Фрагмент программы элективного курса по алгебре « Комплексные числа».
методическая разработка по алгебре на тему

Фрагмент программы элективного курса по алгебре « Комплексные числа».

Пояснительная записка.

   Тема «Комплексные числа» не изучается в общеобразовательном школьном курсе математики. Предназначается для обучающихся 9-11 классов, желающих более глубоко изучить курс математики.   Курс рассчитан  на 14 уроков.

 Цели курса:

• Восполнить содержательные пробелы основного курса, придающие ему необходимую целостность.

• Показать некоторые стандартные приемы решения задач на основе свойств комплексных чисел и графических соображений.

•  Помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы.

• Формировать качества  мышления, характерные для  математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном мире.

Задачи:

• Научить решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности.
• Овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования.
• Приобрести определенную математическую культуру.
• Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Тематическое планирование учебного материала

III.   ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Действительные числа геометрически изображаются точками числовой прямой. Комплексное число A+B·i можно рассматривать как пару действительных чисел(A;B). Поэтому  естественно комплексное число изображать точками плоскости. В прямоугольной системе координат комплексное число       Z=A+B·i  изображается точкой плоскости с координатами (A;B), и эта точка обозначается той же буквой Z приложение:

 Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Оно дает возможность интерпретировать комплексные числа как точки плоскости, на которой выбрана система координат. Такая координатная плоскость называется комплексной  плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, т.к. на ней расположены точки соответствующие действительным числам. Ось ординат называется  мнимой осью – на ней лежат точки, соответствующие мнимым комплексным числам.

Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа A+B·i  как вектора, т.е. вектора с началом в точке O(0;0) и с концом в точке М(A;B)

Соответствие, установленное между множеством комплексных чисел, с одной стороны, и множествами точек или векторов плоскости, с другой, позволяет комплексные числа точками или векторами.

                         IV. Действие над комплексными числами

                 4.1 СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

        Суммой двух комплексных чисел A+B·i  и C+D·i называется комплексное число

(A+C) + (B+D)·i, т.е.  (A+B·i) + (C+D·i)=(A+C) + (B+D)·i

Пример1

(2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;

(– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i;

(– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i =

= – 1 + 0i = – 1.

        Произведением двух комплексных чисел A+B·i  и C+D·i  называется комплексное число (A·C – B·D)+(A·D+B·C) ·i, т.е.      

(A + B·i)·(C + D·i)=(A·C – B·D) + (A·D + B·C)·i

Пример2

 (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i;  (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13.

Из формул вытекает, что сложение и умножение можно выполнять  по правилам действий с многочленами, считая i2= –1. Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами действительных чисел. Основные свойства:

Переместительное свойство:

        Z1 +Z2=Z2+Z1,   Z1·Z2=Z2·Z1

Сочетательное свойство:

        (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3),  (Z1·Z2)·Z3=Z1·(Z2·Z3)

Распределительное свойство:

        Z1·(Z2+Z3)=Z1·Z2+Z1·Z3