Алгебра 7 класс.
методическая разработка по алгебре (7 класс) на тему

7 класс  алгебра

 Материал для консультативных занятий по теме Формулы сокращенного умножения

     При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого многочлена. Однако в некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить короче, используя формулы сокращенного умножения.
1. Уметь записывать формулы:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 - квадрат суммы 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 - квадрат разности 
a2 - b2 = (a + b)(a - b) - разность квадратов 
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) - разность кубов    (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3   -  куб разности
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) - сумма кубов       (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 -  куб суммы
2. Выучить наизусть произношение формул сокращенного умножения, уметь записывать формулы, выучить примеры, уметь применять формулы

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения. 

(a+b)2 = a2+2ab+b2 

  a) (x + 2y)2 = x2 + 2 ·x·2y + (2y)2 = x2 + 4xy + 4y2

б) (2k + 3n)2 = (2k)2 + 2·2k·3n + (3n)2 = 4k2 + 12kn + 9n2

2)    Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

      2.   (a-b)2 = a2-2ab+b2

 а)   (2a – c)2 = (2a)2-2·2a·c + c2 = 4a2 – 4ac + c2

б)   (3a – 5b)2 = (3a)2-2·3a·5b + (5b)2 = 9a2 – 30ab + 25b2

3)    Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

        3.  a2–b2 = (a–b)(a+b)

a)      9x2 – 16y2 = (3x)2 – (4y)2 = (3x – 4y)(3x + 4y)

б)  (6k – 5n)( 6k + 5n) = (6k)2 – (5n)2 = 36k2 – 25n2

4)  Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

        4. (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

a)  (m + 2n)3 = m3 + 3·m2·2n + 3·m·(2n)2 + (2n)3 = m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3

б)  (3x + 2y)3 = (3x)3 + 3·(3x)2·2y + 3·3x·(2y)2 + (2y)3 = 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3

5)  Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

5. (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3

а)  (2x – y)3 = (2x)3-3·(2x)2·y + 3·2x·y2 – y3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3

б)  (x – 3n)3 = x3-3·x2·3n + 3·x·(3n)2 – (3n)3 = x3 – 9x2n + 27xn2 – 27n3

6)  Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

6. a3+b3 = (a+b)(a2–ab+b2)

a)      125 + 8x3 = 53 + (2x)3 = (5 + 2x)(52 — 5·2x + (2x)2) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x2)

б)  (1 + 3m)(1 – 3m + 9m2) = 13 + (3m)3 = 1 + 27m3

7)  Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

7.  a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)

а) 64с3 – 8 = (4с)3 – 23 = (4с – 2)((4с)2 + 4с·2 + 22) = (4с – 2)(16с2 + 8с + 4)

б) (3a – 5b)(9a2 + 15ab + 25b2) = (3a)3 – (5b)3 = 27a3 – 125b3

 8.Выполнить упражнения.

Вариант 1.

1. Преобразуйте в многочлен:

a) (y – 4)2;   
б) (7x + a)2;  
в) (5c – 1) (5c + 1); 
г) (3a + 2b)(3a – 2b).

2. Упростите выражение (a – 9)2  – (81 + 2a).

3. Разложите на множители:

a) x2 – 49;      
б) 16x2 – 8xy + y2;

4. Решите уравнение:

(2 – x)2 – x(x + 1,5) = 4.

Вариант 2.

1. Преобразуйте в многочлен:

a) (x – 7)2;   
б) (2x + b)2;  
в) (b – 3) (b + 3); 
г) (5y – 2x)(5y + 2x).

2. Упростите выражение (c + b)(c – b)  – (5c2  – b)2.

3. Разложите на множители:

a) 25y2 – a2;      
б) c2 + 4bc + 4b2;

4. Решите уравнение:

12  – (4 –  x)2 = x (3 – x). 

Ответы:

Вариант 1.

1. а) y2 – 8y + 16; б) 49x2 + 14ax + a2; в) 25c2 – 1;  г) 9a2 – 4b2.
2. a2 – 20a.
3. а) (x – 7)(x + 7);  б) (4x – y)(4x – y).
4. x = 0;

Вариант 2.

1. а) x2 – 14x + 49; б) 4x2 + 4xb + b2; в) b2 – 9;  г) 25y2 – 4x2.
2. – 4c2.
3. a) (5y – a) (5y + a); б) (c + 2b) (c + 2 b).
 4. x = 0,8;