Мастер-класс "Решение банковских задач ЕГЭ"
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

МКОУ «Калиновская средняя общеобразовательная школа»

Хомутовского района Курской области

Региональная  «Неделя математики - 2017»

п. Хомутовка

19 октября 2017 года

Целевая аудитория: педагоги школ района, области.

Материалы и оборудование: ноутбук, проектор, презентация, тексты задач.

План мастер-класса:

1. Актуальность обучения решению задач экономического содержания.
2. Критерии оценивания задачи №17.
3. Метод математического моделирования.
4. Классификация банковских задач.
5. Решение типовых задач (практическая работа).

Добрый день, уважаемые коллеги! Меня зовут Дрюкова Оксана Михайловна, я учитель математики Калиновской средней школы. В последние годы большую социальную значимость набирает  финансовая и экономическая грамотность молодёжи. Это и организованный Центральным банком Российской Федерации проект «Онлайн уроки финансовой грамотности», и   Всероссийский экономический диктант «Сильная экономика – процветающая Россия!», организованный Вольным экономическим обществом России, в котором мои ученики приняли участие 12 октября. Кроме того, Концепция математического образования призывает нас обеспечивать необходимое стране число выпускников, математическая подготовка которых достаточна для продолжения образования в различных направлениях и для практической деятельности, включая преподавание математики, математические исследования, работу в сфере информационных технологий и др.

Именно поэтому одной из особенностей вариантов ЕГЭ по математике профильного уровня  с  2015 году является включение практико-ориентированной задачи. Эта задача направлена на применение методов математики при решении содержательных и прикладных задач, в том числе  социально-экономического содержания. У учащихся при этом проверяется умение выполнять действия с целыми числами, действий со степенями с натуральным показателем, знаний и умений обращаться с процентами, в том числе и сложными «банковскими» процентами.

Использование задач на проценты раньше также практиковалось в проведении итоговой аттестации. Их достаточно часто включали в варианты как школьных выпускных экзаменов, так и вступительных экзаменов в различные вузы страны. И вот по истечении многих  лет задачи на проценты вновь входят в состав заданий ЕГЭ по математике.

Сегодня я остановлюсь на  вопросах методики обучения учащихся умению решать задачи с социально-экономическим содержанием при подготовке к ЕГЭ по математике, а именно - решению банковских задач. Выбор темы выпал не случайно, поскольку, на мой взгляд,  такие задачи чаще встречаются на экзаменах, к тому же я сама имею образование по специальности «финансы и кредит».

В первую очередь знакомимся с критериями оценивания задачи №17.

           При обучении решению  задач с социально экономическим содержанием передо мной стояла методическая задача – обучить учащихся использованию математического моделирования». Необходимо учащимся подчеркнуть, что процесс решения задачи представляет собой такую систему преобразований условий задачи, при которых достигается требуемое искомое.

Метод математического моделирования содержит следующие этапы:

1) построение математической модели объекта (явления, процесса);

2)исследование полученной модели, т.е. решение полученной математической задачи средствами математики;

3) интерпретация полученного решения с точки зрения исходной ситуации.

Среди задач с социально-экономическим содержанием важное место занимают так называемые «банковские задачи», так как при ее решении можно столкнуться с различными банковскими операциями (вкладами, ссудами). Такие задачи вызывают у учащихся большие трудности. Это объясняется тем, что в учебниках по математике не рассматриваются такие понятия, как простые и сложные проценты, и не вводятся формулы их вычисления. Предполагается, что учащиеся должны решать эти задачи, опираясь не на формулы, а на понимание понятия процента и умения решать основные три вида задач на проценты.

Итак, для начала выводим основную формулу.

Вспомним, как увеличить число на некоторое количество a%: А (1 + ).

Если этот процесс повторяется, то А (1 + )n.

Итак, пусть А- сумма кредита, а %- процент по кредиту, р=1 +  это коэффициент, на который умножается остаток долга или коэффициент приращения, S – ежегодная выплата (транш) банку.

Остаток банку через 1 год: Ар- S.

Остаток банку через 2 года: (Ар- S)р – S= Ар2 – S (p+1).

Остаток банку через 3 года: (Ар2 - Sр-S)р – S= Ар3 – S (p2+p+1).

Остаток банку через 4 года: Ар4 – S (p3 + p2+p+1)= Ар4 – S  (p+1)(p2+1).

Остаток банку через n лет: Арn – S (pn-1 + p n- 2+…+ p+1)= Арn – S  , где (pn-1 + p n- 2+…+ p+1) можно преобразовать по формуле суммы геометрической прогрессии: b1=1, q=p.

Понятие этой схемы помогает учащимся решать задачи.

Банковские задачи можно классифицировать на следующие типы:

Итак, предлагаю рассмотреть  4 типа задач на проценты:

1. Нахождение ежегодного платежа.
2. Нахождение суммы кредита.
3. Вычисление процентной ставки по кредиту.
4. Нахождение количества лет выплаты кредита.

Поскольку мы живем в сельской местности, где развиваются фермерские хозяйства, то предлагаю тексты задач соответствующей тематике, близкой к реальности. Предлагаю вам выступить в роли моих учеников и , используя тексты задач, решить четыре задачи.

Нахождение количества лет выплаты кредита.

Фермерское хозяйство «Сапфир» планирует купить культиватор, взяв кредит в банке 1,5 миллиона рублей. Погашение кредита происходит раз год равными платежами (кроме, может быть, последней) после зачисления процентов. Процентная ставка, предлагаемая банком – 10 % годовых. На какое минимально количество лет фермерское хозяйство может взять кредит, чтобы ежегодные  выплаты были не более 350 тысяч рублей?

Данная задача относится к первому типу, т.е. необходимо найти, за сколько периодов N  кредит будет выплачен полностью.

Решение:

Итак, имеем А=1500 000 руб, а = 10%, р= 1+0,01*а=1,1.

N≥0, S≤ 350 000 руб,

В конце первого года долг составит: 1500 000 *1,1 – 350 000=1300 000 руб.

В конце второго года долг составит:1300 000 *1,1 – 350 000=1080 000 руб.

В конце третьего года долг составит: 1080 000 *1,1 – 350 000=838 000 руб.

В конце четвертого года долг составит: 838 000 *1,1 – 350 000=571800 руб.

В конце пятого года долг составит:571 800 *1,1 – 350 000=278980 руб.

В конце шестого года долг составит:278900 *1,1 =306878 руб.

Полученная сумма меньше 350 000 руб.

Ответ: кредит будет погашен за 6 лет.

Нахождение ежегодного платежа.

Фермерское хозяйство «Колос» для покупки комбайна берёт 15 960 000 рублей в кредит под 30% годовых. По истечении каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 30%), затем фермерское хозяйство  переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы клиент выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение:

Итак, имеем А=15960000 руб, а = 30%, р= 1+0,01*а=1,3.

Пусть искомый ежегодный платёж составляет Х рублей.

Тогда в конце первого года клиент будет должен

1,3 * 15 960 000 − x = (20 748 000 − x) рублей.

Аналогично, в конце второго года его долг составит

(1,3 *(20 748 000 − x) − x) = 26 972 400 − 2,3x рублей,

а к концу третьего : 1,3 * (26 972 400 − 2,3x) − x = 35 064 120 − 3,99x рублей.

Однако по условию клиент должен выплатить кредит тремя равными платежами, то есть в конце третьего года его долг должен составить 0 рублей.

35 064 120 − 3,99x = 0, x = 8 788 000.

Ответ: 8 788 000 рублей.

Нахождение суммы кредита.

31декабря 2018 года фермерское хозяйство «Хуторок» планируется взять кредит в банке для покупки животноводческой фермы под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем фермерское хозяйство переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму может взять фермерское хозяйство в банке, чтобы выплатить долг четырьмя равными платежами, то есть за 4 года?

Решение:

Пусть сумма кредита Х, а сумма ежегодного платежа S = 2928200  руб., а = 10%, р= 1+0,01*а=1,1, тогда распишем сумму долга для каждого года:

1 год: 1,1х–S.

2 год :(1,1х – S) 1,1 – S.

3 год : (1,1 2 х –1,1 S – S) 1,1 – S

4 год : 1,1 4 х – S (1,1+1)(1,12 +1) .

После последней выплаты сумма долга стала равна нулю.

Составим и решим уравнение: 1,1 4 х – S (1,1+1)(1,12 +1)

1, 4641х - 4,641S = 0

1, 4641х = 4,641* 2928200

х = 9282000

Ответ: 9282000 рублей.

Нахождение процентной ставки по кредиту.

31 декабря 2014 года фермер, занимающийся разведением цветов в теплицах,  взял в банке 1000000 рублей в кредит на приобретение удобрений. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем фермер переводит в банк очередной транш. Фермер выплатил кредит за 2 транша. В первый раз он перевел в банк 660000 рублей, во второй – 484000 рублей. Под какой процент банк выдал кредит фермеру?

Решение:

Пусть А=1000000 рублей , первый транш S1=660 000 рублей, второй транш S2=484 000 рублей. Необходимо найти а, если р=1+0,01а.

Сумма долга после выплаты первого транша будет равна:

100000(1+0,01 а ) – 660000=340000+10000а.

Сумма долга после выплаты первого транша будет равна:

(340000+10000а) (1+0,01 а )  – 484000.

После выплаты второго транша сумма долга стала равна нулю.

Составим и решим уравнение:

(340000+10000а) (1+0,01 а )  – 484000= 0

100а2 +13400а -144000 = 0/ :100

а2 +134а – 1440 = 0

D = 23716 = 1542 , а1 = 10, а2 = -144 - не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 10%

Спасибо за работу! На мой взгляд,  такой подход  к решению доступен любому ученику. А рациональное включение экономического материала в текст задачи возможно при изучении практически любой темы школьного курса математики. Даже если учащимся неизвестно точное значение того или иного экономического понятия, они понимают его на житейском (бытовом) уровне. В процессе решения соответствующей задачи смысл экономического понятия уточняется. Хотя, не скрою, большую пользу приносят уроки обществознания и занятия элективного курса «Основы финансовой грамотности».

Для закрепления учащимся можно предложить составить аналогичную задачу и решить ее. Опыт показывает, что учащиеся с большим интересом решают такие задачи, с удовольствием составляют их самостоятельно. Материал для уроков можно найти и в открытом банке заданий ЕГЭ, а также в системе СтатГрад, в которой мы работаем, проводя тренировочные и диагностические работы при подготовке к экзамену.

Таким образом, считаю, что предлагаемая методика обучения решению задач является эффективным способом обучения решению задач с социально- экономическим содержанием при подготовке выпускников к ЕГЭ по математике профильного уровня.