20 лет. Она была создана из более чем 2 миллионов каменных блоков, каждый из которых весил не менее 2,5 тонн. Рабочие подтаскивали их к месту, используя пандусы, блоки и рычаги, а затем подгоняли друг к другу, без раствора.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Поверхность прямого кругового цилиндра можно представить с кинематической точки зрения как: след, оставляемый в пространстве прямой а при её вращении вокруг оси m . При этом прямая а задаёт образующую, а ось m и словесное добавление, что цилиндрическая поверхность является поверхностью вращения- определяет закон движения образующей а. Вращением кривой b вокруг оси m . Поступательным перемещением окружности c , при этом центр окружности О перемещается вдоль оси m ,а её плоскость все время остается перпендикулярной к этой оси. Огибающую всех положений сферической поверхности ρ постоянного радиуса, центр которой перемещается по оси m . ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПРЯМОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ Поверхностью вращения называется поверхность, которая получается от вращения какой-нибудь линии, называемой образующей , вокруг неподвижной прямой , называемой осью , при этом предполагается, что образующая при своём вращении неизменно связана с осью. Возьмём на образующей какую-нибудь точку P и опустим из неё на ось перпендикуляр PO . Очевидно, что при вращении не изменяется ни длина этого перпендикуляра, ни величина угла АОР, ни положение точки О. Поэтому каждая точка образующей описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна к оси АВ и центр которой лежит на пересечении этой Плоскости с осью. Плоскость, перпендикулярная к оси, пересекаясь с поверхностью вращения, дает в сечении окружность. Всякая секущая плоскость, проходящая через ось, называется меридиональной плоскостью, а линия её пересечения с поверхностью вращения- меридианом . Все меридианы равны между собой, потому что при вращении каждый из них проходит через то положение, в котором ранее был всякий другой меридиан.
ЦИЛИНДР
Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями. Часть цилиндрической поверхности, заключенная между плоскостями, называется боковой поверхностью , я части плоскостей, отсекаемые этой поверхностью,- основаниями цилиндра. Расстояние между плоскостями оснований есть высота цилиндра. Цилиндр называется прямым или наклонным , смотря по тому, перпендикуляры или наклонны к основаниям его образующие. Прямой цилиндр называется круговым , если его основания- круги. Такой цилиндр можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольника ОАА 1 О 1 вокруг стороны ОО 1 как оси ; при этом сторона АА 1 описывает боковую поверхность, а стороны ОА и О 1 А 1 –круги оснований. Всякий отрезок ВС, параллельный ОА, описывает также круг, плоскость которого перпендикулярна к оси. ЦИЛИНДР
СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого- образующие, а две другие- диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость перпендикулярна к оси Цилиндра, то сечение является кругом. Сечение прямого кругового цилиндра плоскостью, параллельной основаниями, есть круг.
Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту. S=C • H СЛЕДСТВИЯ: 1. Если R обозначает радиус основания цилиндра, то С=2П R , поэтому боковая поверхность выразится формулой: С=2П R Н. 2.Полная боковая поверхность: T=2 П R(H+R) ТЕОРЕМА
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Примеры тестов для уроков алгебры и геометрии для SMARTдоски
тесты по алгебре на распознавание многочленов и одночленов; по геометрии на распознавание объёмных и плоских фигур и тест по геометрии по теме: "четырёхугольники"...
Презентация выступления на педагогическом совете 5.11.2013 Формирование универсальных учебных действий учащихся на уроках английского языка в средней школе
Презентация выступления на педагогическом совете 5.11.2013...
Эффективное и плодотворное применение ИГС Geogebra на уроках алгебры и геометрии.
Конспект урока по алгебре на тему: «Четыре замечательные точки треугольника. Демонстрация следствий из теорем о биссектрисе угла, серединном перпендикуляре к отрезку, высотах треугольника и медианах т...
Повышение мотивации к учебной деятельности учащихся на уроках математики с помощью учебно-познавательной задачи
Формирование мотивации учения в школьном возрасте без преувеличения можно назвать одной из центральных проблем современной школы. Ее актуальность обусловлена обновлением содержания обучения, постановк...
Интегрированный урок алгебры и геометрии в 7б классе по теме: «Решение заданий по теме: «Отрезок и его длина» с помощью линейных уравнений»
Интегрированный урок алгебры и геометрии в 7б классе по теме: «Решение заданий по теме: «Отрезок и его длина» с помощью линейных уравнений»...
Использование игровых технологий на уроках алгебры и геометрии
В данной работе представлены игровые технологии, которые можно использовать на уроках математики. Они заметно активизируют познавательную деятельность учащихся...
Функциональная грамотность на уроках алгебры и геометрии
Использование творческих заданий при обучении математике станет одним из главных факторов занимательности на уроке, поскольку подобный подход в организации учебного процесса позволит активизировать ис...