Дидактические материалы. Повторение. Алгебра и начала анализа 11 класс
учебно-методическое пособие по алгебре (11 класс) на тему

Контрольная работа.

Вариант 1.

1. а) Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций   у = у =.

    б) Найдите координаты точек пересечения графиков этих функций, абсциссы которых принадлежат отрезку

2. Решите неравенство 0. Укажите какое-либо отрицательное число, являющееся решением этого неравенства, если такое существует.

3. Является ли число    корнем уравнения  2+= 

4.Постройте график функции  у = 6.-

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями  у = 3, х = 4, у = 9.

        Вариант 2.

1. а) Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций  у =, у =.

    б) Найдите координаты точек пересечения графиков этих функций, абсциссы которых принадлежат отрезку  

2. Решите неравенство   0. Укажите какое-либо отрицательное число, являющееся решением этого неравенства, если такое существует.

3. Является ли число    корнем уравнения  3+=  

4. Постройте график функции  у =6 +  .

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями  у = 3, х = 9, у = 3.

Контрольная работа.

                                 Вариант 1.

1) Решите уравнение  .

2) Решите неравенство    .

3) Решите систему уравнений   ;

4) Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку А.

5) На графике функции найдите точки, сумма расстояний от каждой из которых до оси координат, является наименьшей.

6) Для расфасовки растворимого кофе используются металлические банки цилиндрической формы объёмом 128π , при каких размерах банки на её изготовление потребуется наименьшее количество металла (расходами металла на швы можно пренебречь).

                             Вариант 2.

1) Решите уравнение   .

2) Решите неравенство    .

3) Решите систему уравнений    

                                                              .

4) Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку А.

5) На графике функции найдите точки, произведение расстояний, от каждой из которых до осей координат, является наименьшим.

6) Для упаковки печенья используются картонные коробки, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда, объёмом 900 ,её высота 4см. Какими должны быть размеры основания коробки, чтобы на её изготовление потребовалось наименьшее количество картона (размерами на швы коробки пренебречь).

Контрольная работа.

                Вариант 1.

1.Найдите координаты точки пересечения графиков функций  у =  х + 1,  у =.

2.Решите уравнение

а) 2 5+ 2 = 0.

б) Укажите решение данного уравнения, удовлетворяющее условию .

3.Решите систему неравенств          

4.Постройте график функции  у = на отрезке . Укажите множество значений функции на отрезке.

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой  у = 4х  и прямой, проходящей через точки ,.

6. На графике функции  у = найдите точку М с положительной абсциссой, ближайшую точке А.

                Вариант 2.

1 . Найдите координаты точки пересечения графиков функций  у =,   У = Х 2.

2.  Решите уравнение  25+ 1=0. Укажите решение уравнения, удовлетворяющее условию .

3. Решите систему неравенств      

4. Постройте график функции  У =  + 2+ 5 на отрезке . Укажите множество значений функции на этом отрезке.

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой   у = 3, прямой  у = 0 и прямой, проходящей через точки  ,.

6. На графике функции  у = найдите точку, ближайшую к точке А.

Контрольная работа.

                                   Вариант 1.

1. Решите уравнение    = 0.
2. Решите неравенство   .
3. Составьте  уравнение касательной к графику функции  у = 3 4 в точке с абсциссой =1. Напишите уравнение одной из прямых, параллельной этой касательной.
4. Найдите все значения , при которых выражение  имеет смысла и не обращается в ноль.
5. Фигура ограничена линиями  у = и . Отрезок, наибольшей длины, заключённый внутри этой фигуры и принадлежащий прямой   = , делит фигуру на две части. Докажите, что площади этих частей равны .
6. При каких значениях параметра   уравнение    не имеет корней?

                                   Вариант 2.

1. Решите уравнение   =  0.
2. Решите неравенство  .
3. Составьте уравнение касательной к графику функции  у =   23 в точке с абсциссой =2. Напишите уравнение одной из прямых, параллельной этой касательной.
4. Найдите все значения , при которых выражение   имеет смысла и не обращается в ноль.
5. Фигура ограничена линиями  у = и у = 3. Отрезок, наибольшей длины, заключённый внутри этой фигуры и принадлежащий прямой  = , делит фигуру на две части. Докажите, что площади этих частей равны.
6. При каких значениях параметра    уравнение       имеет одно решение?

Контрольная работа .

                                    Вариант 1.

Сюжет 1.      Дана функция  (х) =.

а) Докажите, что   (х) = .

б) Решите уравнение  (х) = 0.

в) Упростите выражение    +  и вычислите его значение при  х = .

г) Решите неравенство      на  отрезке  .

Сюжет 2.        Дана функция  (х) = .

а) Вычислите .

б) Решите уравнение  (х) =  3.

в) Найдите область определения выражения  .

г) Решите неравенство  

Сюжет 3.              Дана функция    () = .

а) Найдите область определения функции  у =().

б) Решите уравнение  () =  + 1.

в) Найдите наибольшее значение функции  у = () на отрезке  .

г)  Вычислите, при каких значениях параметра    уравнение  () =  имеет ровно одно решение.

Сюжет 4 .              Дана функция  () = .

а) Постройте график функции  у = ().

б) Найдите первообразную для функции  у = (),график которой проходит через точку с координатами  .

в) Напишите уравнение касательной  L к графику функции  у = () в точке графика с абсциссой  = 1.

г) Найдите площадь фигуры, расположенной во второй координатной  четверти и ограниченной графиком функции  у = (), касательной  L и осью ординат .

                           Вариант 2 .

Сюжет 1.        Дана функция   ()  =   

а) Докажите, что  () = .

б) Решите уравнение   () = 0.

в) Упростите выражение   () +  и вычислите его значение при  = .

г) Решите неравенство      на отрезке .

Сюжет 2.         Дана функция   () = .

а) Вычислите  .

б) Решите уравнение  ().

в) Найдите область определения выражения   .

г) Решите неравенство   .

Сюжет 3.        Дана функция  () =

а) Найдите область определения функции   =().

б) Решите уравнение   () =  + 3.

в) Найдите наименьшее значение функции   = () на луче [2;).

г)  Выясните, при каких  значениях параметра    уравнение    имеет два различных корня.

Сюжет 4.      Дана функция          () = 3.

а) Постройте  график функции  = ().

б) Найдите первообразную для функции   = (), график которой проходит через точку с координатами

в) Напишите уравнение касательной L к графику функции   = () в точке графика с абсциссой   =2.

г) Найдите площадь фигуры, лежащей в первой координатной четверти и ограниченной графиком функции   = (),  касательной  L и осью ординат.

Контрольная работа.

           Вариант 1.

Сюжет 1.        Дана функция    () =.

а) Вычислите   .

б) Упростите выражение   .

в) Решите уравнение   () =.

г) Решите неравенство      на отрезке.

Сюжет 2.          Дана функция    () =.

а) Найдите наименьшее целое значение    из области определения функции   = ().

б) Докажите, что    = .

в) Решите неравенство     .

г) Решите уравнение     () = .

Сюжет 3.       Дана функция  () =.

а) Решите уравнение   () =  – 2.

б) Постройте график функции   = ().

в) Найдите наименьшее и наибольшее значение функции   = () на отрезке [2;1,5].

г) Найдите площадь фигуры, расположенной в третьей координатной четверти и ограниченной графиком функции   = () и прямой   = 2.

Сюжет 4.        Дана функция  () = .
      а) Найдите область определения функции  .

б) Найдите координаты точек пересечения графиков функций   = () и   = 3 – 1.

в) Сравните числа    и 2 .

г) Найдите все значения параметра  , при которых уравнение  () =  имеет два различных корня.

    Вариант 2.

Сюжет 1.       Дана функция    = .

а) Вычислите  .

б) Упростите выражение   .

в) Решите уравнение   = .

г) Решите неравенство       на отрезке   .

Сюжет 2.      Дана функция    () = .

а) Найдите наибольшее целое отрицательное значение   из области определения  функции    = ().

б) Докажите, что .

в) Решите неравенство   .

г) Решите неравенство   = .

Сюжет 3.     Дана функция  () =.

а) Решите уравнение  () = +2.

б) Постройте график функции   = ().

в) Найдите наименьшее и наибольшее значение функции   = () на отрезке .

г) Найдите площадь фигуры, расположенной в первой координатной четверти и ограниченной графиком функции   = () и прямой  = +2.

Сюжет 4.      Дана функция     = .

а) Найдите область определения функции   = .

б) Найдите координаты точек пересечения графиков функций  =  и = 3 1.

в) Сравните числа  2 и 3.

г) Найдите все значения параметра , при которых уравнение   =  имеет ровно один корень.

Контрольная работа

                      Вариант 1.

Сюжет 1.         Дана функция    = 

а) Вычислите    .

б) Решите уравнение    =

в) Решите неравенство  .

г) Решите систему уравнений       =,

                                                               =      .

Сюжет 2.        Дана функция     = .

а) Вычислите , если известно, что    = .

б) Решите уравнение   +  = .

в) Докажите, что  = .

г) Решите неравенство   0 на отрезке  .

Сюжет 3.         Дана функция      = .

а) Найдите все значения параметра  а  такие, что число   = 2 является корнем уравнения  = 2.

б) Пусть   = 7.  Решите уравнение   = 2.

в) Пусть  =7. Сравните числа  и .

г) Найдите все значения параметра    такие, что областью определения функции  у =  является отрезок.

Сюжет 4.           Дана функция    = .

а) Найдите первообразную   = F  функции   = , график которой проходит через точку с координатами  (6;18).

б) Постройте график найденной первообразной   = .

в) Напишите уравнение касательной к графику найденной первообразной   = F  в его точке с абсциссой  = 0.

г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций   = ,  = и отрезком  оси абсцисс.

                               Вариант 2 .

Сюжет 1.         Дана функция  = 3.

а) Вычислите    .

б) Решите уравнение   = .

в) Решите неравенство    .

г) Решите систему уравнений      = ;

                                                                                  = 24.

Сюжет 2.     Дана функция     = .

а) Вычислите значение  , если известно, что   = .

б) Решите уравнение     = .

в) Докажите, что    = .

г) Решите неравенство     0 на отрезке .

Сюжет 3.         Дана функция     = .

а) Найдите все значения параметра   такие, что число   = является корнем уравнения  .

б) Пусть   = 5. Решите уравнение  .

в) пусть   = 5. Сравните числа    и.

г) Найдите все значения параметра  в  такие что областью определения функции   =  является отрезок.

Сюжет 4.         Дана функция    .

а) Найдите первообразную  =  функции   = , график которой проходит через точку с координатами .

б) Постройте график найденной первообразной   = .

в) Напишите уравнение касательной к графику найденной первообразной   =   в его точке с абсциссой  = 0.

г) Найдите площадь фигуры. ограниченной графиком   функции    = ,  графиком функции   и отрезком  оси абсцисс  

Контрольная работа.

                            Вариант 1.

Сюжет 1.        Дана функция     = .

а) Решите уравнение  на отрезке .

б) Пусть   = . Вычислите .

в)  Докажите, что    =  x.

г) Решите неравенство       0 на отрезке  

Сюжет 2.            Дана функция   .

а) Найдите область определения функции    = .

б) Вычислите .

в) Решите уравнение .

г) Решите неравенство      2 0 .

Сюжет 3.             Дана функция     —.

а)Найдите координаты точек пересечения графика функции   с осями координат.

б) Сравните числа        и    .

в) Решите уравнение    .

г) Найдите область определения функции .

Сюжет 4.                Дана функции .

а) Напишите уравнение прямой n, касающейся графика функции  в его точке с абсциссой .

б)Постройте график функции   , прямой n и осью Оу.

в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции , прямой n и осью Оу.

г)Найдите все значения параметра  такие, что уравнение     имеет ровно два различных корня.

                                        Вариант 2.

Сюжет 1.            Дана функция    = .

а) Решите уравнение     на отрезке .

б) Пусть   . Вычислите .

в)  Докажите, что   .

г) Решите неравенство    на отрезке .

Сюжет 2.             Дана функция  .

а) Найдите область определения функции  

б) Вычислите     .

в)  Решите уравнение    .

г) Решите неравенство   .

Сюжет 3.          Дана функция    .

а) Найдите координаты точек пересечения графика функции  с осями координат.

б) Cравните числа      и   .

в) Решите уравнение     .

г) Найдите область определения функции   .

Сюжет 4.            Дана функция    .

а) Напишите уравнение прямой  m, касающейся графика функции   в точке его с абсциссой  .

б) Постройте график функции   и прямую m.

в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции, прямой m и осью Оу.

г) Найдите все значения параметра  такие, что уравнение    имеет ровно одно решение.

Контрольная работа.

                                 Вариант 1.

 Сюжет 1.         Дана функция    .

а) Докажите, что .

б) Решите уравнение   .

в) Упростите выражение   .

г) Решите неравенство    на отрезке  .

Сюжет 2.         Дана функция    .

а) Установите область определения функции .

б) Решите уравнение  .

в) Решите неравенство   .

г) Выясните, при каких значениях параметра    уравнение   = имеет решение.

Сюжет 3.           Дана функция    .

а) Напишите уравнение касательной к графику функции    в его точке с абсциссой .

б) Постройте график функции   .

в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции ,  прямой  и осью Оу, лежащей в первой четверти.

г) Длина бокового ребра правильной четырёхугольной пирамиды равно см. Найдите наибольший объём такой пирамиды.

Сюжет 4.        Даны функции:    ; .

а)Найдите область определения функции .

б) Решите уравнение .

в) Сравните числа   и  .

г) Решите неравенство   .

                                        Вариант 2.

Сюжет 1.           Дана функция  .

а) Докажите, что  .

б) Решите уравнение  .

в) Упростите выражение  .

г)Решите неравенство   на отрезке  .

Сюжет 2.          Дана функция    .

а) Установите область определения функции .

б) Решите уравнение  .

в) Решите неравенство   .

г) Выясните, при каких значениях параметра    уравнение   не имеет решения

Сюжет 3.          Дана функция   .

а) Напишите уравнение касательной к графику функции в его точке с абсциссой .

б) Постройте график функции  .

в) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции ,прямой   осью Оу и лежащей впервой координатной четверти.

г)  PABCD – четырёхугольная пирамида, в основании которой лежит квадрат. Боковое ребро PB перпендикулярно основанию ABCD, а длина ребра PD = 2см. Найдите наибольший объём такой пирамиды.

Сюжет4.      Даны функции    = ; .

а)Найдите область определения функции .

б) Решите уравнение   .

в) Сравните числа    и  .

г) Решите неравенство    .

Контрольная работа.

                              Вариант 1.

1) Решите неравенство   .

2) Решите уравнение    .

3) Напишите уравнение касательной к графику функции   , параллельной прямой  .

4) Решите систему уравнений     ;

                                                          .

5) Дана функция    . Найдите все её первообразные, графики которых имеют с осью абсцисс единственную общую точку.

6)При каких значениях параметра  уравнение    не имеет корней?

                                   Вариант 2.

1) Решите неравенство   .

2) Решите уравнение     = 0.

3) Напишите уравнение касательной к графику функции  , параллельной прямой  .

4)Решите систему уравнений    ;

                                                                  .

5) Дана функция    . Найдите все её первообразные, графики которых имеют с осью абсцисс единственную общую точку.

6) При каких значениях параметра  уравнение   не имеет корней ?

     Контрольная работа.

                                     Вариант 1.

Сюжет 1.              Дана функция   .

а) Вычислите , если  и  принадлежит отрезку .

б) Докажите тождество  .

в) Решите уравнение   .

г) Решите неравенство    на отрезке  .

Сюжет 2.              Дана функция     .

а) Найдите область определения функции .

б) Вычислите  .

в) Решите уравнение   .

г) Решите систему уравнений  

                                                            .

Сюжет 3.          Дана функция           .

а)Найдите значение параметра  , при котором является корнем уравнения   .

б) Решите уравнение   при .

в) Сравните числа    и     при  .

г) Найдите все значения параметра   , при которых уравнение  имеет два различных корня.

Сюжет 4.         Дана функция  .

а) Найдите для заданной функции первообразную , график которой проходит через начало координат.

б) Найдите промежутки возрастания и убывания функции .

в) Постройте график найденной первообразной  и касательную к нему в его точке с абсциссой .

г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции  и осью абсцисс.

                                                          Вариант 2.

Сюжет 1.         Дана функция   .

а) Вычислите , если   и    принадлежит отрезку .

б) Докажите тождество   .

в) Решите уравнение   .

г) Решите неравенство    на отрезке .

Сюжет 2.        Дана функция    .

а) Найдите область определения функции   .

б) Вычислите   .

в) Решите уравнение  .

г) Решите систему уравнений    

                                                             .

Сюжет 3.          Дана функция   .

а) Найдите значение выражения, при котором  является корнем уравнения  .

б) Решите уравнение    при .

в) Сравните числа     и   при  .

г) Найдите все значения параметра   ,при которых уравнение   имеет два различных корня.

Сюжет 4.       Дана функция    .

а)Найдите для данной функции первообразную  , график которой проходит через начало координат.

б)Найдите промежутки возрастания и убывания для найденной первообразной .

в) Постройте график найденной первообразной   и касательную к нему в его точке с абсциссой .

г) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью абсцисс.

Контрольная работа.

                             Вариант 1.          

Сюжет 1.         Дана функция    .

а)  Вычислите  .

б)  Найдите все значения , при которых график функции   расположен ниже прямой .

в)  Решите уравнение   .

г) Найдите все числа  такие, что.

Сюжет 2.          Дана функция     .

а) Найдите область определения функции  .

б) Сравните числа    и .

в) Решите уравнение  .

г) Решите неравенство   .

Сюжет 3.       Дана функция .

а) Напишите уравнение касательной к графику  функции , параллельной оси абсцисс.

б) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке  .

в)  Постройте график функции на отрезке .

г)  Определите число так, чтобы функция  являлась первообразной функции на луче .

Cюжет  4.         Дана функция   .

а) Докажите тождество    .

б)  Решите уравнение  .

в)Пусть   Вычислите .

г)  Найдите все решения неравенства  из отрезка  .

                                                      Вариант 2.

Сюжет 1.      Дана функция   .

а) Вычислите  

б) Найдите все значения , при которых график функции расположен ниже прямой

в) Решите уравнение  .

г) Найдите все числа   такие, что   .

Сюжет 2.    Дана функция  .

а) Найдите область определения функции  .

б) Сравните числа  .

в) Решите уравнение  

г) Решите неравенство   .

Сюжет 3.     Дана функция  

а) Напишите уравнение касательной к графику функции  , параллельной оси абсцисс.

б) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке.

в) Постройте график функции на отрезке .

г) Определите число  так, чтобы функция  являлась первообразной функции  .

Сюжет 4.      Дана функция   .

а) Докажите тождество  

б) Решите уравнение  .

в) Пусть  . Вычислите   .

г)  Найдите все решения неравенства   из отрезка  .