Урок-конспект "Способы решений тригонометрических уравнений"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Познакомить учащихся со способами решений тригонометрических уравнений.Сформировать навыки, различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл sposoby_resheniya_trigonometricheskih_uravneniy.docx89.15 КБ

Предварительный просмотр:

Способы решения тригонометрических уравнений. 10-й класс


«Уравнения будут существовать вечно».

А. Эйнштейн

Цели урока:

  • Образовательные:
  • углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;
  • сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.
  • Воспитательные:
  • воспитание познавательного интереса к учебному процессу;
  • формирование умения анализировать поставленную задачу;
  • способствовать улучшению психологического климата в классе.
  • Развивающие:
  • способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;
  • способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

Оборудование: плакат с основными тригонометрическими формулами, компьютер, проектор, экран.

1 урок

I. Актуализация опорных знаний

Устно решить уравнения:

1) cosx = 1;  
2) 2 cosx = 1;
3) cosx  =  –
http://festival.1september.ru/articles/593441/img4.gif;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –
http://festival.1september.ru/articles/593441/img6.gif
6) sin
http://festival.1september.ru/articles/593441/img8.gifx = http://festival.1september.ru/articles/593441/img8.gif;
7) tgx = 
http://festival.1september.ru/articles/593441/img11.gif;    
8) cos
2x – sin2x = 0

Ответы:

1) х = 2img1.gif (138 bytes)к;
2) х = ±
http://festival.1september.ru/articles/593441/img13.gif + 2img1.gif (138 bytes)к; 
3) х  =± 
http://festival.1september.ru/articles/593441/img15.gif + 2img1.gif (138 bytes)к;
4) х = 
http://festival.1september.ru/articles/593441/img17.gif к;
5) х = (–1) 
http://festival.1september.ru/articles/593441/img19.gifhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img21.gif  + img1.gif (138 bytes)к;
6) х = (–1) 
http://festival.1september.ru/articles/593441/img23.gif http://festival.1september.ru/articles/593441/img13.gif + 2img1.gif (138 bytes)к;
7) х = 
http://festival.1september.ru/articles/593441/img13.gif +  img1.gif (138 bytes)к;
8) х = 
http://festival.1september.ru/articles/593441/img21.gif  +  http://festival.1september.ru/articles/593441/img17.gifк;      к  http://festival.1september.ru/articles/593441/img25.gif Z.

II. Изучение нового материала

– Сегодня мы с вами рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения. Рассмотрим 10 способов их решения. Далее будет два урока для закрепления, и на следующий урок будет проверочная работа. На стенде «К уроку» вывешены задания, аналогичные которым  будут на проверочной работе, надо их прорешать до проверочной работы. (Накануне, перед проверочной работой,  вывесить на стенде решения этих заданий).

Итак, переходим к рассмотрению способов решения тригонометрических уравнений. Одни  из этих способов вам, наверное, покажутся трудными, а другие – лёгкими, т.к. некоторыми приёмами решения уравнений вы уже владеете.

Четверо учащихся класса получили индивидуальное задание: разобраться и показать вам 4 способа решения тригонометрических уравнений.

(Выступающие учащиеся заранее подготовили слайды. Остальные учащиеся класса записывают  основные этапы решения уравнений в тетрадь.)

1 ученик: 1 способ. Решение уравнений разложением на множители

sin 4x = 3 cos 2x

Для решения уравнения воспользуемся формулой синуса двойного угла  sin 2http://festival.1september.ru/articles/593441/img27.gif = 2 sinhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img27.gif coshttp://festival.1september.ru/articles/593441/img27.gif
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Произведение этих множителей равно  нулю, если хотя бы один из множителей будет равен нулю.

2x =http://festival.1september.ru/articles/593441/img17.gif +  img1.gif (138 bytes)к, к http://festival.1september.ru/articles/593441/img25.gif Z               или                                sin 2x = 1,5 – нет решений, т.к  | sinhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img27.gifhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img30.gif 1
x = 
http://festival.1september.ru/articles/593441/img21.gif  +   http://festival.1september.ru/articles/593441/img17.gifк;      к  http://festival.1september.ru/articles/593441/img25.gif Z.
Ответ: x = 
http://festival.1september.ru/articles/593441/img21.gif  +  http://festival.1september.ru/articles/593441/img17.gif к ,      к http://festival.1september.ru/articles/593441/img25.gif Z.

2 ученик. 2 способ. Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Для решения уравнения воспользуемся формулой  sinhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img27.gif– sinhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img32.gif = 2 sinhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img34.gif сoshttp://festival.1september.ru/articles/593441/img36.gif

cos 3x + 2 sinhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img38.gif сoshttp://festival.1september.ru/articles/593441/img40.gif = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0.     Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

http://festival.1september.ru/articles/593441/img42.gif           http://festival.1september.ru/articles/593441/img44.gifhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img46.gif        http://festival.1september.ru/articles/593441/img48.gif     

http://festival.1september.ru/articles/593441/img50.gif                  http://festival.1september.ru/articles/593441/img50.gif

Множество решений второго уравнения полностью входит во множество решений первого уравнения. Значит http://festival.1september.ru/articles/593441/img52.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/593441/img52.gif

3 ученик. 3 способ. Решение уравнений преобразованием  произведения тригонометрических функций в сумму

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Для решения уравнения воспользуемся формулой http://festival.1september.ru/articles/593441/img55.gif

http://festival.1september.ru/articles/593441/img57.gif 

http://festival.1september.ru/articles/593441/img59.gif         http://festival.1september.ru/articles/593441/img61.gifhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img2.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/593441/img63.gif

4 ученик. 4 способ. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

3 sin x – 2 cos2x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin
2x ) = 0,
2 sin
2x + 3 sin x  – 2 = 0,

Пусть sin x = t, где | t |http://festival.1september.ru/articles/593441/img65.gif. Получим квадратное уравнение 2t2 + 3t – 2 = 0,

D = 9 + 16 = 25.

http://festival.1september.ru/articles/593441/img67.gif. Таким образом http://festival.1september.ru/articles/593441/img69.gifhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img71.gif не удовлетворяет условию | t |http://festival.1september.ru/articles/593441/img65.gif.  

Значит  sin x = http://festival.1september.ru/articles/593441/img8.gif. Поэтому http://festival.1september.ru/articles/593441/img74.gif.

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/593441/img76.gif

III. Закрепление изученного по учебнику А. Н. Колмогорова

1. № 164 (а), 167 (а)        (квадратное уравнение)
2. № 168 (а)                      (разложение на множители)
3. № 174 (а)                      (преобразование суммы в произведение)
4. 
http://festival.1september.ru/articles/593441/img78.gif   (преобразование произведения в сумму)

(В конце урока  показать решение этих уравнений на экране для проверки)

№ 164 (а)

2 sin2 x + sin x – 1 = 0. 
Пусть sin x = t, | t | 
http://festival.1september.ru/articles/593441/img30.gif1. Тогда 
2 t
2 + t – 1 = 0,  thttp://festival.1september.ru/articles/593441/img81.gif = – 1, thttp://festival.1september.ru/articles/593441/img83.gifhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img8.gif. Откуда   http://festival.1september.ru/articles/593441/img86.gif http://festival.1september.ru/articles/593441/img88.gif

Ответ:  –http://festival.1september.ru/articles/593441/img90.gif.

№ 167 (а)

3 tg2 x + 2 tg x – 1 = 0.

Пусть tg x = 1,  тогда получим уравнение 3 t2 +  2 t – 1 = 0.

http://festival.1september.ru/articles/593441/img92.gif

http://festival.1september.ru/articles/593441/img94.gif        http://festival.1september.ru/articles/593441/img96.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/593441/img98.gif

№ 168 (а )

http://festival.1september.ru/articles/593441/img100.gif

Ответ:  http://festival.1september.ru/articles/593441/img102.gif

№ 174 (а )

http://festival.1september.ru/articles/593441/img104.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/593441/img106.gif

Решить уравнение: http://festival.1september.ru/articles/593441/img108.gif

      http://festival.1september.ru/articles/593441/img110.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/593441/img112.gif

2 урок (урок-лекция)

IV. Изучение нового материала (продолжение)

– Итак, продолжим изучение способов решения тригонометрических уравнений.

5 способ. Решение однородных тригонометрических уравнений

Уравнения вида  a sin x + b cos x = 0, где  a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно  sin x или  cos x.

Рассмотрим уравнение

sin x –  cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству  sin2 x +  cos2 x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

tg x = 1,

http://festival.1september.ru/articles/593441/img114.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/593441/img2.gifhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img116.gif

Уравнения вида a sin2 x + bcos2x + c sin x cos x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или  cos x.

Рассмотрим уравнение

sin2x – 3 sin x cos x + 2 cos2 = 0. Разделим обе части уравнения на cos x, при этом потери корня не произойдёт, т.к.  cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg2 x – 3tg x + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

http://festival.1september.ru/articles/593441/img120.gif    тогда  http://festival.1september.ru/articles/593441/img122.gif Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 + http://festival.1september.ru/articles/593441/img1.gifhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img124.gif,  x = http://festival.1september.ru/articles/593441/img126.gif

Ответ: arctg 2 + http://festival.1september.ru/articles/593441/img1.gifhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img124.gif,http://festival.1september.ru/articles/593441/img116.gif

Рассмотрим ещё одно уравнение: 3 sin2x – 3 sin x cos x + 4 cos2 x = 2.
Преобразуем правую часть уравнения в виде 2 = 2 · 1 = 2 · (sin
2x +  cos2x). Тогда получим:
3sin
2x – 3sin x cos x + 4cos2 x = 2 · (sin2x +  cos2 x),
3sin
2x – 3sin x cos x + 4cos2x – 2sin2x – 2  cos2x = 0,
sin
2x – 3sin x cos x + 2cos2x = 0. (Получили 2 уравнение, которое уже разобрали).

Ответ: arctg 2 + http://festival.1september.ru/articles/593441/img1.gifk,http://festival.1september.ru/articles/593441/img116.gif

6 способ.  Решение линейных тригонометрических уравнений

Линейным тригонометрическим уравнением называется уравнение вида a sin x + b cos x = с, где a, b, c – некоторые числа.

Рассмотрим уравнение  sin x +  cos x = – 1.
Перепишем уравнение в виде:  
http://festival.1september.ru/articles/593441/img130.gif

Учитывая, что http://festival.1september.ru/articles/593441/img132.gif иhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img134.gif, получим:

http://festival.1september.ru/articles/593441/img136.gif

http://festival.1september.ru/articles/593441/img138.gifhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img2.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/593441/img140.gif  

7 способ. Введение дополнительного аргумента

Выражение a cos x + b sin x можно преобразовать:

http://festival.1september.ru/articles/593441/img142.gif.

(это преобразование мы уже ранее использовали при упрощении тригонометрических выражений)

Введём дополнительный аргумент – угол http://festival.1september.ru/articles/593441/img3.gif такой, что http://festival.1september.ru/articles/593441/img144.gif

Тогда http://festival.1september.ru/articles/593441/img146.gifhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img148.gif

Рассмотрим уравнение: 3 sinx + 4 cosx = 1.

Учтём, что http://festival.1september.ru/articles/593441/img150.gif. Тогда получим http://festival.1september.ru/articles/593441/img152.gif

0,6 sin x  + 0,8 cosx = 1. Введём дополнительный аргумент – угол http://festival.1september.ru/articles/593441/img3.gif такой, что http://festival.1september.ru/articles/593441/img154.gif, т.е.     http://festival.1september.ru/articles/593441/img3.gif = arcsin 0,6.  Далее получим  http://festival.1september.ru/articles/593441/img156.gif

Ответ: – arcsin 0,8 + http://festival.1september.ru/articles/593441/img17.gif + http://festival.1september.ru/articles/593441/img106.gif

8 способ. Уравнения вида Рhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img160.gif 

Такого рода уравнения удобно решать при помощи введения вспомогательной переменной t = sin x ± cosx. Тогда 1 ± 2 sinx cosx = t2.

Решить уравнение: sinx + cosx + 4 sinx cosx – 1 = 0.

Введём новую переменную t =  sinx + cosx, тогда  t2 = sin2x + 2sin x cos x + cos2 = 1 + 2 sin x cos x Откуда sin x cos x = http://festival.1september.ru/articles/593441/img162.gif. Следовательно получим:

t + 2 (t2 – 1) – 1 = 0.
2 t
2 + t – 2 – 1 = 0,
2 t
2 + t – 3 = 0..Решив уравнение, получим http://festival.1september.ru/articles/593441/img164.gif = 1, http://festival.1september.ru/articles/593441/img166.gif =http://festival.1september.ru/articles/593441/img168.gif.

sinx + cosx = 1                                       или                                 sinx + cosx = http://festival.1september.ru/articles/593441/img168.gif

http://festival.1september.ru/articles/593441/img170.gif                                                               http://festival.1september.ru/articles/593441/img172.gif

Корней нет.

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/593441/img174.gif

9 способ. Решение уравнений, содержащих тригонометрические функции под знаком радикала.

Решить уравнение: http://festival.1september.ru/articles/593441/img176.gif

В соответствии с общим правилом решения иррациональных уравнений видаhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img178.gif, запишем систему, равносильную исходному уравнению:http://festival.1september.ru/articles/593441/img180.gif

Решим уравнение 1 – cos x = 1 – cos2x.

1 – cos x = 1 – cos2x,
1 – cos x – (1 – cos x) (1 + cos x) = 0,
(1 – cos x) (1 – 1 – cos x) = 0,
– (1 – cos x) cos x = 0.

http://festival.1september.ru/articles/593441/img182.gif        http://festival.1september.ru/articles/593441/img184.gif     http://festival.1september.ru/articles/593441/img186.gif

Условию http://festival.1september.ru/articles/593441/img188.gif удовлетворяют только решенияhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img2.gifhttp://festival.1september.ru/articles/593441/img190.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/593441/img192.gif

10 способ. Решение уравнений с использованием ограниченности тригонометрических функций y = sin x и y = cos x.

Решить уравнение: sin x + sin 9x = 2.
Так как при любых значениях х  sin x 
http://festival.1september.ru/articles/593441/img30.gif  1, то данное уравнение равносильно системе:http://festival.1september.ru/articles/593441/img195.gif         http://festival.1september.ru/articles/593441/img197.gif                   http://festival.1september.ru/articles/593441/img199.gif

Решение системы  http://festival.1september.ru/articles/593441/img201.gif

Ответ: http://festival.1september.ru/articles/593441/img201.gif

V. Итог урока

Таким образом мы сегодня рассмотрели 10 различных способов решения тригонометрических уравнений. Безусловно, многие из приведённых задач могут быть решены несколькими способами.

(Пятерым наиболее подготовленным учащимся , а также всем желающим дать индивидуальное творческое задание: найти различные способы решения тригонометрического уравнения sinx + cosx = 1 )

Домашнее задание:  № 164 -170 (в, г)


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Решение тригонометрических уравнений и систем уравнений

видеоурок интегрированного урока по математике и информатике...

решение тригонометрических уравнений с применением тригонометрических формул

конспект урока в 10 классе и презентация к нему по теме "решение тригонометрических уравнений с помощью тригонометрических формул". Цели урока: знакомство обучающихся со способами решения тригонометри...

Обратные тригонометрические функции. Решение тригонометрических уравнений.

Вопросы, включенные в программу курса недостаточно изложены  в школьных учебниках, поэтому необходимо расширить количество часов, отводимых на их  изучение  и круг задач, связанных как ...

План урока по теме "Решение тригонометрических уравнений, неравенств, систем уравнений".

Подбор разноуровневых тематических заданий для организации самостоятельной работы учащихся 10 классов....

Конспект урока «Решения тригонометрических уравнений с помощью тригонометрического круга»

Конспект урока в 10 классе по теме «Решения тригонометрических уравнений  с помощью тригонометрического круга» с использованием интерактивных презентаций по объяснению и тренажеры по проверке усв...