Разработка темы "Квадратные уравнения" Алгебра 8 класс
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

                                           Алгебра 8 класс.

                                 Квадратные уравнения.

1.  Определение квадратного уравнения.

2.   Неполные квадратные уравнения.

3.   Метод выделения полного квадрата.

4.   Решение квадратных уравнений по формуле.

5.   Решение задач.

6.   Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.

7.   Дробно-рациональные уравнения.

       1.  Квадратным уравнением  называется уравнение вида                                где x –неизвестное;      a, b, c – заданные числа,  причем а ;              а – называется первым или старшим коэффициентом, b – вторым коэффициентом,             с – свободным членом. Если хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то   такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. 

   Примеры квадратных уравнений:  

   Основные свойства уравнений:

     ● 1. Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число не

       равное нулю.

     ● 2. Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую,           изменив знак этого члена на противоположный.

    Корнем уравнения называется такое значение неизвестного, при котором

уравнение обращается в верное равенство.

1.  Привести данное уравнение к виду квадратного:

    а)   

    б)  ,  

    в)         

    г)     (x – 2)(2x + 4) = 8,   решение:        

                                                     Ответ:    

2.  Какие из чисел – 2, -1, 0, 3 являются корнями уравнения  ?

                          2.     Неполное квадратное уравнение вида:

                                                     Примеры.

 1. Решим неполное квадратное уравнение:  

а)  ,                        б)  

            x (- 2x + 7) = 0                              

          x = 0 или  -2x  + 7 = 0                     ;  .

                               x = .

Ответ: x = 0, x = 3,5.                        Ответ:  x =1,5;  x = - 1,5.

      в)

             так как квадрат числа не может быть числом отрицательным, то данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

2. Решить уравнение:

а)  (x – 6) (x – 7) = 42;  б) (x – 2) (x + 3) = x;  в) ;

г)  

Решение:  а) (x – 6) (x – 7) = 42;                     б)  (x – 2) (x + 3) = x;  

Ответ: x = 0,  x = 13.                                  Ответ:  x =

в)  ;        г)  

                                                         x + 3 = 0

                                                               x = - 3.

                                                           Ответ: x = -3.

Ответ: 

                          3. Метод выделения полного квадрата.

     Квадратные уравнения, у которых первый коэффициент а = 1, называются приведенными квадратными уравнениями.

    Любое квадратное уравнение можно представить в виде приведенного квадратного уравнения, разделив обе его части на коэффициент при  .

     Решим приведенное квадратное уравнение   методом выделения полного квадрата.      ,

                      ( 

1. Квадрат первого числа.
2. Удвоенное произведение первого числа на второе.
3. Квадрат второго числа (добавляем его сами, чтобы первые три слагаемые образовали квадрат суммы или разности двух чисел).
4. Добавив  необходимо отнять это же число, чтобы левая часть уравнения не изменилась.

                      x – 3 = 4 или x – 3 = - 4,

                      x = 4 + 3,       x = - 4 + 3,

                      x = 7,              x = - 1.

         Ответ:  x = 7,  x = - 1.

Решить методом выделения полного квадрата уравнение:

                   : 5  (делим обе части уравнения на первый коэффициент)

                      Ответ:    x = 1+;  x = 1 - .

Решить самостоятельно:  

Ответы: 1) x =1, x = - 5.  2)  x = -3,  x = 4.  3)  нет корней.  4)  x = 2.

                          4.     Формула корней квадратного уравнения.

        a+ bx + c = 0  :          где     D =

(D – дискриминант, от латинского discriminantis – разделяющий, различающий).

      Зависимость числа корней квадратного уравнения от дискриминанта D:

Решить квадратное уравнение:

          а)  ;     б)  ;    в)  .

Ответы: а)  ;   б)  x = ;                    в)  нет корней.

                Для решения приведенного квадратного уравнения

                можно пользоваться следующей формулой корней:

       Пользоваться ей удобно, когда второй коэффициент – четное число.

Например, корни уравнения  - 6x + 5 = 0  можно найти так:

   ,  откуда .

              Ответ:  x = 1,  x = 5.

                                                 5.  Решение задач.

          С помощью квадратных уравнений можно решить следующие задачи.

1. Найти два последовательных целых числа, произведение которых равно  240.

    Решение:  Обозначим первое искомое целое число через x, тогда следующее за ним целое число будет  x + 1.

     По условию задачи произведение искомых целых чисел равно 240:

                                                   x ∙ (x + 1) = 240.  

     Решим это уравнение:       ,

            D =

                               ,

                               .

  Таким образом, если  x = 15, то x + 1 = 16, а если  x = - 16, то x + 1 = - 15.

              Ответ:  Искомые числа 15 и 16 или – 16 и – 15.

2.  От листа картона, имеющего форму квадрата, отрезали полосу шириной 3 см. Площадь оставшейся прямоугольной части листа равна 70  . Определите первоначальные размеры листа.

                         Ответ: 10 см.                    

            5.  Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.

Если   и   - корни уравнения  , то справедливы формулы:

                                         +  = - p,

                                          ·  = q,

т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

                                                         Примеры:

        1.  Не решая уравнения  , найдем сумму и произведение его корней.

Решение:      Дискриминант уравнения      

          D =  > 0, значит, уравнение имеет два корня. Обозначим

          эти корни  и  и применим теорему Виета:   +  = - 8,  · = - 7.

        2.  Не решая уравнения   , найдем сумму квадратов его корней.

  Решение:    D = 81 – 4 · 1 · 6 = 81 – 24 > 0, значит, уравнение имеет два корня.

                     Обозначим  эти корни  и . По теореме Виета :

                                               + = 9,   · = 6.    

    Сумму  можно найти следующим образом:

       = + 2·  - 2·  = ( + )- 2· = 9 - 2 · 6 = 81 – 12 = 69.

                       Ответ:  = 69.

         3.  Один из корней уравнения     равен  5.Найти его второй корень.

Решение:    значит уравнение имеет два корня   и . Разделим обе части исходного уравнения на 5, то  есть придадим ему вид приведенного квадратного уравнения:  . Так как известен один корень уравнения (можно считать, что = 5), то для нахождения второго корня можно воспользоваться любой из формул теоремы Виета. Воспользуемся, например, второй формулой ·  = q, в данном случае = 5, q =1, поэтому 5 ∙ = 1, откуда = .

                       Ответ:   = .

                                 Теорема, обратная теореме Виета.

 Если числа  p, q, ,  таковы, что       +  = - p,

                                                                      ·  = q,

                      то    и  - корни уравнения   .

Используя теорему, обратную теореме Виета, можно иногда подбором найти корни квадратного уравнения.

                                                      Примеры:

1. Известно, что сумма корней квадратного уравнения равна 7, их произведение равно – 9. Запишите это уравнение.
2. Используя теорему, обратную теореме Виета, найдите корни уравнения:

            Ответы: 1) x =1, x = 5.  2)  x = 3, x = - 2.  3)  x = 5, x = 2.  4)  x = - 4, x = - 6.

                                     7. Дробные рациональные уравнения.

   Рациональные уравнения – уравнения, левая и правая части которых являются рациональными выражениями.

    Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым. Например:  2x + 5 =3(8 – x),  .

    Рациональное уравнение, в котором  левая и правая часть является дробным выражением, называют дробным. Например:  .

1.   Решим целое уравнение:   ,

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель входящих в него дробей, то есть на число 6. Получим уравнение равносильное данному, не содержащее дробей:                                3(x – 1) + 4x = 5x,

    Решив его, найдем, что      x = 1,5.

                         Ответ:  x = 1,5.

2.  Решим дробное рациональное уравнение:  .    ( 1 )

Умножим обе части уравнения (1) на общий знаменатель дробей:  x(x – 5). Получим целое уравнение:                           x(x – 3) + x -5 = x + 5.    ( 2 )

  Каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2). Но уравнение (2) может быть не равносильно исходному, так как мы умножили обе его части не на число отличное от нуля, а на выражение, содержащее переменную, которое может обращаться в нуль. Поэтому не каждый корень уравнения (2) обязательно окажется корнем уравнения (1).

   Упростив уравнение (2), получим квадратное: ,

                                                          его корни            x = -2,  x = 5.

Проверка:  При x = - 2  общий знаменатель x(x – 5) не обращается в нуль. Значит, число

                    - 2 – корень уравнения.

                   При x = 5 общий знаменатель x(x – 5) обращается в нуль и выражения   теряют смысл. Поэтому число 5 не является корнем уравнения (1).

                 Ответ: x = - 2.

    При решении дробных уравнений целесообразно поступать следующим образом:

1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3. решить получившееся целое уравнение;
4. исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Решение задач на составление уравнений

Задача.  Поезд должен был пройти 54 км. Пройдя 14 км, он был задержан у семафора на 10 мин. После этого, увеличив скорость на 10 км/ч, поезд прибыл на место назначения  с опозданием на 2 мин. Определить первоначальную скорость поезда.

Решение: 

               Пусть  x км/ч –первоначальная скорость поезда, тогда (x + 10) км/ч – скорость поезда после задержки.

     На преодоление пути до семафора  (14 км) поезду потребовалось  ч, так как он шел со скоростью x км/ч. У семафора поезд был задержан на 10 мин. =ч. На преодоление оставщейся части пути (54  – 14 = 40 (км)) поезду потребовалось ч, так как эту часть пути он шел со скоростью (x + 10) км/ч.Таким образом, на преодоление всего пути потребовалось времени (в часах):  .  Первоначально планировалось, что все 54 км поезд будет идти со скоростью х км/ч и пройдет этот путь за ч.

   По условию задачи время, реально затраченное на преодоление всего пути, на 2 мин. =ч больше времени по расписанию. Это можно записать с помощью уравнения:

  Решим это уравнение. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель входящих в него дробей 30 x (x + 10)  (x ≠0, x + 10 ≠ 0), предварительно сложив дроби с одинаковыми знаменателями :

                                         ‌│ ‌‌‌∙ 30x(x +10)

                         5x(x +10) +1200x -1200(x +10) = x(x + 10)

                              4    ÷ 4

Из полученных двух корней уравнения условию задачи удовлетворяет только первый (х – скорость поезда не может быть отрицательным числом).

            Ответ:  50 км/ч.

                                        Контрольная работа № 5.

1. Решить уравнение:

а) ; б) ;  в) ;  г) ;  д)

        2.    Две бригады, работая вместе, закончили заготовку овощей за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной из бригад для этого требуется на 5 дней меньше, чем другой?

                                            Контрольная работа № 5.

1. Решить уравнение:

а) ; б) ;  в) ;  г) ;  д)

        2.    Две бригады, работая вместе, закончили заготовку овощей за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной из бригад для этого требуется на 5 дней меньше, чем другой?

                                     Решение (возможный вариант оформления).

а)                     б)                        в)  

                             x (x + 17) = 0                          D =

          = 16                         x = 0,  x + 17 = 0                    

          x =                                x = - 17                          

       x = 4; x = - 4                                                                      

Ответ: x = 4; x = - 4.         Ответ: x = 0, x = - 17.                   Ответ: x = 2,  x = - 0,5.

г)                                                д)

  Ответ: x = .                                                                  Ответ: нет корней.

2. Пусть x  дней потребовалось бы 1-й бригаде на выполнение всей работы, тогда

                (x + 5) дней  - 2-й бригаде.

 Весь объем работы примем за 1.

 Тогда  - часть овощей, заготавливаемая 1-й бригадой за 1 день,

          - часть овощей, заготавливаемая 2-й бригадой за 1 день,

 +  - часть овощей, которую заготавливали за 1 день две бригады, работая вместе.

   Известно, что работая вместе обе бригады, выполнили работу за 6 дней, то есть за 1 день они выполняли  часть всего объема работы. Можно записать уравнение:

                              +  =                  │ ∙ 6x(x + 5),  x ≠ 0, x ≠ - 5,

                        6(x + 5) + 6x = x(x + 5)

                        6x + 30 + 6x =  + 5x

                         - 7x -30 = 0

                    D =

При   x = 10  и  x = - 3   ни один из знаменателей дроби, входящих в исходное уравнение, не обращается в нуль, поэтому  10  и  - 3 – корни этого уравнения. Однако x = - 3 ‹ 0  не удовлетворяет условию задачи, поэтому  x = 10, x + 5 = 15.

                Ответ: 10 дней, 15 дней.

                       Можно для этой задачи составить таблицу:

  A = N ∙ t,   N = ,   , то получим уравнение:   +  =  .