Готовим учеников к ГИА через проекты
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9, 10, 11 класс) по теме

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Задачи на смеси, сплавы, растворы с открытого банка задач ФИПИ ЕГЭ математика

1 группа

№1.Смешав 24-процентный и 67-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 41-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 45-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 24-процентного раствора использовали для получения смеси?

(решение см. в пояснительной записке к проекту, в электронном пособии к проекту)

Реши самостоятельно.

№2. Смешав 43-процентный и 89-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 69-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50 процентного раствора той же кислоты, то получили бы 73-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 43-процентного раствора использовали для получения смеси?

№3. Смешав 38-процентный и 52-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 46-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 38-процентного раствора использовали для получения смеси?

2 группа

№4. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

(решение см. в пояснительной записке к проекту, в электронном пособии к проекту)

3 группа

№5. В сосуд, содержащий 10 литров 24-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?

№6. В сосуд, содержащий 7 литров 15-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 8 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?

(решение см. в пояснительной записке к проекту, в электронном пособии к проекту)

№7. В сосуд, содержащий 10 литров 14-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?

№8. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?

№9. В сосуд, содержащий 5 литров 10-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составит концентрация получившегося раствора?

№10. В сосуд, содержащий 8 литров 20-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 8 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

4 группа

№11. Смешали некоторое количество 19-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

(решение см. в пояснительной записке к проекту, в электронном пособии к проекту)

№12. Смешали некоторое количество 12-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 14-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

5 группа

№13. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

(решение см. в пояснительной записке к проекту, в электронном пособии к проекту)

№14. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 7 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

№15. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 11% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

№16. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 12% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

ЗАДАНИЕ 13 (ЕГЭ 2016)

с открытого банка заданий по математике ФИПИ

[− 9π/2 ; − 7π/2]

1.  а) Решите уравнение sin2x=cos(5π/2−x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 9π/2 ; − 7π/2].

Ответ:  а)  ;        б); ;.

[− 5π ; − 7π/2]

2.а) Решите уравнение 6sin2x+5sin(π/2−x)−2=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 5π ; − 7π/2].

3.  а) Решите уравнение  6sin2​x+5sin(π/2−x)−2=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 5π ; −7π/2].

[− 4π; −5π/2]

4.  а) Решите уравнение cos2x+0,75=cos2x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 4π ; − 5π/2].

Ответ: а)    ;     .      

;

5.а) Решите уравнение √2sin(–π/2+x)sinx=cosx.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 4π; −5π/2].

6.а) Решите уравнение 6sin2x−5sin(x−π/2)−2=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 4π ; − 5π2].

7.а) Решите уравнение cos2x+3cosx−1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 4π ; − 5π/2].

[− 3π/2 ; − π/2]

8.а) Решите уравнение 4sin2​x−4cosx−1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 5π/2 ; − 3π/2].

Ответ: а)               б); .

[− 7π/2; −2π].

9.а) Решите уравнение 2sin3x−2sinx+cos2​x=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 7π/2 ; − 2π].

Ответ:  а) ;  .  б);; ;  

10.а) Решите уравнение cos2x+sin2x=0,5.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 7π/2 ; − 2π].

Ответ:  а)  ;        б); ;.

11. а) Решите уравнение  4cos2​x+8sin(3π/2−x)−5=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 7π/2; −2π].

12.а) Решите уравнение √2cos2x=sin(π/2+x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 7π/2; −2π].

13.а) Решите уравнение 3tg2x−5/cosx+1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 7π/2; −2π].

14.а) Решите уравнение 8sin4x+10sin2x−3=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 7π/2; −2π].

15.а) Решите уравнение 3cos2x+11sinx+4=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 7π2 ; − 2π].

[− 7π/2 ; − 5π/2]

16.  а) Решите уравнение 6sin2​x+7cosx−1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 7π/2 ; − 5π/2].

Ответ: а) +2  б);.

17.  а) Решите уравнение sin2x=sin(x+3π/2).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 7π/2 ; − 5π/2].

18.а) Решите уравнение 6cos2​x−5sinx−2=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 7π/2 ; − 5π/2].

19.а) Решите уравнение sin2x=sin(π/2+x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 7π/2; −5π/2].

[− 2π; −π]

20.а) Решите уравнение sin2x=√2cos(π/2+x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 2π; −π].

Ответ:  а)  ;        б); ;.

21.а) Решите уравнение 4cos 3x+3sin(x−π/2)=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 2π ; − π].

22.  а) Решите уравнение 2cos3x=sin(5π/2−x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 2π ; − π].

[− 3π; −2π]

23.а) Решите уравнение sin2x=√3cos(3π/2–x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 3π; −2π].

Ответ:  а);   ;       б);;.

[− 5π; −4π]

24.а) Решите уравнение √2sin(3π/2−x) sinx=cosx.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 5π; −4π].

[− 7π; −6π]

25.а) Решите уравнение 2sin(7π/2+x) sinx=√3cosx.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 7π; −6π].

[− 2π ; −π/2]

26.а) Решите уравнение 2cos3​x+√3cos2​x+2cosx+√ 3=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 2π ; −π/2].

27.а) Решите уравнение cos2x+0,5=cos2x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 2π ; − π/2].

[− 5π/2; −π]

28.а) Решите уравнение  2sin2 x = cos (3π/2–x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 5π/2; −π].

Ответ: а)    ;    .         б); ;.

29.а) Решите уравнение √2sin3x−√2sinx+cos2x=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 5π/2 ; − π].

Ответ: а)    ;    .    б) ;; ; .

30.а) Решите уравнение 3cos2x+7sinx+2=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 5π/2 ; − π].

31.  а) Решите уравнение  6cos2​x+5sinx−2=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 5π/2; −π].

[− 3π/2 ; − π/2]

32.а) Решите уравнение 2sin3x=cos(x−π/2).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 3π/2 ; − π/2].

Ответ: а)    ;     ;  .  

   б); ;.

33.  а) Решите уравнение cos(π/2−2x)+sinx=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 3π/2 ; − π/2].

[− 3π ; −3π/2]

34.а) Решите уравнение  2sin2x = cos(π/2–x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 3π; −3π/2].

Ответ: а)    ;  .         б);;.

35.а) Решите уравнение  sin2x+2sinx=√3cosx+√3.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 3π ; −3π/2].

36. а) Решите уравнение 4sin2x+8sin(3π/2+x)+1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 3π ; − 3π/2].

37.а) Решите уравнение 4cos2​x−8sinx+1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 3π ; − 3π/2].

38.а) Решите уравнение 3tg2x−5/cosx+5=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [− 3π; −3π/2].

[3π ; 9π/2]

39.а) Решите уравнение cos2x+sin2x=0,25.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π ; 9π/2].

Ответ:  а)  ;        б); ;.

40.а) Решите уравнение 2tg2x+5/cosx+4=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].

41.а) Решите уравнение 4cos2x+8cos(x−3π/2)+1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π ; 9π/2].

[7π/2 ; 9π/2]

42.а) Решите уравнение 4sin3x=3cos(x−π/2).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7π/2 ; 9π/2].

Ответ: а)    ;     ;  .      

   б); ;.

43.а) Решите уравнение sin2x=sin(5π/2+x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7π/2 ; 9π/2]. Ответ: а)   ;    .       б); ;

[π ; 5π/2]

44.а) Решите уравнение 4cos2x+4cos(π/2+x)−1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 5π/2].

Ответ: а)               б).

45.а) Решите уравнение 3cos2x−5sinx+1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 5π/2].

Ответ: б)

46. а) Решите уравнение sin2x+√2sinx=2cosx+√2.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 5π/2].

Ответ:  а)  ;            б) ;

47.а) Решите уравнение cos2x+sin2x=0,75.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 5π/2].

Ответ:  а)  ;        б); ;.

48. а) Решите уравнение  √2sin3​x−sin2​x+√2sinx−1=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 5π/2].

49.  а) Решите уравнение 2cos2x=√3sin(3π/2+x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

50.  а) Решите уравнение  sin2x+√2sinx=2cosx+√2.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ π ; 5π/2].

51.  а) Решите уравнение  3cos2x−5sinx+1=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 5π/2].

52.  а) Решите уравнение  cos2x+sin2​x=0,75.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 5π/2].

53.а) Решите уравнение 4cos2​x+4sinx−1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 5π/2].

[π ; 2π]

54.а) Решите уравнение 4cos3x+sin(x−π/2)=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 2π].

[2π ; 7π/2]

55.а) Решите уравнение 6cos2x−7cos(3π/2−x)−1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π ; 7π/2].

 Ответ: а)   ;    б).

56.  а) Решите уравнение cos2x+0,25=cos2x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π ; 7π/2].

57.а) Решите уравнение 2cos3​x−cos2​x+2cosx−1=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π ; 7π/2].

[5π/2; 4π]

58.а) Решите уравнение 5tg2x+3/cosx+3=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

59.а) Решите уравнение 6sin 2​x+5cosx−2=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2 ; 4π].

60. а) Решите уравнение 2cos2x+4sinx+1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π2 ; 4π].

61.  а) Решите уравнение √2cos3x−√2cosx+sin2​x=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2 ; 4π].

62.  а) Решите уравнение 2cos2x=sin(π/2−x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

 [3π/2; 3π]

63. а) Решите уравнение  sin2x=sinx−2cosx+1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

Ответ: а)   ; .     б) ;.

64.  а) Решите уравнение 2cos2x+4cos(3π/2−x)+1=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

65.  а) Решите уравнение 2cos3x−2cosx+sin2​x=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2 ; 3π].

66.  а) Решите уравнение 2cos2x−8sinx+3=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2 ; 3π].

67.а) Решите уравнение 2sin2x=3√cos(π/2+x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

 [3π/2 ; 5π/2]

68.а) Решите уравнение cos(π/2+2x)+sinx=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2 ; 5π/2].

Ответ:  а)  ;        б); ;.

69. а) Решите уравнение 4sin3x=cos(x−5π/2).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2 ; 5π/2].

70.  а) Решите уравнение sin2x=cos(3π/2+x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 5π/2].

[3π; 4π]

71.  а) Решите уравнение sin2x=√3sin(3π/2−x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 4π].

[5π/2 ; 7π/2]

72.  а) Решите уравнение sin2x=cos(x−3π/2).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2 ; 7π/2].

Ответ:  а)  ;        б); ;.

73.а) Решите уравнение sin2x=√2sin(π/2−x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 7π/2].

Ответ: а)   ;   .         б); ;.

74.  а) Решите уравнение sin2x+√3sinx=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2 ; 7π/2].

[9π/2; 6π]

75.а) Решите уравнение   − √2sin(− 5π/2+x)sinx = cosx.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [9π/2; 6π].