Открытый урок по алгебре "Производные" (10 кл)
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Обобщающий УРОК ПО ТЕМЕ: «ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ » В 10 КЛАССЕ

              Цели урока:

Учебные:

• Обобщить теоретические знания по теме: «Производная .Геометрический и физический смысл производной. Уравнения касательной»;
• Показать межпредметную связь на примере математического моделирования. Показать применение производной при решении жизненно важных задач.

Воспитательные:

Обучение навыкам: работы оптимальном темпе, подведение итогов. Развитие умения оценивать свои способности, контактировать с товарищами.

                    План урока

I. Организационный этап.

   Показатели выполнения психологической задачи этапа:

• Доброжелательный настрой учителя  и учащихся;
• Быстрое включение класса в деловой ритм;
• Организация внимания всех учащихся;
• Кратковременность организационного момента;
• Полная готовность класса и оборудования к работе.

Урок по теме : «Применение производной»

Урок проводится после изучения физического  и геометрического смысла производной, производных элементарных функций . При актуализации  знаний предлагаются задания из ЕГЭ.

II. Вступительное слово учителя

Здравствуйте  ( Откройте тетради. Запишите число , классная работа, тему урока). Тема нашего урока «Применение производной». И сегодня мы попытаемся, насколько это возможно, в рамках одного урока рассмотреть эту тему. Эпиграфом к нашему уроку хочу взять слова Лобаческого:

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира… ».

Активизация знаний учащихся на одном из первых уроков изучения производной, я вам задала вопрос: «Мы  изучаем производную. А так ли это важно в жизни? » Сегодня мы найдем ответ на этот вопрос.

III. Фронтальный опрос.

1. Что называется  приращением аргумента.
2. Что называется приращением функции.
3. Дайте определение функции f(x)  в точке x0.
4. Основные формулы дифференцирования

Применение теоретического материала к решению задач

1. Найти производную функции:

f(x)=3x4-7x3+x+5

Решение:

f’(x)=12x3-21x2+1

2. f(x)=

Решение:

f’(x)====

3. f(x)=(3-2x)3

Решение:

f’(x)= 3(-2)(3-2x)2=-6(3-2x)2

4. f(x)=

f’(x)= = -3*5(5x+1)-4=

теперь покажем важность роли производной в исследовании процессов окружающего мира и еще покажем практическую необходимость  темы «Производная».

Исторические сведения

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в 18 веке. Впервые определение производной было сформулировано Коши, и именно это определение стало общепринятым.

«Применение физического смысла производной при решении физических задач».

И. Ньютон ввел понятие производной ,изучая законы механики, тем самым он раскрыл ее механический смысл.

Применение производной в физике очень обширно.

Механическое движение – это изменение  положения тела в пространстве относительно других тел с  течением времени. Основной характеристикой механического движения служит скорость

V=S’(t)

Рассмотрим несколько примеров применения производной в физических задач.

Задание 1:

Машина движется по автостраде так, что расстояние от начальной точки изменяется по закону  S=5t-0.5t2(m)     где t-время движения в секундах. Найти скорость тела через 2 секунды после начала движения.

 Решение:

V=S’(t)

V=(5t-0,5t2 )’=5-t

  При t=2, следовательно V=3м/с

Задание 2:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=t3 -2t2-4t+ 3(где x-расстояние от точки отсчета в метрах, t- время в секундах,  измененное с начала движения)

В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 38 м/с ?

Решение :

Найдем закон изменения скорости :

V(t)=x’(t)=  t2- 4t-4

Чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 38м/с

Решим уравнение:

t2-4t-4=38

-8t-84=0

= 14

=-6- не подходит т.к. t>0

Ответ: 14 с

Применение производной в физике.

Мощность- это производная работы по времени:  P=A’(t)

 Сила тока- это производная от заряда по времени: I=g’(t)

 Сила- есть производная работы по перемещению: F=A’(x)

 Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре : C=Q’(t)

Давление-производная силы по площади: P=F’(S)

Геометрический смысл

В чем состоит геометрический смысл производной?

Лейбниц пришел к понятию производной решения задачу проведения касательной к производной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.

Напишите уравнение касательной.

Рассмотрим примеры применения производной в геометрических задачах.

Задание 3:

Прямая  y=7x-5  параллельна касательной к графику функции  y=

Найдите абсциссу точки касания.

Решение:

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой  y=7x-5 их игловые коэффициенты равны. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения  y‘=7

(x2 + 6x – 8)’=7

2x+6=7

х=0,5

Задание 4:

На рисунке изображен график производной функции f(x).

Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y=f(x) параллельна прямой y=2x-2 или совпадает с ней.

Решение:

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.

Поскольку касательная параллельна прямой y=2x-2 или совпадает с ней,  она имеет угловой коэффициент равный 2 и f’(x0)=2. Осталось найти при каких x производная принимает значение 2. Искомая точка x0=5

Производная в биологии.

Что такое популяция?

Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определенный участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций,  а также является элементарной единицей эволюции.

  Биологическая задача.

По известной зависимости численности популяции x(t). Определить относительный прирост в момент времени.

  Прирост популяции равен производной численности в момент времени t

P=x’(t).

Домашнее задание

Решить 5 заданий  B9 из ЕГЭ.

Итоги урока:

Продолжите фразу :

«Cегодня на уроке я узнал …»

«Cегодня на уроке я научился …»

«Cегодня на уроке я повторил… »

В заключении урока, я хочу вам прочитать стихотворение:

« Музыка может возвышать или умиротворять душу,

 Живопись – радовать глаза,

Поэзия – пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

 Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей, а математика способна достичь всех этих целей»

так сказал американский математик Морис Клайн.

Спасибо за урок!