Формулы корней квадратных уравнений. Открытый урок по алгебре 8 класс
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Учитель: Макрова Н.А.

Класс: 8 «А»

Учебник: Мордкович А.Г.

Тема: Формулы корней квадратных уравнений

Цель:

Образовательная:
вывод и обоснование формулы корней квадратных уравнений и отработка умений применения формулы при решении простейших квадратных уравнений.

Воспитательная:
воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения.

Развивающая:
развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала.

ЗАДАЧИ УРОКА:

• Подвести учащихся к самостоятельному выводу формулы корней квадратного уравнения на основе имеющихся данных.
• Использовать простые логические рассуждения для возможной постановки более сложных заданий и их решения.

ОБОРУДОВАНИЕ.

• Тесты на усвоение новых понятий и терминов и нахождения корней уравнений разного вида.
• Таблица “Алгоритм решения квадратных уравнений с помощью формулы”

ХОД УРОКА:

1. Орг момент
2. Проверка д/з №24.22(в), х0=8, у0=0, ответ: х=8

24.33(в) 49+7р-35=0, 7р=14, р=2. Ответ: х=7.

3. Устная работа

А) Найди лишнее:

Почему?

Во время устного счёта учащиеся называют коэффициенты уравнений. Какие уравнения называются квадратными?

Б) Составьте квадратные уравнения, если известны их коэффициенты:

        а=3, b=8, c=2;

В) Не решая уравнения, найдите корни, если они имеются

1.  (х-3) (х+8) = 0
2. х2 – 5х = 0

что значит решить уравнение?

4.Изучение новой темы

Вы с начальных классов уже умеете решать уравнения различных видов. А сейчас давайте узнаем, благодаря кому они появились.

Историческая справка:

Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне. Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 г. в Древней Индии. Часто они были в стихотворной форме. Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в “Книге абака”,написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. И лишь в XVII веке, благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры.

На каких предметах вы используете слово «Корень»? (русский язык – корень слова, биология – корень дерева)

Какие высказывания вы знаете? ("Зри в корень", "Корень зла", "Корень учения горек, да плод его сладок")

Сегодня на уроке мы будем говорить о корнях квадратного уравнения

Задача 1. Одна сторона прямоугольника больше другой на 2 см., а площадь равна                        . Найти стороны прямоугольника.

Решение: х см- ширина; (х+2)см-длина; х(х+2)=15; +2х=15. Как мы можем решить данное уравнение? (графическим методом). Сегодня на уроке мы познакомимся еще с одним методом решения квадратных уравнений – аналитическим.

Учащиеся останавливаются на данном шаге. Не могут решить уравнение.

В связи с этим, какая задача возникает перед нами? (Найти способ решения данных уравнений и выяснить, что это за уравнение)

Как мы будем его решать?

1. А какие квадратные уравнения вы знаете? (Приведенные и неприведенные, полные и неполные).Что значит решить уравнение? (Найти корни его или выяснить их отсутствие).
2. Что такое корень квадратного уравнения? (Это значение переменной, при котором квадратный трехчлен равен нулю.)

С помощью выделения полного квадрата мы решим квадратное уравнение в общем виде ах2 + вх + с = 0.

а(x2 + b/a *x + c/a ) = 0

a(( x2 + 2x*b/2a + (b/2a)2) – (b/2a)2 + c/a) = 0

a((x + b/2a)2 – b2/4a2 + c/a) =0

a((x + b/2a)2 – (b2 – 4ac)/4a2) = 0

a(x + b/2a)2 – (b2 – 4ac)/ 4a = 0

а(x + b/2a)2 = (b2 – 4ac)/4a; b2 – 4ac = D Выполняя задание, вы, конечно, обратили внимание на то, что “различителем” числа корней квадратного уравнения является выражение b2- 4ас.

Ему дано специальное имя – дискриминант (от discriminantis – по латыни “различающий”, “разделяющий”). Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней.

Дискриминант обозначается буквой D:

D= b2- 4ас

А в толковом математическом словаре (дети смотрят сами) дискриминант квадратного трёхчлена – величина, определяющая характер его корней.

Что общего между понятием “светофор” и “дискриминант”?

а(x + b/2a)2 = D/4a; (x + b/2a)2 = D/4a2;

Вопросы классу:

1. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

2) Как вы думаете, количество корней квадратного уравнения определяется:

- одним коэффициентом;
- двумя коэффициентами;
- тремя коэффициентами;
- некоторым выражением, составленным из коэффициентов?

3) Как вы думаете, как определить число корней уравнения?

Выясняем, что если

D = 0, то один корень х + b/2а = 0.

х = - b/2а.

Возвращаясь к домашнему заданию, выясняем, что по такой же формуле находится вершина параболы.

D<0 нет корней

D>0 два корня, находим их.

х = (- b ± D)/2а;

Дополним таблицу 1.( D=0, D>0, D<0)

Вывод – таблица 1. (заполняют сам-но)

А теперь, ребята, помогите составить ещё один алгоритм решения квадратного уравнения

5 Закрепление.

1)Сколько корней имеет уравнение. (сильные учащиеся)

1. 3х2-8х+5=0,  (Катя) Д=4>0, 2 корня
   2. 36х2-12х+1=0 (Илья) Д=0, 1 корень
   3. 3х2-3х+4=0 (Оксана), Д=-39<0, нет корней
   4. Х2+6х+9=0 (Аюша), Д=0, х=-3

2) Вернемся к нашей к нашей задаче. (Настя) Х2+2х-15=0,  Д=64, х1=-5 (неуд усл), х2=3

Ответ: 3 см, 5 см.

3) 25.2(б)

VI. тест

Тест

Фамилия, имя _______________________________

1 вариант

1. Какое уравнение является квадратным?

        а) 7x+11=0;        б)5/х+1=0        в)√х+2=0        г) 2х2+5х+2=0.

2.  Уравнение 2х2+х-12=0 является:

        а)полным;        б) неполным;                в) приведенным;         г) линейным

3.  Уравнение х2+х-12=0 является:

        а) неполным;                б)приведенным          в) не приведенным;         г) линейным

4. Коэффициентами уравнения   х2+х-12=0 являются:

        а)1; 1; -12        б)1; 1; 12;        в) -1; -1; 12:        г)-1; -1; -12

5. Сколько корней имеет квадратное уравнение х2+х-12=0

        а)один;                б) два;                в) три;         г) нет корней

Тест

Фамилия, имя _______________________________

2. вариант

1. Какое уравнение является квадратным?

        а) 7/x-3=0;        б)5х-10=0        в)√х-7=0        г) 5х2+7х+2=0.

2.  Уравнение 3х2-х-20=0 является:

        а)полным;        б) неполным;                в) приведенным;         г) линейным

3.  Уравнение х2-х-20=0 является:

        а) неполным;                б)приведенным          в) не приведенным;         г) линейным

4. Коэффициентами уравнения   х2-х-20=0 являются

        а)1; 1; -20;        б)1; -1; -20;        в) -1; 1; 20:        г)-1; -1; -20

5. Сколько корней имеет квадратное уравнение х2-х-20=0

        а) нет корней;                 б) один;        в) три;                г) два.

VII. Д.з. п.25

1. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:

“Обезьянок резвых стая
Вcласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А 12 по лианам …
Стали прыгать, повисая,
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

2) №25.1(в), 25.4 (в), 25.5 (в)

Итог урока. Выставить оценки

Рефлексия.

Умеете ли вы: 0-нет, 1-затрудняюсь, 2- умею

Задание 1. Сколько корней имеет уравнение.

3х2-8х+5=0,  

Задание 2. Сколько корней имеет уравнение
36х2-12х+1=0

Задание 3. Сколько корней имеет уравнение

3х2-3х+4=0

Задание 4. Решите уравнение

х2+6х+9=0

Домашнее задание

1) Обезьянок резвых стая
Вcласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А 12 по лианам …
Стали прыгать, повисая,
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

2) №25.1(в), 25.4 (в), 25.5 (в)

Домашнее задание

1) Обезьянок резвых стая
Вcласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А 12 по лианам …
Стали прыгать, повисая,
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

2) №25.1(в), 25.4 (в), 25.5 (в)

Домашнее задание

1) Обезьянок резвых стая
Вcласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А 12 по лианам …
Стали прыгать, повисая,
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

2) №25.1(в), 25.4 (в), 25.5 (в)

Домашнее задание

1) Обезьянок резвых стая
Вcласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А 12 по лианам …
Стали прыгать, повисая,
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

2) №25.1(в), 25.4 (в), 25.5 (в)

Домашнее задание

1) Обезьянок резвых стая
Вcласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А 12 по лианам …
Стали прыгать, повисая,
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

2) №25.1(в), 25.4 (в), 25.5 (в)

Домашнее задание

1) Обезьянок резвых стая
Вcласть поевши развлекалась,
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А 12 по лианам …
Стали прыгать, повисая,
Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?

2) №25.1(в), 25.4 (в), 25.5 (в)

Тест

Фамилия, имя _______________________________

1 вариант

2. Какое уравнение является квадратным?

        а) 7x+11=0;        б)5/х+1=0        в)√х+2=0        г) 2х2+5х+2=0.

2.  Уравнение 2х2+х-12=0 является:

        а)полным;        б) неполным;                в) приведенным;         г) линейным

3.  Уравнение х2+х-12=0 является:

        а) неполным;                б)приведенным          в) не приведенным;         г) линейным

4. Коэффициентами уравнения   х2+х-12=0 являются:

        а)1; 1; -12        б)1; 1; 12;        в) -1; -1; 12:        г)-1; -1; -12

5. Сколько корней имеет квадратное уравнение х2+х-12=0

        а)один;                б) два;                в) три;         г) нет корней

Тест

Фамилия, имя _______________________________

2. вариант

1. Какое уравнение является квадратным?

        а) 7/x-3=0;        б)5х-10=0        в)√х-7=0        г) 5х2+7х+2=0.

2.  Уравнение 3х2-х-20=0 является:

        а)полным;        б) неполным;                в) приведенным;         г) линейным

3.  Уравнение х2-х-20=0 является:

        а) неполным;                б)приведенным          в) не приведенным;         г) линейным

4. Коэффициентами уравнения   х2-х-20=0 являются

        а)1; 1; -20;        б)1; -1; -20;        в) -1; 1; 20:        г)-1; -1; -20

5. Сколько корней имеет квадратное уравнение х2-х-20=0

        а) нет корней;                 б) один;        в) три;                г) два.

Рефлексия.

Умеете ли вы: 0-нет, 1-затрудняюсь, 2- умею

Рефлексия.

Умеете ли вы: 0-нет, 1-затрудняюсь, 2- умею

Рефлексия.

Умеете ли вы: 0-нет, 1-затрудняюсь, 2- умею

Рефлексия.

Умеете ли вы: 0-нет, 1-затрудняюсь, 2- умею

Рефлексия.

Умеете ли вы: 0-нет, 1-затрудняюсь, 2- умею

Рефлексия.

Умеете ли вы: 0-нет, 1-затрудняюсь, 2- умею

Рефлексия.

Умеете ли вы: 0-нет, 1-затрудняюсь, 2- умею