Семинар (2 урока) "Приложения определённого интеграла". Алгебра и математический анализ. 11 класс (углубление).
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Тема: «Приложения определенного интеграла»

Форма урока: Семинар

Цели урока:

учебные цели:

а) вывод формул (на основе определения определенного интеграла),

б) формирование навыков использования полученных формул для решения задач;

развивающие цели:

а) развитие навыков исследовательской работы,

б) развитие навыков выступления перед аудиторией;

воспитательные цели:

а) развитие навыков работы в группе,

б) формирование навыков ведения дискуссий.

Учебное содержание семинара:

1. Урок

1. Формулы для нахождения объема произвольного тела и тела вращения. Применение этих формул для решения задач (представляет 1 подгруппа).
2. Формула длины кривой. Решение задач с использованием этой формулы (представляет 2 подгруппа)

2. Урок

1. Формула для вычисления перемещения при прямолинейном движении. Решение задач (представляет 3 подгруппа).
2. Формула для вычисления работы при перемещении тела при прямолинейном движении    (представляет 4 подгруппа). Решение задач.

3. Урок

1. Формула для вычисления силы давления жидкости на тело, опущенное на заданную глубину (представляет 5 подгруппа). Решение задач.
2. Формула для массы тонкого стержня заданной длины (представляет 6 подгруппа). Решение задач.

Содержание исследовательской работы (при подготовке к семинару):

1. работа с литературой;
2. самостоятельная доработка выводов формул;
3. подбор и решение задач;
4. самостоятельная работа по составлению задач.

Литература:

С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том

Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 2

А.Г.Мордкович, А.С. Солодовников. Математический анализ.

Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике.

Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа.

М.И. Башмаков. Алгебра и начала анализа.

Н.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ.

Задача №1: Объем тела (представлено 2-ой группой)

Рассмотрим тело Р, заключенное между параллельными плоскостями и , каждая из которых перпендикулярна оси абсцисс, причем  . Разобьем точками, так что  и проведем через эти точки плоскости, параллельные плоскостям и  (и перпендикулярно оси ). При пересечении тела с плоскостью, проходящей через точку , получим сечение площадью ; при пересечении тела плоскостью, проходящей через точку  получим сечение площадью  ; … ; при пересечении тела плоскостью, проходящей через точку  получим сечение площадью ; при пересечении тела плоскостью, проходящей через точку  получим сечение площадью ;…

Функция - непрерывна на .

Обозначим  и рассмотрим - объем прямого криволинейного цилиндра с основанием и высотой

При :

Т.к. объем обладает свойством аддитивности, то

Т.к. сумма пределов равна пределу суммы, то  (по определению определенного интеграла)

Итак, объем тела вычисляется по формуле:  

Задача №2: Объем тела вращения. (представлено 4-ой группой)

Рассмотрим трапецию (криволинейную), ограниченную графиком функции , прямыми и и осью абсцисс, а также тело вращения, образованное при вращении этой трапеции вокруг оси абсцисс/

Найдем объем тела вращения, используя формулу для вычисления объема тела: .

Т.к. сечение тела вращения любой плоскостью, перпендикулярной оси вращения, является кругом, то . Кроме того, для нашего тела вращения . Следовательно .

Итак, объем тела вращения вычисляется по формуле: .

Задача №3 : Формула длины дуги. (представлено 1-ой группой)

1. Пусть  – непрерывная и дифференцируемая на отрезке  функция,  графиком которой является плоская кривая.

2. Разобьем отрезок  следующим образом:

3. На кривой отметим точки:

с абсциссой ,

с абсциссой ,

с абсциссой ,

…………………….

с абсциссой ,

…………………….

с абсциссой ;соединим эти точки и получим ломанную линию .

4. Выразим длину звена :

по теореме Пифагора: , где - приращение аргумента на отрезке , а - соответствующее приращение функции.

5. Применяя теорему Логранжа получим: , где

6. Выразим периметр ломанной :

7. Предел этой суммы при  и  и есть длина дуги, заданной функцией  на отрезке .

Итак:

В правой части равенства имеем предел интегральной суммы для функции , следовательно по теореме о пределе интегральной суммы получаем, что .

Вывод: длина отрезка кривой, задаваемой функцией при  вычисляется по формуле:

Примеры задач на вычисление длины дуги. (представлено 1-ой группой)

3. Найти длину окружности радиуса .

Для этого будем использовать формулу . Рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом . Уравнении этой окружности имеет вид: . Откуда выразим : . Но зависимость  не является функцией, поэтому рассмотрим функцию ,графиком которой при  является верхняя полуокружность.

Найдем квадрат производной этой функции: .

Определим также пределы интегрирования: , .

Итак, используем формулу:

Применим свойство интеграла четной функции на симметричном отрезке:

Итак, длина верхней полуокружности равна , следовательно, длина всей окружности .

Ответ: Мы подтвердили известную формулу .

4. Найдите длину линии

1) Так как данная функция ограничена, то прежде всего найдем ее область определения:

Следовательно, пределы интегрирования: .

2) Общая формула для вычисления длины дуги:

Найдем производную нашей функции:

А также квадрат производной этой функции:.

3) Итак, используем формулу: .

Ответ: длина линии  равна 2.

Домашнее задание:

№1 Найти длину эллипса, заданного уравнением:

№2 Убедиться в том, что длина синусоиды , соответствующей периоду синуса, равна длине эллипса, полуоси которого равны и 1.

Примеры задач на вычисление объемов тел вращения. (представлено 5-ой группой)

1. Вычислить объем конуса, высота которого - , а радиус основания - .

Рассмотрим конус, как тело вращения, полученное при вращении прямоугольного треугольника АОB вокруг катета OB, причем OB=и AB=. Выберем прямоугольную систему координат, так что: OB и OAB.

Для вычисления объема конуса воспользуемся формулой для объема тела вращения: .

Определим пределы интегрирования: .

Графиком функции  является прямая, значит  - линейная функция, а следовательно , причем .

Рассмотрим треугольник AOB:

Итак, . Следовательно

Ответ: .

2. Вычислить объем шара, радиусом R.

Рассмотрим шар как тело вращения, полученное при вращении полукруга вокруг граничного диаметра, причем радиус полукруга – R.

Выберем прямоугольную систему координат так, что центр полукруга совпадает с началом координат, граничный диаметр лежит на оси абсцисс, а сам полукруг – в плоскости .

Для вычисления объема шара воспользуемся формулой для объема тела вращения: .

Определим пределы интегрирования: .

Графиком функции  является полуокружность с центром О.

Уравнение окружности с радиусом R и центром в начале координат имеет вид: , откуда следует , причем для верхней полуокружности .

Итак, , а .

Следовательно, объем шара: Ответ:

Задание на дом:

№1 Вычислить объем пирамиды площадь основания которой равна S, а высота H.

№2 Вычислить объем тела, образованного при вращении фигуры, ограниченной линиями:  и  вокруг оси .