Открытый урок по алгебре "Производные" (10 кл)
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему
Предварительный просмотр:
Обобщающий УРОК ПО ТЕМЕ: «ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ » В 10 КЛАССЕ
Цели урока:
Учебные:
- Обобщить теоретические знания по теме: «Производная .Геометрический и физический смысл производной. Уравнения касательной»;
- Показать межпредметную связь на примере математического моделирования. Показать применение производной при решении жизненно важных задач.
Воспитательные:
Обучение навыкам: работы оптимальном темпе, подведение итогов. Развитие умения оценивать свои способности, контактировать с товарищами.
План урока
I. Организационный этап.
Показатели выполнения психологической задачи этапа:
- Доброжелательный настрой учителя и учащихся;
- Быстрое включение класса в деловой ритм;
- Организация внимания всех учащихся;
- Кратковременность организационного момента;
- Полная готовность класса и оборудования к работе.
Урок по теме : «Применение производной»
Урок проводится после изучения физического и геометрического смысла производной, производных элементарных функций . При актуализации знаний предлагаются задания из ЕГЭ.
II. Вступительное слово учителя
Здравствуйте ( Откройте тетради. Запишите число , классная работа, тему урока). Тема нашего урока «Применение производной». И сегодня мы попытаемся, насколько это возможно, в рамках одного урока рассмотреть эту тему. Эпиграфом к нашему уроку хочу взять слова Лобаческого:
«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира… ».
Активизация знаний учащихся на одном из первых уроков изучения производной, я вам задала вопрос: «Мы изучаем производную. А так ли это важно в жизни? » Сегодня мы найдем ответ на этот вопрос.
III. Фронтальный опрос.
- Что называется приращением аргумента.
- Что называется приращением функции.
- Дайте определение функции f(x) в точке x0.
- Основные формулы дифференцирования
Применение теоретического материала к решению задач
- Найти производную функции:
f(x)=3x4-7x3+x+5
Решение:
f’(x)=12x3-21x2+1
- f(x)=
Решение:
f’(x)==
=
=
- f(x)=(3-2x)3
Решение:
f’(x)= 3(-2)(3-2x)2=-6(3-2x)2
- f(x)=
f’(x)= = -3*5(5x+1)-4=
теперь покажем важность роли производной в исследовании процессов окружающего мира и еще покажем практическую необходимость темы «Производная».
Исторические сведения
Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 18 веке. Впервые определение производной было сформулировано Коши, и именно это определение стало общепринятым.
«Применение физического смысла производной при решении физических задач».
И. Ньютон ввел понятие производной ,изучая законы механики, тем самым он раскрыл ее механический смысл.
Применение производной в физике очень обширно.
Механическое движение – это изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Основной характеристикой механического движения служит скорость
V=S’(t)
Рассмотрим несколько примеров применения производной в физических задач.
Задание 1:
Машина движется по автостраде так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону S=5t-0.5t2(m) где t-время движения в секундах. Найти скорость тела через 2 секунды после начала движения.
Решение:
V=S’(t)
V=(5t-0,5t2 )’=5-t
При t=2, следовательно V=3м/с
Задание 2:
Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t3 -2t2-4t+ 3(где x-расстояние от точки отсчета в метрах, t- время в секундах, измененное с начала движения)
В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 38 м/с ?
Решение :
Найдем закон изменения скорости :
V(t)=x’(t)= t2- 4t-4
Чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 38м/с
Решим уравнение:
t2-4t-4=38
-8t-84=0
= 14
=-6- не подходит т.к. t>0
Ответ: 14 с
Применение производной в физике.
Мощность- это производная работы по времени: P=A’(t)
Сила тока- это производная от заряда по времени: I=g’(t)
Сила- есть производная работы по перемещению: F=A’(x)
Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре : C=Q’(t)
Давление-производная силы по площади: P=F’(S)
Геометрический смысл
В чем состоит геометрический смысл производной?
Лейбниц пришел к понятию производной решения задачу проведения касательной к производной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.
Напишите уравнение касательной.
Рассмотрим примеры применения производной в геометрических задачах.
Задание 3:
Прямая y=7x-5 параллельна касательной к графику функции y=
Найдите абсциссу точки касания.
Решение:
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y=7x-5 их игловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения y‘=7
(x2 + 6x – 8)’=7
2x+6=7
х=0,5
Задание 4:
На рисунке изображен график производной функции f(x).
Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y=2x-2 или совпадает с ней.
Решение:
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
Поскольку касательная параллельна прямой y=2x-2 или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный 2 и f’(x0)=2. Осталось найти при каких x производная принимает значение 2. Искомая точка x0=5
Производная в биологии.
Что такое популяция?
Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определенный участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.
Биологическая задача.
По известной зависимости численности популяции x(t). Определить относительный прирост в момент времени.
Понятие на языке биологии | Обозначение | Понятие на языке математики |
Численность в момент времени t1 | x = x(t) | Функция |
Интервал времени | ∆t = t2 – t1 | Приращение аргумента |
Изменение численности популяции | ∆x = x(t2) – x(t1) | Приращение функции |
Скорость изменения численности популяции | Отношение приращения функции к приращению аргумента | |
Относительный прирост в данный момент | Производная |
Прирост популяции равен производной численности в момент времени t
P=x’(t).
Домашнее задание
Решить 5 заданий B9 из ЕГЭ.
Итоги урока:
Продолжите фразу :
«Cегодня на уроке я узнал …»
«Cегодня на уроке я научился …»
«Cегодня на уроке я повторил… »
В заключении урока, я хочу вам прочитать стихотворение:
« Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаза,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей»
так сказал американский математик Морис Клайн.
Спасибо за урок!
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Открытый урок по алгебре в 7 классе «А» тема: «Уравнения с одной переменной». Открытый урок по алгебре в 7 классе «А» тема: «Уравнения с одной переменной».
Открытый урок по алгебре в 7 классе «А»тема: «Уравнения с одной переменной».презентация по данной теме...
![](/sites/default/files/pictures/2014/03/03/picture-62071-1393848704.jpg)
Логарифм.Производная логарифмической функции. Материалы открытого урока по алгебре 11 класс.
Открытый урок в 11 классе с использованием учебника "Алгебра и начала анализа" А.Н. Колмогоров, по теме :"Логарифм. Производная логарифмической функции. Содержит материал для подготовки к Е...
![](/sites/default/files/pictures/2017/05/08/picture-413621-1494258598.jpg)
Конспект урока по алгебре «Производная»10 класс
Цели урока:1) выяснение степени усвоения понятия производной функции, правил вычисления производных, таблицы производных элементарных функций;2) рассмот...
![](/sites/default/files/pictures/2014/06/18/picture-458466-1403096322.jpg)
Разработка урока по алгебре "Производная и её применение"
ПЛАН УРОКА:№ п/пЭтап урокаВремяЗадачи этапа Проверка домашнего задания2мин.Проверка правильности домашнего задания. 2.Закрепление изученного материала25мин.Закрепление знаний учащихся ...
Открытый урок по алгебре на тему "Производная сложной функции"
Данный урок помогает разнообразить формы и методы проведения уроков в старших классах. В результате этого урока у учащихся появляется желание учиться и знать еще больше...
Презентация к открытому уроку по алгебре и началам анализа " Производная в задачах ЕГЭ"
Данная презентация содержит важнейшие задания ,которые встречаются на ЕГЭ с применением производной....
Открытый урок по алгебре по теме Производная, 11 класс(учебник Никольского)
Тема: Решение задач по теме : "Производная"Цель: Повторить и обобщить знания о правилах нахождения производных элементарных функцийЗадачи: ...