Элементы комбинаторики и теории вероятностей
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

9. Элементы комбинаторики и теории вероятностей - 13 часов

110-111                 Примеры комбинаторных задач

                           112-113                                            Перестановки

                             114-115                                   Размещения

                         116-118                                      Сочетания

119-120                 Вероятность случайного события

                    121                                     Сложение и умножение вероятностей

                         122                                           Контрольная работа № 10 по теме «Элементы комбинаторики

 и теории вероятностей»

Глава V. Элементы комбинаторики и теории вероятностей

П.11 Элементы комбинаторики

Урок 110-111.

                             ТЕМА: Примеры комбинаторных задач

                                    «Число, положение и комбинация - три взаимно          пересекающиеся, но различные сферы мысли,

к   которым можно отнести все

математические идеи».

Английский математик

Джеймс Джозеф Сильвестр (1814-1897)

Цели:

Обучающие:

Рассмотреть некоторые задачи комбинаторики;

проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения.

Развивающие:

развить навыки поиска, обработки и представления информации;

развить умение сравнивать, анализировать, делать выводы;

развить наблюдательность, а также коммуникативные умения.

Воспитательные:

воспитать внимательность, усидчивость;

сформировать понимание значимости математики как способа познания окружающего мира.

Задачи:

- Отработать умения решать простейшие комбинаторные задачи;

- Проверить понимание материала, изученного на уроках;

- Подготовить учащихся к защите задач. 

Оборудование: мультимедийная презентация,  учебники.

Тип урока: комбинированный.

Ход урока:

I. Организационный  момент

Сообщение темы и цели урока.

II. Изучение нового материала

Комбинаторикой называют область математики , изучающую вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов . Первоначально комбинаторика ( и теория вероятностей) возникла в хvi в. в связи с распространением различных азартных игр. В настоящее время комбинаторика используется в теории информации (кодировка и декодировка), линейном  программирования (составление расписания уроков, грузоперевозок) и т.д.

Особая примета комбинаторных задач – вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался со слов «Сколькими способами»?

При решении комбинаторных задач можно применять метод полного перебора, построение дерева возможных вариантов, правило умножения.

Сначала рассмотрим некоторые задачи комбинаторики.

I.

Задача  1

Сколько существует двузначных чисел?

Решение:

При образовании чисел используются десять цифр:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Так как число двузначное, то число десятков может принимать одно из десяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц принимает те же значения и еще 0(10 вариантов).

Если цифры десятков 1. То цифра единиц может быть любой из десяти: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и т.д.

Тогда получая, что возможно 9●10=90 и т.д.

Разумеется, их легко выписать:10,11,12,…,99.                       Ответ: 90.

Задача  2

Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека- Антонов. Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет двоих для участия в соревнованиях пар. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Задача 3

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Задача 4

В столовой предлагают два первых блюда: щи и борщ; три вторых блюда: рыба, гуляш и плов; два третьих: компот и чай. Перечислите все возможные варианты обедов из трех блюд. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.

Задача 5

На завтрак  Вова  может  выбрать: плюшку, бутерброд, пряник, или кекс, а запить он может: кофе, соком, кефиром. Сколько возможных вариантов завтрака?

II.Работа по учебнику (стр.171-173)

Рассмотреть примеры в учебнике.

II (1) Физкультминутка.

Быстро встали, улыбнулись,

Выше-выше подтянулись.

Ну-ка плечи распрямите,

Поднимите, опустите.

Вправо, влево повернитесь,

Рук коленями коснитесь.

Сели, встали, сели, встали,

И на месте побежали.      

Учится с тобою молодёжь

Развивать и волю, и смекалку

III.Задания на уроке

№714,716,718(а),719(б),721,724,725,728

IV.Повторение изученного материала(подготовка к ГИА)

№730(а),731

V.Итог урока

– Какие задачи называются комбинаторными?

– Приведите примеры ситуаций выбора комбинаций с учетом и без учета порядка элементов.

– В чем сущность способа полного перебора вариантов?

– Из чего состоит граф (граф-дерево) возможных вариантов?

VI.Задание на дом

№715,717,718(б),719(а),720,722,723,726,727

VII. Выставление оценок

Уроки 112-113.         

                              ТЕМА: Перестановки

                                 «Прихоть случая управляет миром»

                               Саллюстий Гай Крисп

Цель урока:

образовательная

Рассмотреть простейший вид соединений – перестановки;

закрепить, обобщить и проконтролировать уровень усвоения материала

развивающая

развивать логическое мышление

расширять математический кругозор

развивать навыки научно-исследовательской деятельности

воспитательная

воспитывать культуру письма, речи

Задачи урока:

-отработать умения решать   задачи на перестановки

-проверить понимание материала, изученного на уроках

- воспитание познавательной активности, интереса к предмету;

воспитание дисциплинированности. 

Оборудование: мультимедийная презентация, учебники. 

Тип урока: комбинированный.

Ход урока:

I. Организационный  момент

Сообщение темы и цели урока.

III.Изучение нового материала 

Определение перестановок из n элементов. Обозначаются Рn=n!

Задача 1

Сколько различных пятизначных чисел можно составить

из цифр 1,2,3,4,5 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?

Задача2

В соревнованиях участвовало 4 команды. Сколько вариантов

распределения мест между ними возможно?

Задача  3

Сколькими способами можно расположить на шахматной доске

8 ладей так, чтобы они не могли взять друг друга?

Задача 4

Сколькими способами можно разместить 12 человек

за столом, возле которого поставлены 12 стульев?

Задача5

  Задача 6

III(1).Физкультминутка.

Дружно с вами мы считали и про числа рассуждали,

А теперь мы дружно встали, свои косточки размяли.

На счет раз кулак сожмем, на счет два в локтях сожмем.

На счет три — прижмем к плечам, на 4 — к небесам

Хорошо прогнулись, и друг другу улыбнулись

Про пятерку не забудем — добрыми всегда мы будем.

На счет шесть прошу всех сесть.

Числа, я, и вы, друзья, вместе дружная 7-я.

Уроки 114-115                 

                                  Тема: Размещения

                                   «Крупное научное открытие дает решение

                                       крупной проблемы, но и в решении любой

                                  задачи присутствует крупица открытия».

                          Дьердь Пойа, венгерский математик

Цель:

Обучающие:

Рассмотреть следующий вид соединений- размещение;

проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения.

Развивающие:

развить навыки поиска, обработки и представления информации;

развить умение сравнивать, анализировать, делать выводы;

развить наблюдательность, а также коммуникативные умения.

Воспитательные:

воспитать внимательность, усидчивость;

сформировать понимание значимости математики как способа познания окружающего мира.

Задачи :

отработать умения решать   задачи

проверить понимание материала, изученного на уроках

готовить учащихся к защите задач .

Оборудование: мультимедийная презентация,  учебники.

Тип урока: комбинированный.

Ход занятия

I.  Организационный момент, постановка целей и задач урока.

III. Изучение нового материала

Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком из расположения.

Размещения обозначаются символом , где m – число всех имеющихся элементов, n – число элементов в каждой комбинации. (А – первая буква французского слова arrangement, что означает «размещение», приведение в порядок). При этом полагают, что n

Задача 1.

У нас есть 9 книг из серии «Занимательная математика».

Сколькими способами можно подарить 3 из них?

Задача 2.

Сколько существует вариантов распределения трех призовых мест,

если в розыгрыше участвуют7 команд?

Задача 3.

В городе проводится первенство по футболу. Сколько в нем состоится матчей, если участвуют 12 команд?

Задача 4.

Сколько различных музыкальных фраз можно составить из 6 нот,

если не допускать в одной фразе повторения звуков?

Задача 5.

Сколько сигналов можно подать 5 различными флажками,

поднимая их в любом количестве и в произвольном порядке?

Задача 6.

Задача 7. 

III(1). Физкультминутка.

Рисуй глазами треугольник

Рисуй глазами треугольник.

Теперь его переверни

Вершиной вниз.

И вновь глазами

ты по периметру веди.

Рисуй восьмерку вертикально.

Ты головою не крути,

А лишь глазами осторожно

Ты вдоль по линиям води.

И на бочок ее клади.

Теперь следи горизонтально,

И в центре ты остановись.

Зажмурься крепко, не ленись.

Глаза открываем мы, наконец.

Зарядка окончилась.

Ты – молодец!

IV. Закрепление:

Решите на доске   и в тетрадях:

№ 754; № 757

№ 759; № 761

№ 762(а); №763

№764(б)

V. Повторение:

-Что такое размах числового ряда ?

-Что такое среднее(среднее арифметическое) значение набора?

-Что такое медиана числового набора?

-Мода числового набора?

Задача 1.

У 25 ребят спросили, сколько в среднем часов в день они смотрят телевизор.

Вот что получилось:

Определите : а) размах; б) моду;  в) среднее арифметическое выборки;

г) постройте многоугольник частот,  и укажите на нем данные  из пунктов а)-в).

Задача 2.

Перед вами итоговая таблица группового этапа лиги чемпионов 2009/2010 годов в группе С.

(И – количество игр, В – выигрышей, Н – ничьих, П – поражений, Гз – забитых голов, Гп – пропущенных голов, О – набранных очков).

Сколько голов забивалось в среднем за одну игру в этом турнире?

Задача 3.

В таблице указано количество книг, прочитанных каждым из учеников за летние каникулы:

Найдите среднее арифметическое, медиану и моду этого набора чисел.

Задача 4.

Президент компании получает зарплату 100 000 р.

в месяц, четверо его заместителей получают по 20 000 р.,  а 20 служащих компании – по 10 000 р. Найдите среднее арифметическое и медиану зарплат в компании.

Задача 5.

В классе 40 учеников. Во время урока физкультуры они разбиты на три группы: школьники из первой группы играют в баскетбол, из второй – в футбол, а третья группа занимается легкой атлетикой. Информация о числе школьников в этих группах содержится в следующей круговой диаграмме.

С помощью транспортира определите число школьников в каждой группе.

VI.Итоги :

        – Дайте определение размещений.

– Приведите формулу для вычисления числа размещений.

VII.Задание на дом:

№ 755, №758, № 760,  №7 62(б),№764, №765, №766,№767 .

Урок № 116-118                 

Тема: Сочетания

 «Не нужно нам владеть клинком,

Не ищем славы громкой.

Тот побеждает, кто знаком

С искусством мыслить тонким»

Уордсворд

Цель:  Обсудить последний вид соединений- сочетания  ; закрепить, обобщить и проконтролировать уровень усвоения материала. Формирование и развитие обще учебных умений и навыков: обобщения, сравнения, анализа, синтеза, поиска способов решения.

Задачи:   

Образовательные:

продолжить формирование представлений о сочетаниях  ;

 продолжить знакомить учащихся с сочетаниями  с помощью классической формулы вероятности;

продолжить изучение методов решения комбинаторных задач;

формировать умения решать комбинаторные задачи.

Развивающие:

вырабатывать умения анализировать, выделять главное, сравнивать, обобщать.

совершенствовать навыки самостоятельной работы;

развивать внимание, наблюдательность, память, логическое мышление.

Воспитательные:

воспитание познавательной активности, интереса к предмету;

воспитание дисциплинированности; совершенствовать навыки общения. Оборудование: мультимедийная презентация,  учебники.

Тип урока: комбинированный.

Ход занятия

I.  Организационный момент, постановка целей и задач урока.

III. Устный счет

• Вычислить:

2!=                                      2

3!=                                     6

4!=                                     24

5!=                                     120

 IV. Изучение нового материала

Имеется 5 гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами a, b, c, d, e. Требуется составить букет из трех гвоздик.

Выясним, какие букеты можно составить.

Если в букет входит гвоздика a, то можно составить такие букеты:

abc, abd, abc, acd, ace, adc.

Если в букет не входит гвоздика a, а входит гвоздика b, то можно получить такие букеты:

bcd, bce, bdc.

Наконец, если в букет не входит ни гвоздика a,гвоздика b, то можно составить букет

cde.

Мы показали все возможные способы составления букетов, в которых по-разному сочетаются три гвоздики из данных пяти.

Говорят, что составлены всевозможные сочетания из 5-ти элементов по 3.

Сочетанием из n элементов по k называется любое множество,

 составленное из k элементов, выбранных из данных n элементов и

обозначается

С

в отличие от размещений, в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы

              С.

Поэтому пример про гвоздики можно быстро решить так:

Решение:

С

Пример 1.

Из 15 человек туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: С

Пример 3

В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение:

Пример 4:

 Из вазы с фруктами, где лежат 9 яблок и 6 груш, нужно выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: 

3 яблока из 9-ти можно выбрать С способами. При каждом выборе яблок груши можно выбрать С способами. Поэтому по правилу умножения выбор фруктов можно сделать С способами.  Поэтому по правилу умножения выбор фруктов можно сделать

С Решение:

 С=

   Пример 5 : 

В лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить в командировку 5 человек.

Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий должен остаться.

Решение:

а)Сб)С

Пример 6:

В библиотеке читателю предложили на выбор 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

Решение:

С 

IV(1).Физкультминутка.

(Ученики повторяют движения за учителем)

Мы все вместе улыбнемся,

Подмигнем слегка друг другу,

Вправо, влево повернемся ( повороты влево- вправо)

И кивнем затем по кругу. (наклоны влево-вправо)

Все идеи победили,

Вверх взметнулись наши руки. ( поднимают руки вверх- вниз)

Груз забот с себя стряхнули

И продолжим путь науки. ( встряхнули кистями рук)

V. Закрепление:

Решите на доске   и в тетрадях:

№768; 770; 772; 774; 776(а); 777; 779; 781.

VI. Повторение:

№784;785(а)

VII. Итоги :

VIII. Задание на дом:

№769; 771; 773; 775; 776(б); 778; 780; 789.

Урок № 119-120         

Тема:  Вероятность случайного события

                 «Теория вероятностей есть, в сущности, нечто иное,

как здравый смысл, сведённый к исчислению»

 Лаплас

Цель:

образовательная

Рассмотреть  основное понятие теории вероятностей;

закрепить, обобщить и проконтролировать уровень усвоения материала

развивающая

развивать логическое мышление

расширять математический кругозор

развивать навыки научно-исследовательской деятельности

воспитательная

воспитывать культуру письма, речи

Задачи урока:

-отработать умения решать   задачи на   основное понятие теории вероятностей

-проверить понимание материала, изученного на уроках

- воспитание познавательной активности, интереса к предмету;

воспитание дисциплинированности.

Оборудование:

Мультимедийная презентация, учебник, карточки.

Тип урока:  комбинированный

Ход урока

I. Организационный  момент

Сообщение темы и цели урока.

III.Изложение нового материала:

1 этап Актуализация знаний

- Сегодня на уроке мы  изучим решение основных типов задач на нахождение вероятности случайного события.

- Запишите формулу для вычисления вероятности события А:

Р(А) =  , где п – общее число исходов, т – число исходов, благоприятствующих событию А.

- Решите устно задачу:

В портфеле лежат 4 книги: учебник математики, учебник английского языка, учебник истории и сборник фантастики. Из портфеля наугад вынимается книга. Какова вероятность вытащить какой-нибудь учебник? Вытащить учебник математики?
Событие А: достали какой-либо учебник;

общее число исходов – 4;

благоприятствующих исходов – 3;

Р(А) =   .

Событие В: достали учебник математики;

общее число исходов – 4;

благоприятствующих исходов – 1;

Р(А) = .

- Какие средства для подсчета числа комбинаций вы знаете?

(таблица вариантов, правило произведения )

2 этап Закрепление

№ 1

1) Событие А: на монете появится орёл, а на кубике – 2 очка;

общее число исходов – 2×6 =12;

благоприятствующих исходов – 1;

Р(А) = .

2) Событие В: на монете появится решка, а на кубике - нечетное число очков;

общее число исходов – 12;

благоприятствующих исходов – 3 (Р1, Р3, Р5);

Р(В) = .

№ 2

1) Событие А: на белой кости выпало четное число очков, а на черной – нечетное;

общее число исходов – 6×6 =36;

благоприятствующих исходов – 3×3 = 9 (21, 23, 25,

41, 43, 45,

61, 63, 65);

Р(А) =

2) Событие В: появятся 2 и 3 очка;

общее число исходов – 36;

благоприятствующих исходов – 2 (23 и 32);

Р(В) =

№ 3

1) Событие А: наугад выбранная карта оказалась вальтом;

общее число исходов – 4×9 = 36;

благоприятствующих исходов – 4;

Р(А) =

2) Событие В: наугад выбранная карта оказалась королем черной масти;

общее число исходов – 36;

благоприятствующих исходов – 2;

Р(В) =.

№4

3 этап Физкультминутка.

Если событие достоверное - мы все дружно хлопаем,

Если событие невозможное - мы все вместе топаем,

Если событие случайное - покачаем головой / вправо-влево

“В корзине 3 яблока (2 красных, 1 зеленое).

- Из корзины вытащили 3 красных – (невозможное)

- Из корзины вытащили красное яблоко - (случайное)

- Из корзины вытащили зеленое яблоко – (случайное)

- Из корзины вытащили 2 красных и 1 зеленое – ( достоверное)

IV. Закрепление:

Решите на доске   и в тетрадях:

№ 799;801;803;805;807;809;811;814.

V. Проверка знаний.

Учащиеся получают карточки с тестами. Карточки состоят из двух частей: в первой содержатся задания и варианты ответов, во второй – таблица ответов. После решения задачи ученик обводит выбранный ответ кружочком и заносит номер ответа в таблицу. По завершении работы таблицы отдают учителю, чтобы он мог оценить все работы. Затем на экран выводятся правильные ответы, и ученики могут себя проверить.

1 вариант

№ 1 Брошены белая и красная игральные кости. Какова вероятность того, что на белой выпадет 4 очка, а на красной – четное число очков?

а) б)   в)

№ 2 Из колоды в 36 карт наугад вынимают одну карту. Какова вероятность того, что эта карта дама красной масти?

а)        б)  в)

№ 3 Из четырех тузов случайным образом поочередно вытащили две карты. Найти вероятность того, что обе карты тузы черной масти.

а)   б)    в)

            2 вариант

№ 1 Брошены белая и красная игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5?

а)   б)   в) 

№ 2 Из колоды в 36 карт наугад вынимают одну карту. Какова вероятность того, что эта карта туз?

а)    б)   в)

№ 3 Из четырех тузов случайным образом поочередно вытащили две карты. Найти вероятность того, что обе карты тузы красной масти.

а)    б)   в)

Ответы:

1 вариант 1б, 2а, 3б; 2 вариант 1в, 2б, 3в.

VI.  Итог урока.

VII. Домашнее задание:

№ 798; 800;802;804;808;810;812;815;816

Урок № 121

Тема:   Сложение и умножение вероятностей

Чем больше я знаю,

Тем больше умею.

Цель:

образовательная

обучать решению более сложных задач по комбинаторике

развивающая

развивать логическое мышление

расширять математический кругозор

развивать навыки научно-исследовательской деятельности

воспитательная

воспитывать культуру письма, речи

  формировать чувство ответственности за принятое решение

Задачи урока:

отработать умения решать простейшие комбинаторные задачи

проверить понимание материала, изученного на уроках

готовить учащихся к защите задач

Оборудование:

Мультимедийная презентация, учебник, карточки.

Тип урока:  комбинированный

Ход урока

I. Организационный  момент

Сообщение темы и цели урока.

I I.  Повторение и закрепление пройденного материала:

 Пример 2

V (1) .  Физкультминутка.

А теперь представим, детки,

Будто руки наши – ветки.

Покачаем ими дружно,

 Словно ветер дует южный.

Ветер стих. Вздохнули дружно.

Нам урок продолжить нужно.

Подравнялись, тихо сели

И на доску посмотрели.

IV. Закрепление:

Решите на доске   и в тетрадях:

№  820;822;824;826;828;830.

V.  Итог урока.

VI.  домашнее задание.

№821;823;825;827;829.

Урок № 122

Тема:                               Контрольная работа № 10 по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Цель: выявить степень усвоения учащимися изученного материала, их умения и навыки с последующей ликвидацией  пробелов, развивать навыки самостоятельной работы.

Оборудование: карточки.

Тип урока: Урок контроля, оценки и коррекции знаний.

Вариант 1.

1°. Сколькими способами могут разместиться 5 человек в салоне автобуса на 5 свободных местах?

2°. Сколько трехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр 1, 2, 5, 7, 9?

3°. Победителю конкурса книголюбов разрешается выбрать две книги из 10 различных книг. Сколькими способами он может осуществить этот выбор?

4°. В доме 90 квартир, которые распределяются по жребию. Какова вероятность того, что жильцу не достанется квартира на первом этаже, если таких квартир 6?

5. Из 8 мальчиков и 5 девочек надо выделить для работы на пришкольном участке 3 мальчиков и 2 девочек. Сколькими способами это можно сделать?

6. На четырех карточках записаны цифры 1, 3, 5, 7. Карточки перевернули и перемешали. Затем наугад последовательно положили эти карточки в ряд одну за другой и открыли. Какова вероятность того, что в результате получится число 3157?

Вариант 2.

1°. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 9 без повторений цифр?

2°. Из 8 учащихся класса, успешно выступивших на школьной олимпиаде, надо выбрать двух для участия в городской олимпиаде. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

3°. Из 15 туристов надо выбрать дежурного и его помощника. Какими способами это можно сделать?

4°. Из 30 книг, стоящих на полке, 5 учебников, а остальные художественные произведения. Наугад берут с полки одну книгу. Какова вероятность того, что она не окажется учебником?

5. Из 9 книг и 6 журналов надо выбрать 2 книги и 3 журнала. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

6. На пяти карточках написаны буквы а, в, и, л, с. Карточки перевернули и перемешали. Затем наугад последовательно положили эти карточки в ряд одну за другой и открыли. Какова вероятность того, что в результате получится слово «слива»?

IV.Домашнее задание: №819; 818; 797.