Дидактические материалы для занятий математического кружка "Математика +" 7 класс. Занятие 8-10. Логические задачи
олимпиадные задания по математике (7 класс) по теме

Логические задачи -  Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. В магазине 

Три подружки - Ксюша, Лена и Даша - купили в магазине груши, яблоки и сливы, причем каждая девочка покупала только один вид фруктов и все покупки у них были разные. На вопрос, кто что купил, продавец ответил:

"Ксюша купила груши.

Лена - точно не груши.

Даша - не сливы".

Как оказалось позже, два из трех ответов были ложными и только один истинным.

Кто что купил?

Задача 2. Самый лучший друг

В классе проводился опрос, кто самый лучший друг. Обсуждая его итоги, один ученик сказал: "Сережа на первом месте, а на втором - Денис". Другой ученик возразил: "Сережа на втором месте, а Ваня на первом". На что учитель заметил, что в высказывании каждого ученика одна часть верная, а другая нет. Кто из ребят оказался по итогам опроса на первом месте, а кто на втором?

Задача 3. Дорога в театр

Мужчина спросил у встречных прохожих, как пройти в театр, и получил следующие ответы:

Первый прохожий сказал: "Сначала поверните направо, а потом идите прямо".

Второй сказал: "Сначала поверните налево, а потом идите прямо".

Третий сказал: "Сначала идите прямо, а потом поверните налево".

Оказалось, что каждый из прохожих ошибся в одном направлении.

Как же надо было идти в театр?

Задача 4. Соревнования по гимнастике

Алла, Валя, Таня и Даша участвовали в соревнованиях по гимнастике. Перед соревнованиями болельщики высказали такие предположения о будущем распределении мест:

"Таня займет первое место, Валя - второе";

"Таня займет второе место, Даша - третье";

"Алла займет второе место, Даша - четвертое".

Оказалось, что в каждом из прогнозов сбылась только половина.

Какие места заняли девочки, если все они заняли разные места?

Задача 5. Беседа подружек

На улице беседовали четыре подружки - Ася, Катя, Галя и Нина. Девочка в зеленом платье (не Ася и не Катя) стояла между девочкой в голубом платье и Ниной. Девочка в белом платье стояла между девочкой в розовом платье и Катей.

В платье какого цвета была каждая из девочек?

Задача 6. Какой мультфильм любит каждый?

Жила-была одна дружная семья: мама, папа и сын. Они все любили делать вместе. Но вот мультфильмы любили разные: «Ну, погоди!», «Покемоны», «Том и Джерри». Определите, какой мультфильм любит каждый из них, если мама, папа и любитель мультфильма «Покемоны» никогда не унывают, а папа и любитель мультфильма «Том и Джерри» делают зарядку по утрам?

Задача7. Футбол

Четыре футбольных команды: итальянская команда «Милан», испанская – «Реал», российская – «Зенит», английская – «Челси» встретились в групповом этапе лиги чемпионов по футболу. Их тренировали тренеры из этих же четырех стран: итальянец Антонио, испанец Родриго, русский Николай, англичанин Джон. Известно, что национальность у всех четырех тренеров не совпадала с национальностью команд. Требуется определить тренера каждой команды, если известно:

а) Зенит не тренируется у Джона и Антонио.

б) Милан обещал никогда не брать Джона главным тренером.

Задача 8. Любители музыки

В клубе «Отдых» познакомились 3 любителя клубной музыки видов техно, хаус, рейв. Один говорит: «Вы какую музыку больше любите? Я техно люблю!». Другой ответил, что любит хаус, а третий сказал, что не любит ни техно, ни хаус, но зато обожает рейв. Интересно то, что все они были в банданах и рубашках черного, белого и желтого цветов, но цвет банданы и рубашки совпадал только у любителя техно. А у любителя хаус ни рубашка, ни бандана не были белыми. А любитель рейв был в желтой рубашке. Определите цвет рубашек и бандан каждого из любителей клубной музыки.

Задача 9. Три поросёнка

Жили-были на свете три поросёнка, три брата: Ниф-Ниф, Наф-Наф, Нуф-Нуф. Построили они три домика: соломенный, деревянный и кирпичный. Все три брата выращивали возле своих домиков цветы: розы, ромашки и тюльпаны. Известно, что Ниф-Ниф живет не в соломенном домике, а Наф-Наф – не в деревянном; возле соломенного домика растут не розы, а тот, у кого деревянный домик, выращивает ромашки. У Наф-Наф аллергия на тюльпаны, поэтому он не выращивает их. Узнайте, кто в каком домике живет и какие цветы выращивает.

Задача 10. Компьютерные игры

В компьютерном классе на уроке информатики, во время отсутствия учителя, пять ребят – Максим, Настя, Саша, Рома, Сережа – отвлеклись от нужной работы и стали играть в такие игры: пасьянс «Паук», гонки, сапер, «Марио», тетрис. Каждый из них играл только в одну игру.

• Саша думал, что в «Марио» играет Настя.

• Настя предполагала, что Рома играет в тетрис, а Максим – в гонки.

• Рома считал, что Сережа играет в гонки, а Саша – в сапера.

• Максим думал, что Настя раскладывает пасьянс «Паук», а в «Марио» играет Рома.

В результате оказалось, что все они ошиблись в своих предположениях. Кто и во что играл?

Задача 11. Студенты

Дина, Соня, Коля, Рома и Миша учатся в институте. Их фамилии – Бойченко, Карпенко, Лысенко, Савченко и Шевченко.

Рома никогда не видел своей мамы.

Родители Дины никогда не встречались с родителями Коли.

Студенты Шевченко и Бойченко играют в одной баскетбольной команде.

Услышав, что родители Карпенко собираются поехать в город, мать Шевченко пришла к матери Карпенко и попросила, чтобы та отпустила своего сына к ним на вечер, но оказалось, что отец Коли уже договорился с родителями Карпенко и пригласил их сына к Коле.

Отец и мать Лысенко – хорошие друзья родителей Бойченко. Все четверо очень довольны, что их дети собираются пожениться.

Установите имя и фамилию каждого из молодых людей и девушек.

        

Задача 12. Мушкетёры

Атос, Портос, Арамис и Д’Артаньян – четыре талантливых молодых мушкетёра. Один из них лучше всех сражается на шпагах, другой не имеет равных в рукопашном бою, третий лучше всех танцует на балах, четвертый без промаха стреляет с пистолетов. О них известно следующее:

• Атос и Арамис наблюдали на балу за их другом – прекрасным танцором.

• Портос и лучший стрелок вчера с восхищением следили за боем рукопашника.

• Стрелок хочет пригласить в гости Атоса.

• Портос был очень большой комплекции, поэтому танцы были не его стихией.

Кто чем занимается?

        

Задача13.  «Пепси», «Кока-кола», квас и «Спрайт»

В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся «Пепси», «Кока-кола», квас и «Спрайт». Известно, что «Спрайт» и «Пепси» не в бутылке, сосуд с «Кока-колой» находится между кувшином и сосудом с квасом, в банке – не «Кока-кола» и не «Спрайт». Стакан находится около банки и сосуда с «Пепси». Как распределены эти жидкости по сосудам?

Задача 14. «Евровидение-2009»

В конкурсе «Евровидение-2009» страны Норвегия, Исландия, Азербайджан и Турция заняли первых четыре места. На следующий день на вопрос, кто какое место занял, представители стран ответили так:

Норвегия: Азербайджан занял первое место;

Исландия: Мы заняли не второе место;

Азербайджан: Турция заняла первое место;

Турция: Мы заняли не четвертое место.

Позже стало известно, что все эти ответы были ложными. Какая страна заняла первое место?

Задача15. "Виа Гра"

В группе «Виа Гра» поют три девушки: блондинка, рыжая и брюнетка. В клипе «Бриллианты» девушки одеты в белое, красное и черное платья. Интересно, - заметила брюнетка, - что цвета наших с вами волос не соответствуют нашим платьям. - А ведь верно, но мне подошло бы твое платье, - подтвердила девушка в белом платье. В какое платье была одета каждая из девушек?

Задача 16.  «Мир музыки»

В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?

Задача17.   Гарри Поттер,  Рон и Гермиона

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?

Задача 18. Экстрим

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?

Задача 19. 

В трех шестых классах 70 ребят. Из них 28 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Задача20.  Алиса, Лев и Единорог

Однажды Алиса повстречала Льва и Единорога, отдыхавших под деревом. Странные это были существа. Лев лгал по понедельникам, вторникам и средам и говорил правду во все остальные дни недели. Единорог же вел себя иначе: он лгал по четвергам, пятницам и субботам и говорил правду во все остальные дни недели. Они высказали следующие утверждения:

Лев:

- Вчера был один из дней, когда я лгу.

Единорог:

- Вчера был один из дней, когда я тоже лгу.

Из этих двух высказываний Алиса сумела вывести, какой день недели был вчера.

Что это был за день?

Задача21.  Перетягивание каната

Андрей, Борис, Вадим и Геннадий заняли первые четыре места в соревновании по перетягиванию каната. На вопрос корреспондента, какое место занял каждый из них, было получено три ответа:

1) Андрей – первое, Борис – второе,

2) Андрей – второе, Геннадий – третье,

3) Вадим – второе, Геннадий – четвертое.

В каждом из этих ответов одна часть правдива, а вторая ложна. Кто занял какое место?

Задача 22.  Поход в кино

В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, в кино и в музей - 6 человек, а 2 человека не ходили ни в кино, ни в музей. Сколько человек нашего класса ходили в кино?

Задача 23. Про школьников

В классе 35 учеников, из них 20 школьников занимаются в математическом кружке, 11- в литературном, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько литераторов увлекаются математикой?

Задача № 24.

Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На вопрос, какие места они заняли, трое из них ответили:

Коля ни первое, ни последнее,

Боря второе;

Вова не был последним.

Какое место занял каждый мальчик?

Задача № 25.

Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом оконное стекло. Коля сказал: “Это не я разбил стекло”. Олег сказал: “Это Петя разбил стекло”. Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое – нет. Кто из мальчиков разбил стекло?

Задача 26.

 Четверо ребят – Алексей, Борис, Владимир и Григорий участвовали в лыжных гонках. На следующий день, на вопрос, кто какое место занял, они ответили так:

Алексей: Я не был ни первым и не последним;

Борис: Я не был последним;

Владимир: Я был первым;

Григорий: Я был последним.

Известно, что три из этих ответов были правдивыми, а один – ложью. Кто сказал правду? Кто был первым?

Задача 27.

      Барсук позвал к себе гостей:

Медведя, рысь и белку.

И подарили барсуку

Подсвечник и тарелку.

     Когда же он позвал к себе

Рысь, белку, мышку, волка,

То он в подарок получил

Подсвечник и иголку.

     Им были вновь приглашены

Волк, мышка и овечка.

И получил в подарок он

Иголку и колечко.

     Он снова пригласил овцу,

Медведя, волка, белку.

И подарили барсуку

Колечко и тарелку.

     Нам срочно нужен ваш совет.

(На миг дела отбросьте.)

Хотим понять, какой предмет

Каким дарился гостем.

     И кто из шестерых гостей

Явился без подарка?

Не можем мы сообразить,

Сидим... Мудрим... Запарка...

 Задача 28. 

В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов:

Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.

Известно, что: Смит самый высокий; играющий на скрипке меньше      ростом  играющего на флейте; играющие на скрипке и флейте и  Браун  любят пиццу;  когда между альтистом и  трубачом возникает ссора, Смит мирит их;  Браун не умеет играть ни на  трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя  инструментами?

 Задача 29.

 Владимир, Игорь и Сергей преподают математику, физику и литературу, а живут они в Рязани, Туле и Ярославле. Известно также, что Владимир живет не в Рязани, Игорь живет не в Туле, рязанец – не физик, Игорь – не математик, туляк преподает литературу. Кто где живет и что преподает?

Задача 30.

 Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Задача  31.

Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго. Известно, что:

Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;

парижанка не снимается в кино;

та, кто живет в Риме, певица;

Линда  равнодушна к балету.        

Где живет Айрис, и какова ее профессия?

Задача  32.

На фирме работают 67 человек. Из них 47 знают английский язык, 35 - немецкий язык, а 23 - оба языка. Сколько человек фирмы не знают ни английского, ни немецкого языков?

Задача  33.

Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 - лимонад, а 15 - и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?

Задача  34.

12 моих одноклассников любят читать детективы, 18 -фантастику, трое с удовольствием читают и то, и другое, а один вообще ничего не читает. Сколько учеников в нашем классе?

Задача  35.

Из тех 18 моих одноклассников, которые любят смотреть триллеры, только 12 не прочь посмотреть и мультфильмы. Сколько моих одноклассников смотрят одни «мультики», если всего в нашем классе 25 учеников, каждый из которых любит смотреть или триллеры, или мультфильмы, или и то и другое?

Задача  36.

65 % бабушкиных кроликов любят морковку, 10 % любят и морковку, и капусту. Сколько процентов кроликов не прочь полакомиться только капустой?

Задача  37.

В одном классе 25 учеников. Из них 7 любят груши, 11 -черешню. Двое любят груши и черешню; 6 - груши и яблоки; 5 -яблоки и черешню. Но есть в классе два ученика, которые любят все и четверо таких, что не любят фруктов вообще. Сколько учеников этого класса любят яблоки?

Задача  38.

В конкурсе красоты участвовали 22 девушки. Из них 10 было красивых, 12 -умных и 9 -добрых. Только 2 девушки были и красивыми, и умными; 6 девушек были умными и одновременно добрыми. Определите, сколько было красивых и в то же время добрых девушек, если я скажу вам, что среди участниц не оказалось ни одной умной, доброй и вместе с тем красивой девушки?

Задача  39.

Из 100 человек 85 знают английский язык, 80 - испанский, 75 - немецкий. Все владеют, по крайней мере, одним иностранным языком. Среди них нет таких, которые знают два иностранных языка, но есть владеющие тремя языками. Сколько человек из этих 100 знают три языка?

Задача  40.

Из сотрудников фирмы 16 побывали во Франции, 10 -в Италии, 6 - в Англии; в Англии и Италии - 5; в Англии и Франции - 6; во всех трех странах - 5 сотрудников. Сколько человек посетили и Италию, и Францию, если всего в фирме работают 19 человек, и каждый из них побывал хотя бы в одной из названных стран?

Задача  41.

В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом.

Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?

Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?

Задача  42.

Встретились три друга: Александров, Борисов и Владимиров. Владимиров сказал своему другу, которого зовут Борисом: одного из нас зовут Александром, другого – Борисом, третьего – Владимиром, но ни у одного из нас имя не соответствует фамилии. Как звали каждого из друзей?

Задача  43.

За квадратным столом университетской столовой сидели четыре бывших одноклассника, которые учатся на разных факультетах. Математик сидел напротив Василия, рядом с историком. Биолог сидел рядом с Андреем. Соседями Григория были Борис и филолог. Определить, на каком из факультетов учится каждый из друзей и как они разместились за столом.

Ответы, решения, подсказки

Задача 1. В магазине 

Ответ :

Ксюша купила сливы, Лена - груши, Даша - яблоки.

Задача 2. 

Ответ :

Ваня оказался на первом месте, Денис - на втором.

Задача 3. Дорога в театр

Ответ :

Надо было все время идти прямо.

Задача 4. Соревнования по гимнастике

Ответ :

Таня заняла первое место, Алла - второе, Даша - третье, Валя - четвертое.

Задача 5. Беседа подружек

Ответ :

Галя была в зеленом платье, Нина - в розовом, Ася - в белом, Катя - в голубом.

Задача 6. Какой мультфильм любит каждый?

Решение.

Рассмотрим множество людей: мама, папа, сын и множество мультфильмов «Ну, погоди!», «Покемоны», «Том и Джерри». Обозначим элементы этих двух множеств точками:

Если точке из одного множества соответствует точка другого множества, будем соединять эти точки сплошной линией, если не соответствует – то штриховой.

Заметим, что по условию задачи у человека только один любимый мультфильм.

Учитывая данные задачи, получаем следующую схему:

Из условия задачи следует, что нужно найти единственно возможное соответствие между элементами двух множеств.

Правило: если какая-то точка оказывается соединенной с двумя точками другого множества штриховыми линиями, то с третьей точкой она должна быть соединена сплошной.

Поэтому граф на рисунке будет выглядеть следующим образом:

Теперь мы установили, что папа любит мультфильм «Ну, погоди!», сын – «Покемоны». В обеих множествах остается только по одной точке, следовательно мама любит мультфильм «Том и Джерри». Задача решена.

Таким же способом можно находить соответствие между тремя множествами. Тогда при решении мы можем получить треугольники трех видов:

а) все стороны являются сплошными отрезками (решение задачи);

б) одна сторона – сплошной отрезок, а две другие – штриховые;

в) все стороны – штриховые отрезки.

Таким образом, нельзя получить треугольник, у которого бы две стороны были сплошными отрезками, а третья – штриховой отрезок.

Ответ: папа любит мультфильм «Ну, погоди!», сын – «Покемоны», мама любит мультфильм «Том и Джерри».

Задача7. Футбол

Решение.

Решая задачу, мы заведомо знаем, что у каждой команды только один тренер.

Чтобы решить задачу табличным способом, нужно знать следующие правила:

1.В каждой строке и в каждом столбце таблицы может стоять только один знак соответствия (например «+»).

2.Если в строке (или столбце) все «места», кроме одного, заняты элементарным запретом (знак несоответствия, например «-»), то на свободное место нужно поставить знак «+»; если в строке (или столбце) уже есть знак «+», то все остальные места должны быть заняты знаком «-».

Таким образом, решение будет доведено до конца, когда мы сумеем разместить по одному плюсу в каждом ряду и колонке, обозначив таким образом, тренеров всех четырех команд.

А теперь приступаем к решению задачи.

Нам известно, что ни у одной из команд национальность тренера и команды не совпадали, а также, что «Зенит» не тренируется у Джона и Антонио, значит у этой команды тренер не Джон и не Антонио; а «Милан» обещал никогда не брать Джона тренером, значит у команды «Милан» тренер не Джон. Если проставить соответствующие минусы, то таблица будет выглядеть так:

Таким образом, становится ясно, что у «Зенита» тренер Родриго (методом исключения). Поставим «+» напротив Родриго в колонке «Зенит» и заполним свободные клетки в его ряду минусами:

Теперь можно сделать вывод, что тренер «Милана» – Николай. Поставим «+» напротив Николая и заполним свободные клетки в его ряду минусами. Теперь видно, что «Челси» тренирует Антонио, а «Реал» - Джон.

Ответ. Российская команда «Зенит» тренируется у испанца Родриго; итальянская команда «Милан» тренируется у русского Николая; английская команда «Челси» тренируется у итальянца Антонио; испанская команда «Реал» тренируется у англичанина Марка.

Задача 8. Любители музыки

Решение

Заметим, что по условию задачи цвет банданы и рубашки совпадал только у любителя техно. А так как у любителя хаус ни рубашка ни бандана не были белыми и любитель рейв был в желтой рубашке, то делаем вывод, что любитель техно может быть в рубашке и бандане только белого цвета.  Получаем граф:

Решение сводится к нахождению трех сплошных треугольников с вершинами в разных множествах. Значит у любителя хаус желтая бандана и черная рубашка (т.к. цвет совпадал только у любителя техно по усл.), а у любителя рейв черная бандана.

Ответ. У любителя техно рубашка и бандана белого цвета; у любителя хаус черная рубашка и желтая бандана; у любителя рейв желтая рубашка и черная бандана.

Задача 9. Три поросёнка

Решение

Из условий задачи получаем граф:

Можно сделать вывод, что возле кирпичного домика растут розы, а возле соломенного – тюльпаны. А так как Наф-Наф живет не в деревянном домике, то он и не выращивает ромашки. А так как на тюльпаны у него аллергия, то он может выращивать только розы. Внесем эти данные в чертеж и получим:

Теперь стало ясно и то, что Ниф-Ниф живет в деревянном домике и выращивает ромашки. Методом исключения получаем, что Нуф-Нуф живет в соломенном домике и выращивает тюльпаны.

Ответ. Наф-Наф живет в кирпичном домике и выращивает розы; Ниф-Ниф живет в деревянном домике и выращивает ромашки; Нуф-Нуф живет в соломенном домике и выращивает тюльпаны.

Задача 10. Компьютерные игры

Решение

Таблица с известными запретами (исходя из условия задачи):

        Известно, что каждый из игравших играл только в одну, значит, в каждой строке и каждом столбце таблицы может стоять только один «+».

Из условий задачи следует, что Саша не играл в «Марио»; Настя не играла ни в тетрис, ни в гонки; Рома – ни в гонки, ни в сапера; Максим – ни в пасьянс «Паук», ни в Марио.

Так как все предположения ошибочны, то Настя не играет в «Марио», Рома – в тетрис, Максим – в гонки, Сережа – в гонки, Саша – в сапера, Настя – в пасьянс «Паук», Рома – в «Марио».

Используем правило, что если в строке (или столбце) все места, кроме одного, заняты элементарным запретом (знак несоответствия, например «-»), то на свободное место нужно поставить знак «+». В строчке «гонки» можно поставить «+» напротив имени Саша, а в строчке «Марио» напротив имени Теперь становится ясно, что в пасьянс «Паук» играл Рома, в сапера – Настя, а в тетрис – Максим. Задача решена.

Ответ. Сережа играл в «Марио»; Рома – в пасьянс «Паук»; Саша – в гонки; Настя – в сапера; Максим – в тетрис.

Задача 11. Студенты

Решение

Учитывая то, что у Ромы не было мамы, можно сделать вывод, что Рома – не Карпенко, не Шевченко, не Лысенко и не Бойченко. Следовательно, он Савченко. Также, из условия задачи видно, что Карпенко парень, следовательно, он - не Дина, не Соня, и к тому же – не Коля («отец Коли уже договорился с родителями Карпенко»). Следовательно, Карпенко зовут Миша. Отметим это в таблице:

Как известно, в одной баскетбольной команде играют либо одни юноши, либо одни девушки. Пара «Шевченко + Бойченко» мужской быть не может, так как в качестве возможных претендентов на эти две фамилии у нас остались две девушки и один юноша. Следовательно, Шевченко и Бойченко – девушки. Получаем:

Значит, фамилия Коли – Лысенко. Это легко установить, взглянув на таблицу. Имеем:

Остается выяснить имя и фамилию каждой из девушек. Сопоставим два факта: «Родители дины никогда не встречались с родителями Коли (мы уже знаем, что его фамилия – Лысенко)» и «Родители Лысенко дружат с родителями Бойченко». Ясно, что Дина - не Бойченко. Следовательно, ее фамилия Шевченко, а фамилия Сони – Бойченко.

Ответ. Миша Карпенко; Рома Савченко; Коля Лысенко; Соня Бойченко; Дина Шевченко.

        

Задача 12. Мушкетёры

Решение

Таблица с известными запретами:

 Известно, что каждый из четырех мушкетеров был лучшим только в одном деле. Следовательно, в каждой строчке и каждом столбце может стоять только один «+». Взглянув на таблицу, сразу можно сказать, что танцор – Д’Артаньян, шпажист – Портос. Вносим эти данные в таблицу. Получаем:

Теперь можно сделать вывод, что стрелок – это Арамис, рукопашник – Атос.

Ответ. Арамис – стрелок; Д’Артаньян – танцор; Портос – шпажист; Атос – рукопашник.

        Задача13.  «Пепси», «Кока-кола», квас и «Спрайт»

Решение Из условий задачи получаем таблицу с запретами:

Так как каждая жидкость находится только в одном сосуде, то в в каждой строчке и каждом столбце может стоять только один «+». Взглянув на таблицу, можно сделать вывод, что «Пепси» в кувшине, а квас в банке. Получаем новую таблицу:

Теперь можно сказать, что «Спрайт» в стакане, а «Кока-кола» в бутылке.

Ответ. Квас в банке; «Пепси» в кувшине; «Кока-кола» в бутылке; «Спрайт» в стакане.

Задача 14. «Евровидение-2009»

Решение

Так как все ответы стран были ложными, то известно, что Азербайджан занял не первое место, Исландия заняла второе место, Турция заняла четвертое место. Внесем эти данные в таблицу:

        Делаем вывод, что Азербайджан занял третье место, а Норвегия – первое место.

Ответ. Норвегия – первое место; Исландия – второе место; Азербайджан – третье место; Турция – четвертое место.

Задача15. "Виа Гра"

Решение

Учитывая условия задачи, получаем следующий граф:

Используем правило: если какая-то точка оказывается соединенной с двумя точками другого множества штриховыми линиями, то с третьей точкой она должна быть соединена сплошной. Поэтому граф на рисунке будет выглядеть следующим образом:

Теперь можно сделать вывод, что брюнетка в красном платье, блондинка – в черном, а рыжая – в белом. Задача решена.

Ответ. Брюнетка в красном платье, блондинка – в черном, рыжая – в белом.

Задача 16.  «Мир музыки»

Решение

Изобразим эти множества на кругах Эйлера.

Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:

Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры.

Задача17.   Гарри Поттер,  Рон и Гермиона

Решение

Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:

Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно,

26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон.

Ответ. 8 книг прочитал только Рон.

Задача 18. Экстрим

Решение

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.

Задача 19. 

Решение: 

Д-драмкружок, Х-хор, С-спорт. В круге Д-27 ребят, в круге Х-32 человека, в круге С-22 ученика. Те 10 ребят из драмкружка, которые поют в хоре, окажутся в общей части кругов Д и Х. Трое из них еще и спортсмены, они окажутся в общей части всех трех кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8-3=5 спортсменов, не поющих в хоре и 6-3=3, не посещающих драмкружок. Легко видеть, что 5+3+3=11 спортсменов посещают хор и драмкружок, 22-(5+3+3)=11 заняты только спортом;

70-(11+12+19+7+3+3+5)=10 не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.

Ответ:  10 человек.

Задача20.  Алиса, Лев и Единорог

Ответ:

Лев мог сказать, что он лгал накануне, только в понедельник и в четверг.

Единорог мог сказать, что он лгал накануне, только в четверг и в воскресенье. Следовательно, они оба могли утверждать, что лгали накануне, только в четверг.

Задача21.  Перетягивание каната

Решение:

 Приходится анализировать варианты. Это можно делать по-разному. Можно выяснить, возможно ли, чтобы в первом ответе первая часть была правдой, а вторая ложью и так далее. Однако удобнее проверить, возможно ли, чтобы тот или иной мальчик занял то или иное место. Чаще всего в ответах упоминаются Андрей и Геннадий. С любого из них и нужно начать. Начнем, например, с Андрея. Именно рассмотрим, мог ли Андрей занять первое место, мог ли второе, мог ли третье, мог ли четвертое.

Пусть Андрей занял первое место. Тогда в первом ответе первая часть – правда, а значит, вторая часть – неправда, то есть Борис – не второй (но и не первый, так как первый – Андрей), а третий или четвертый. Во втором ответе первая часть – неправда, так как Андрей – не второй, а первый. Значит, во втором ответе вторая часть – правда, откуда получается, что Геннадий – третий. Поэтому Борис – не третий, а четвертый, и мы получаем такое распределение:

Андрей – первый, Вадим – второй, Геннадий – третий, Борис – четвертый. Осталось с этой точки зрения просмотреть третий ответ. "Вадим – второй" – правда, "Геннадий – четвертый" – неправда. Все сходится. Но, быть может, Андрей мог быть и вторым? Нет, так как тогда первый ответ был бы полностью ложным.

Не мог быть Андрей и третьим, так как тогда полностью ложен второй ответ.

Не мог быть Андрей и четвертым, что доказать несколько труднее – нужно сопоставлять разные ответы. Из первого следует, что Борис – второй, из второго – что Геннадий – третий, но тогда полностью лжив третий ответ.

Ответ:

Андрей – первый, Вадим – второй, Геннадий – третий, Борис – четвертый.

Задача 22.  Поход в кино

Решение, ответ:

Найдем, сколько человек НЕ ходило в кино. Это количество складывается из тех, кто ходил только в музей, и кто не ходил никуда. Только в музей ходило 23-6 = 17 человек. Никуда не ходили 2 человека. Т.е. 17+2 = 19 человек не ходили в кино. Соответственно, 30-19 = 11 человек ходили в кино.

Задача 23. Про школьников

Решение:

Всего 35 учеников. 10 кружки не посещают. Значит, посещают кружки 35-10=25 учеников.

25 учеников посещают кружки. 20 учеников занимаются в математическом кружке. Значит, только литературный кружок посещают 25-20=5 человек. В литературном кружке 11 человек. Лишь 5 из них посещают только литературный кружок.

Значит, 11-5 = 6 человек-литераторов посещают ещё и математический кружок.

Задача № 24.

Решение:

После выслушивания ответов учеников, решивших задачу, учитель предлагает сделать запись решения в виде таблицы, в которой устанавливается соответствие занятого места и героя задачи. Запись в таблице – (1) означает, что Коля не занял первое место, и это следует из 1) условия задачи.  

                     I        II        III        IV

Коля        – (1)        – (2)        +        – (1)

Боря        – (2)        + (2)        – (2)        – (2)

Вова          +        – (2)        – (1)        – (3)

Юра        – (3)        – (2)          – (1)   +

Из условия, что “Боря занял второе место” следует, что он не занял ни первое, ни третье, ни четвертое место, а так же следует, что второе место не занял ни Коля, ни Вова, ни Юра.

Из первого условия, что “Коля занял ни первое, ни последнее место” следует, что Коля занял третье место, и тогда ни Вова, ни Юра не могут быть на третьем месте. Из третьего условия, что “Вова не был последним” следует, что Вова был на первом месте, а Юра был последним.

Задача № 25.

Решение:

После выслушивания ответов учеников, решивших задачу, учитель предлагает сделать анализ решения в виде таблицы, которая будет содержать все возможные варианты виновности одного из участников игры, и которая позволит оценить истинность высказываний героев задачи.

Назовем высказывание: Коля сказал: “Это не я ”- А, а высказывание: Олег сказал: “Это Петя ”- Б. Возможную виновность обозначим знаком +.

Коля        Олег        Петя          А        Б

+        –        –        ложь        ложь

–                +        –     истина        ложь

–         –        +    истина        истина

Если окно разбил Коля, значит оба высказывания А и Б ложны.

Если окно разбил Олег, значит А – истинно, Б – ложно.

Если виноват Петя, значит и А и Б – истинны.

По условию задачи одно высказывание истинно, а другое ложно, значит,

окно разбил Олег.

Задача 26.

 Решение:

Решение задачи 7 можно оформить таблицей, в которой предполагается первенство каждого из героев задачи, и на основе этого определяется истинность или ложность их высказываний.

I место занял        Истинность или ложность высказываний

                  Алексея         Бориса        Владимира         Григория

Алексей         ложь                 истина        ложь                     истина

Борис          истина       истина          ложь                     истина

Владимир        истина       истина        истина            истина

Григорий        истина        ложь                   ложь           ложь

Если предположить, что Алексей занял первое место, то он солгал и солгал Владимир, а это противоречит условию, что солгал только один участник, значит, Алексей сказал правду.

Если первым оказался Борис, то солгал только Владимир – это полностью удовлетворяет условию задачи.

Если Владимир сказал правду, то и все остальные сказали правду – этого не может быть.

Если Григорий занял первое место, то солгали Григорий и Владимир.

Ответ: Правду сказали все, кроме Владимира. Первым был Борис.

Задача 27.

           Решение. 

Составим таблицу 6 x 4 и из первого четверостишия делаем выводы:

1)      медведь, рысь, белка не дарили иголку и колечко;

2)      мышка, волк, овца не дарили подсвечник и тарелку.

Получаем таблицу:

                         Медведь Рысь Белка        Мышка Волк Овца

Подсвечник                 -         +           -              -             -              -

Иголка                 -          -           -              +             -              -

Тарелка                 +          -           -              -             -              -

Кольцо                 -          -           -              -             -              +

     Ответ: виден из таблицы.

 Задача 28. 

Решение.

Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив

соответствующие клетки буквами Л и И, в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание.

Так как музыкантов трое, инструментов шесть и каждый владеет только двумя инструментами, получается, что каждый музыкант играет на инструментах, которыми остальные не владеют.

Из условия 4 следует, что Смит не играет ни на альте, ни на трубе, а из условий 3 и 5, что Браун не умеет играть на скрипке, флейте, трубе и гобое. Следовательно, инструменты Брауна — альт и кларнет. Занесем это в таблицу, а оставшиеся клетки столбцов "альт" и "кларнет" заполним "Л":

                скрипка           флейта        альт        кларнет     гобой    труба

Браун               Л                         Л                      И              И                      Л        Л

Смит                                                   Л             Л                            Л

Вессон                                      Л             Л                

Из таблицы видно, что на трубе может играть только Вессон.

Из условий 1 и 2 следует, что Смит не скрипач. Так как на скрипке не играет  ни Браун, ни Смит, то скрипачом является Вессон. Оба инструмента, на которых  играет Вессон, теперь определены, поэтому остальные клетки строки "Вессон"  

можно заполнить нулями:

             скрипка        флейта       альт  кларнет            гобой    труба

Браун                Л                      Л                     И        И                       Л        Л

Смит                 Л                                         Л        Л                            Л

Вессон         И                      Л                     Л        Л                      Л        И

Из таблицы видно, что играть на флейте и на гобое может только Смит.

            скрипка        флейта        альт   кларнет       гобой    труба

Браун                  Л        Л                      И        И                      Л        Л

Смит                   Л        И                      Л        Л                      И        Л

Вессон           И        Л                      Л        Л                      Л        И

     Ответ: Браун играет на альте и кларнете, Смит — на флейте и гобое, Вессон— на скрипке и трубе.

 Задача 29.

 Решение.

 Составим таблицу 3 x 3, выбрав основными параметрами имена и города. Тогда, учитывая, что рязанец – не физик, а туляк – литератор, получаем, что рязанец – математик, а житель Ярославля – физик.

                       Рязань        Тула        Ярославль

Владимир        - м        + л        - Ф

Игорь                    - м        - л        + Ф

Сергей           + м        - л        - Ф

Ответ: виден из таблицы.

Задача 30.

Решение.

Имеется три утверждения:  

Вадим   изучает китайский;

Сергей не  изучает  китайский;

Михаил не      изучает арабский.

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными.

Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

Задача  31.

Решение. 

Составим таблицу и отразим в ней условия 1 и 4, заполнив клетки буквами Л и И в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание:

     Париж        Рим        Чикаго                Пение        Балет        Кино

       Л                                          Джуди                        

                                                      Айрис                        

                                Л                      Линда                  Л        

Далее рассуждаем следующим образом. Так как Линда живет не в Риме, то, согласно условию 3, она не певица. В клетку, соответствующую строке "Линда" и столбцу "Пение", ставим Л. Из таблицы сразу видно, что Линда киноактриса, а Джуди и Айрис не снимаются в кино.

     Париж        Рим        Чикаго                Пение        Балет        Кино

             Л                           Джуди                         Л

                                                  Айрис                         Л

                               Л                   Линда           Л         Л         И

Согласно условию 2, парижанка не снимается в кино, следовательно, Линда живет не в Париже. Но она живет и не в Риме. Следовательно, Линда живет в Чикаго. Так как Линда и Джуди живут не в Париже, там живет Айрис. Джуди живет в Риме и, согласно условию 3, является певицей. А так как Линда киноактриса, то Айрис балерина.

В результате постепенного заполнения получаем следующую таблицу:

     Париж        Рим        Чикаго                Пение        Балет        Кино

              Л        Л        И         Джуди        И        Л        Л

              И        Л        Л         Айрис        Л        И        Л

              Л        Л        И         Линда        Л        Л        И

     Ответ: Айрис балерина. Она живет в Париже.

Задача  32.

Ответ: 8 человек не знают  ни английский, ни немецкий язык.

Задача  33.

Из 40 учащихся нашего класса 32 любят молоко, 21 - лимонад, а 15 - и молоко, и лимонад. Сколько ребят в нашем классе не любят ни молоко, ни лимонад?

Решение:

32- 15 = 17 чел. любят только молоко,

21- 15 = 6 чел. любят только лимонад,

40 – (17 + 6 + 15) = 40 – 38= 2

Ответ: 2 человека в классе не любят ни молоко, ни лимонад.

Задача  34.

Ответ: 28 человек в классе.

Задача  35.

Ответ: 7 одноклассников смотрят одни «мультики».

Задача  36.

Ответ:  35% кроликов не прочь полакомиться только капустой

Задача  37.

Ответ:  5 учеников этого класса любят яблоки.

Задача  38.

Ответ: 1 девушка была красивая и в то же время добрая.

Задача  39.

Ответ:  70 человек знают три языка.

Задача  40.

Ответ:  2 человека посетили и Италию, и Францию.

Задача  41. 

Решение. 

Воспользуемся кругами Эйлера.

Пусть большой круг изображает всех учащихся класса,

а три меньших круга Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов.

Тогда фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта.

Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом спорта -

баскетболом занимаются  16 - (4 + z + 3) = 9 - z;  

одним лишь хоккеем  17 - (4 + z + 5) = 8 - z;  

одним лишь футболом  18 - (3 + z + 5) = 10 - z.

Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочкам:

3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,  z = 2.

Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта.

Складывая числа 9 - z, 8 - z и 10 - z, где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

Ответ.

Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека.

Увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

Задача  42.

Решение. Рассмотрим таблицу  . В левом столбце таблицы напишем фамилии друзей (обозначив их первой буквой), в верхней строке – их имена (также обозначив их первой буквой). Если человек с данной фамилией по условию задачи не может иметь данного имени, то поставим знак минус в соответствующей клетке таблицы.

 Поскольку ни у одного из друзей имя не совпадает с фамилией, поставим знак минус в клетках вдоль диагонали. Поскольку Владимиров обращался к Борису, то имя

Владимирова не Борис. Поставим минус в соответствующей клетке.

  Поскольку каждый из друзей имеет одно и только одно имя, в каждой строке и в каждом столбце таблицы должен быть единственный знак плюс (плюс означает, что человек с данной фамилией имеет имя, соответствующей данной клетке таблицы). В третьей строке два минуса, следовательно, в оставшейся клетке этой строки должен быть плюс, то есть Владимирова зовут Александром. В первом столбце уже есть один плюс, следовательно, в оставшейся клетке этого столбца стоит минус, то есть Борисова зовут не Александром. Во втором столбце уже два минуса, следовательно, в оставшейся клетке стоит плюс, то есть Александрова зовут Борисом. Во второй строке два минуса, следовательно, в оставшейся клетке должен стоять плюс, то есть Борисова зовут Владимиром.

  Последняя таблица дает нам решение задачи: Александрова зовут Борисом, Борисова – Владимиром, Владимирова – Александром.

Задача  43.

Решение. Составим логическую таблицу , аналогичную той, которую мы составили при решении примера 7. В первом столбце напишем имена друзей, обозначив их первой буквой, в верхней строке напишем названия факультетов, также обозначив их первой буквой.

  Если данный студент по условию задачи не может учиться на данном факультете, поставим в данной клетке знак минус, если данный студент учится на данном факультете, ставим в клетке плюс. При этом в каждой строке и в каждом столбце должен быть единственный плюс.

  Поскольку математик сидел напротив Василия, рядом с историком, Василий не может быть ни математиком, ни историком. Поставим в соответствующих клетках минус. Поскольку биолог сидел рядом с Андреем, то Андрей не биолог. Поскольку соседями Григория были Борис и филолог, то Борис и Григорий не филологи.

  На сей раз нам не удастся так однозначно расставить плюсы, как мы это сделали при решении предыдущего примера. Поскольку по условию задачи Василий не математик и не историк, он может быть либо биологом, либо филологом. Пусть Василий филолог. Тогда таблица примет вид:

Очевидно, что в этом случае Василий не биолог и Андрей не может быть филологом. Поставим минусы в соответствующих клетках.

  Из условий задачи следует, что Борис и филолог сидели друг против друга, но так как по нашему предположению Василий является филологом, то Василий и Борис сидят напротив друг друга. Но поскольку напротив Василия сидит математик, то математиком является Борис и таблица примет вид:

  Но тогда Борис не является ни историком, ни биологом. Поставим минусы в соответствующих клетках таблицы:

  Но тогда биологом является Григорий (больше некому) и, следовательно, Григорий не является ни историком, ни математиком, математиком не является и Андрей,  и таблица примет вид:

  Тогда Андрей является историком. На первый взгляд, мы получили решение задачи: Андрей – историк, Борис – математик, Василий – филолог, Григорий  - биолог. Однако, поскольку по условию задачи биолог сидит рядом с Андреем, то рядом сидят Григорий и Андрей. С другой стороны, напротив друг друга сидят математик и Василий, то есть Борис и Василий сидят напротив друг друга. Тогда напротив друг друга должны сидеть Андрей и Григорий. Мы получили противоречие, следовательно, наше предположение о том, что Василий филолог, оказалось неверным, следовательно, Василий биолог. Таблица примет вид:

  Тогда Василий не филолог и, следовательно, филологом является Андрей, а тогда Андрей не является ни математиком, ни историком. Биологом не являются ни Борис, ни Григорий. Таблица примет вид:

  По условию задачи напротив друг друга сидят филолог и Борис, но, поскольку филологом является Андрей, то получается, что напротив друг друга сидят Андрей и Борис, а следовательно, напротив друг друга сидят и Василий с Григорием. Но напротив Василия сидит математик, следовательно, математиком является Григорий. Тогда Борису остается быть только историком. Таблица окончательно выглядит так:

  Таким образом, Андрей – филолог, Борис – историк, Василий – биолог, Григорий – математик. Напротив друг друга сидят Андрей и Борис, Василий и Григорий.

Список использованной литературы

1. "Старинные занимательные задачи" С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко, М.К. Потапов, 1988, 153 стр.
2. "В царстве смекалки" Е.И. Игнатьев, 1978, 195 стр.
3. "Занимательная АЛГЕБРА" Я.И. Перельман, 1975, 200 стр.